4. ДВОВИМІРНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Часто потрібно розв’язувати задачі, в яких розглядаються події, що описуються не однією, а декількома, зокрема, двома випадковими величинами. Так, якщо станок-автомат штампує цілиндричні валики, то діаметр валика ξ₁ і його висота ξ₂ утворюють систему двох випадкових величин (ξ₁, ξ₂).

Двовимірною випадковою величиною (two-dimensional random variable) називають систему двох випадкових величин (ξ₁, ξ₂), для яких визначена імовірність P(ξ₁,2 одночасного виконання нерівностей ξ₁, та ξ₂, де х і у – довільні дійсні числа. Систему двох випадкових величин (ξ₁, ξ₂) можна показати випадковою точкою в декартовій системі координат (х, у).

Функція двох змінних F(х,у)=P(ξ₁,2 визначена для довільних х і у, називається функцією розподілу величин (ξ₁, ξ₂).

Функція розподілу (distribution function)  це імовірність попадання випадкової точки (ξ₁, ξ₂) в “нескінченний квадрат” з вершиною в точці (х, у), що знаходиться лівіше і нижче вертикального та горизонтального обмежень.

Сформулюємо властивості функції розподілу системи двох випадкових величин.

1. Функція розподілу F(х,у) є функція неспадна. Тобто при х₂>x₁, F(х₂,у) ≥ F(х₁,у), при у₂ > у_1, F(х,у₂) ≥ F(х,у₁).

В цій властивості F(х,у) можна переконатись, використовуючи геометричну інтерпретацію функції розподілу як ймовірності попадання в “квадрат” з вершиною (х,у). Дійсно, збільшуючи х, (зміщуючи праву границю “квадрата” вправо (рис. 4.1) або збільшуючи у (зміщуючи верхню границю вгору (рис. 4.2), ми не можемо зменшити імовірність попадання в цей “квадрат”. Двовимірна випадкова величина (ξ₁, ξ₂) називається дискретною, якщо ξ₁, ξ₂ ‑ дискретні величини.

Нехай будь-які можливі значення ξ₁, ξ₂ утворюють кінцеві послідовності х₁, х₂, х₃ … х_n і у₁, у₂, у_3, ... у_s.. Можливі значення величини (ξ₁, ξ₂) мають вигляд (х_i,y_j), де i – 1, 2, 3, n, j – 1, 2, 3, … s. Позначимо через p_ij імовірність того, що (ξ₁, ξ₂) = (х_i,y_j), p_ij =P(ξ₁,=x_і),(ξ₂=y_j), функція розподілу має вигляд , де подвійна сума поширена на i та j, для яких

х_i < х, у_j< у. Двовимірну випадкову величину (ξ₁, ξ₂), як і одновимірну, можна задавати таблицею, яка називається її законом розподілу. В першому рядку вказані значення, яких набуває величина ξ₁, а в першому стовпці ‑ величина ξ₂. В інших клітинках таблиці вказано відповідні ймовірності, причому їх сума завжди дорівнює одиниці.

Розглянемо, наприклад, двовимірну випадкову величину, задану такою таблицею:

Сума всіх ймовірностей:

Дві дискретні випадкові величини ξ₁ і ξ₂ називаються незалежними, якщо для всіх пар i та j виконуються співвідношення:

.

Приклад 1. Два гральних кубика кидають по одному разу. Позначимо через ξ₁ число очок, які випали на першому кубику, а через ξ₂ – на другому, тоді (ξ₁, ξ₂) – двовимірна дискретна величина. Покажемо, що величини ξ₁ та ξ₂ незалежні. Оскільки кожна із величин ξ₁, ξ₂ незалежно одна від одної може приймати 6 різних значень, то число різних значень двовимірної випадкової величини (ξ₁, ξ₂) рівне 36.

Всі ці значення рівноможливі, тому .

З іншого боку, і .

Таким чином .

Всюди на  ∞ функція розподілу дорівнює нулю:

.

В цій властивості ми переконуємось, спостерігаючи, що при необмеженому посуванні вліво правої границі квадрата () чи вниз його верхньої границі (), або рухаючи одочасно обома границями, імовірність попадання у відповідний квадрат прямуватиме до нуля.

