Розглянемо стержень i–j, навантажений згідно з рис. 4.1.3 силами N, Mi, Mj. Деформацію стержня характеризує три компоненти: кути повертання в точках i, j – φ_i, φ_j та лінійне переміщення Δ_l.Фізичне рівняння, що встановлює зв’язок між зусиллями та деформаціями для одного стержня

де   {ε}e ={φ_i, φ_j, Δl}^T– вектор деформацій стержня;

{S}e= {M_i, M_j, N}^T–  вектор кінцевих зусиль в стержні;

[d] e – матриця співвідношень закону Гука для стержня l_e.

Розгорнутий матричний запис для одного стержня е (рис. 4.1.3).

.

(4.3.5)

Лінійна компонента деформацій, лінійне подовження Δ_le за  умови пружної роботи стержня:

Δle=N.

(4.3.6)

На стержень l_e крім поздовжньої сили N діють ще згинальні моменти (M_i, M_j). В такому випадку дії декількох сил кутові деформації стержня φі , φj можна знайти на основі принципу суперпозицій через одиничні переміщення

Одиничні переміщення δ_іj знаходяться за відомими формулами Максвела–Мора.

(4.3.9)

(4.3.10)

Матриця співвідношень закону Гука для стержня ℓ_е:

[d]e =   .

(4.3.11)

Для всієї системи (4.1.7):

де |D| – матриця піддатливості, матриця одиничних переміщень, тобто переміщень, що зумовлені одиничними узагальненими силами. Під узагальненим переміщенням розуміють будь-яке переміщення, незалежно від його характеру або причини, що його зумовлює (тобто переміщення  в загальному розумінні цього слова). Кожному переміщенню ставиться у відповідність однозначна силова дія, що здійснює роботу на цьому переміщенні – це узагальнена сила.

Матриця піддатливості всієї рами складається із трьох складових матриць піддатливості кожного стержня і має вигляд:

.

Матриця, обернена до матриці піддатливості має назву матриця жорсткості:

.

(4.3.12)

За алгоритмом, наведеним вище, для вхідних параметрів  Р=80 кН, a=60° , β=45°, h=3,46 м, q=20 кН/м, М=0 отримані такі значення внутрішніх зусиль (рис. 4.1.4):

Приклад 2.   Розрахунок рами методом скінченних елементів

5,381 м.

1. Будуємо основну систему МСЕ и нумеруємо вузли і стержні рами.

Оскільки в МСЕ враховуються осьові дефор­мації стержнів, то на жорсткі вузли накладаємо три в’язі, що відповідають трьом перемі­щенням вузла: вертикальному, горизонтальному і кутовому.

Рама має три скінченних елементи (стержні) и чотири вузли. Координати вузлів в загальній системі координат:

1 – х=0;  у=3,6;                    2 – х=3;  у=3,6;

3 – х=3;  у=0;                       4 – х=7;  у=0.

2. Будуємо матриці жорсткості стержнів і вектори вузлових навантажень у місцевій системі координат, коли вісь x' спрямована уздовж осі стержня, а вісь y' - перпендикулярно до осі стержня.

Кожний стержень має по три невідомих переміщення  в кожному вузлі.

Стержень 1 (рис. 4.7).

Стержень 1 має жорстке защемлення с двох сторін.

Матриця жорсткості СЕ №1 має вигляд:

Навантаження, прикладене до стержня, зосереджуємо в вузлах. Вектор вузлового навантаження в місцевій системі координат має вигляд:

{p'}¹=

Стержень 2 (рис. 4.8).

Для стержня 2 матриця жорсткості обраховується за тими ж формулами, що і для стержня 1. Вектор вузлових навантажень нульовий, оскільки до стержня не прикладене навантаження.

[K']² =

{p'}²=

Стержень 3 (рис. 4.9).

{p'}³=

[K']³ =

3. Будуємо матриці перетворень для кожного стержня.

де β - кут між напрямом осі х загальної системи координат і напрямом осі x' місцевої системи координат.

Для стержня 1 матрицю перетворень записувати не потрібно, оскільки в цьому випадку місцева система координат збігається з загальною системою координат.

Стержень 2.

Стержень 3.

4. Будуємо матриці жорсткості в загальній системі координат:

Перемноження матриць виконуємо на комп’ютері за допомогою програми EXCEL.

[K]¹=[K']¹=

[K]²=

[K]³=

5.  Перетворимо вектори вузлових навантажень із місцевої системи координат в загальну.

{p}¹={p'}¹=; {p}²=;{p}³=.

6. Будуємо матрицю жорсткості для всієї рами в загальній системі координат.

Матриці жорсткості для трьох елементів рами можна подати в вигляді:

Оскільки невідомими є переміщення вузла 2, то загальну матрицю жорсткості отримуємо, додаючи елементи матриць [k₂₂]. В матрицях ці елементи виділені жирним шрифтом.

[K]=.

7. Формуємо вектор вузлових навантажень в загальній системі координат.

Вектори вузлових навантажень для трьох стержнів рами можна подати в вигляді:

Вектор навантаження в вузлі 2 отримаємо, додаючи елементи {p₂}.

{p}=.

8.   Записуєм систему рівнянь рівноваги для вузла 2.

Розв’язуючи систему рівнянь, отримуємо вектор переміщень вузла 2.

{Δ}=-[K]^-1·{p}=.

9.  Записуємо вектори вузлових переміщень для кожного стержня в загальній системі координат.

{δ}¹=; {δ}²=; {δ}³=.

10. Визначаємо вузлові зусилля в стержнях в місцевій системі координат.

{r}¹=[K']¹·{δ}¹+{p'}¹=;

{r}²=[K']²·[T]²·{δ}²+{p'}²=;

{r}³=[K']³·[T]³·{δ}³+{p'}³=.

11. За обрахованими значеннями будуємо епюри M, Q, N (рис. 4.10-4.12).

Величину моменту в середньому перетині стержня 1 обраховуємо за формулою:

Перевіряємо рівновагу вузла рами