Визначити критичний параметр навантаження    для рами, показаної на рис. 2.6.1.

До втрати стійкості в стержнях рами не виникає вигину. При досягненні навантаженням критичного значення вузли рами можуть отримати як кутові, так і лінійні зсуви (можлива форма втрати стійкості показана на рис. 2.6.I пунктиром). При розрахунку рами за методом переміщень,  матимемо три невідомих - два кути повороту і одне лінійне зміщення.

Основну систему методу переміщень при розрахунку стійкості подано на рис. 2.6.2.

На рис. 2.6.3 показано епюри згинальних моментів від одиничних поворотів вузлів (рис. 2.6.3, а, б) і від одиничного горизонтального зсуву (рис. 2.6.3, в).

Для всіх трьох стояків рами значення параметра v матимуть різні величини, оскільки поздовжні сили і довжини стояків неоднакові:

для лівого стояка                       

для правого стояка                     

для середнього стояка               

На одиничних епюрах при функціях   і т.д. в дужках записані ті значення v, яким ці функції відповідають. Оскільки до втрати стійкості вигину не було, то канонічні рівняння однорідні (тобто, вільні члени дорівнюють нулю) і система розрахункових рівнянь для заданої рами матиме вигляд:

(2.6.1)

Значення коефіцієнтів обчислюють за правилами методу переміщень:    

Рівняння стійкості:

(2.6.1)

Після розкриття визначника з врахуванням того, що , одержимо

,

або                              .

Після підстановки величин коефіцієнтів одержуємо трансцендентне рівняння стійкості, яке розв'язується за допомогою методу підбору:

Перш ніж задатися якимись значеннями v, доцільно подивитися, в яких межах вони можуть змінюватися. Лівий стояк рами, до параметра функції v якого “прив’язані” параметри решти стояків, знаходиться в умовах, коли її верхній кінець може зміщуватися по горизонталі (при зміщенні чиниться опір жорсткості інших стояків) і пружно повертатися (повертанню чинить опір жорсткість ригеля). Отже, критична сила лівого стояка   рами  буде  вище,  ніж  для  стержня,  вигляд  якого  показаний  на рис. 2.6.4, а, і нижче, ніж для стержня, показаного на  рис. 2.6.4, б.

Для цих двох граничних випадків знаходимо значення  v:

      v=
    

Отже,

Зазначимо, що можливість горизонтальних зсувів значно зменшує жорсткість системи і тому доцільно задатись значенням  v  більш близьким до нижньої межі, а не до верхньої.

1.     v = 2;    1,41v = 2,82;    0,75v =1,5.

За таблицею 1 визначаємо:

2. v=2,3;  1,41v=3,24;  0,75v=1,72;

Вважаючи, що в діапазоні 2,0 < v < 2,3 функція D(v) є лінійною, уточнимо значення v, при якому D(v)=0 (рис. 2.6.5).

За корінь рівняння приймаємо = 2,228.

Критичний параметр навантаження

.

Коефіцієнти вільних довжин стояків рами:

;

.