Коли один з аргументів дорівнює , функція розподілу системи перетворюється в функцію розподілу випадкової величини, яка відповідає другому аргументу:

, ,

де ,  відповідно, функції розподілу випадкових величин ξ₁ і ξ₂.

Якщо обидва аргументи дорівнюють , функція розподілу системи дорівнює одиниці: .

Дійсно, при x → +∞, y→+∞  “квадрат” з вершиною (x, y) переходить на всю площину хOу, попадання в яку є вірогідна подія.

Основне питання для системи двох випадкових величин є питання про ймовірність попадання випадкової точки (ξ₁, ξ₂) в межі заданої області D на площині хОу.

Імовірність попадання випадкової точки в задану область виражається найбільш просто в тому випадку, коли ця область являє собою прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Виразимо через функцію розподілу ймовірність попадання випадкової точки (ξ₁, ξ₂) в прямокутник R, обмежений абсцисами α і β та ординатами γ і δ (рис. 4. 3).

           (4.1)

Далі визначимо формулу для ймовірності попадання випадкової точки в область довільної форми.

Двовимірна величина (ξ₁, ξ₁) називається неперервною, якщо існує така неперервна невід’ємна функція f(x, y) двох змінних, що ймовірність попадання випадкової точки М(ξ₁, ξ₁) в деяку область σ площини хОу дорівнює подвійному інтегралу від функції f(x, y) по області σ:

.

Функція f(x, y) називається щільністю розподілу імовірності системи двох випадкових величин ξ₁, ξ₂. Тоді функцію розподілу системи випадкових величин можна записати так:

Графічно f(x, y)  поверхня розподілу. Неперервні випадкові величини ξ₁, ξ₂ називаються незалежними, якщо f(x, y) = f₁(x) f₂(y), де f₁(x) і f₂(y) – відповідно, щільності розподілу імовірності випадкових величин ξ₁ і ξ₂. В цьому випадку:

.

де F₁(x) і F₂(y)  відповідно, функції розподілу величин ξ₁, ξ₁ .

Приклад 2. Двовимірна випадкова величина (ξ₁, ξ₁) має щільність розподілу .

Знайти:

1) Імовірність попадання випадкової точки в квадрат:

0≤ х ≤ 1.

0≤ у ≤ 1’

2) Функцію розподілу F(x,y);

3) Щільності і функції розподілу кожної з величин окремо.

Розв’язання.

1) Імовірність Р попадання випадкової точки М() в квадрат, зображений на рисунку (рис. 4.4), дорівнює .

.

Можна переконатися, що виконується рівність.

.

Для неперервних випадкових величин важливими характеристиками є дві функції розподілу:  функція розподілу,  щільність розподілу.

2)

.

3) .

.

4.1. Щільність розподілу двовимірної випадкової величини

Введена в попередньому розділі характеристика системи  функція розподілу  існує для системи довільних випадкових величин, як перервних дискретних, так і неперервних. Основне практичне значення має система неперервних випадкових величин. Розподіл системи неперервних величин звичайно характеризують не функцією розподілу, а щільністю розподілу.

Визначимо щільність розподілу системи двох випадкових величин.

Нехай маємо систему двох неперервних випадкових величин (ξ₁, ξ₂), яка визначається випадковою точкою на площині х0у. Розглянемо на цій площині малий прямокутник зі сторонами  Δx і , що прилягає до точки з координатами (x,y). Ймовірність попадання в цей прямокутник дорівнює:

Р((ξ₁, ξ₂) є R_Δ) = F(х+Δx,y+Δy)-F(х+Δx,y)-F(х,у+Δy)+F(х,у).

Розділимо імовірність попадання в прямокутник на площу цього прямокутника і перейдемо до границі при і .

Припустимо, що F має похідні за х і у першого та другого порядку.

.

Права частина являє собою другу мішану частинну похідну функції F(x,y) за х і у. Позначимо цю похідну:

.

Функція називається щільністю розподілу системи. Геометрично функцію можна зобразити деякою поверхнею, яка називається поверхнею розподілу (рис. 4. 5).

Елементом імовірності (the element probability) для двовимірної випадкової величини називається вираз: dxdy.

Елемент імовірності є ні що інше, як імовірність попадання в елементарний прямокутник зі сторонами dx, dy, що прилягає до точки (х,у). Ця ймовірність дорівнює об’єму елементарного паралелепіпеда, що обмежений зверху поверхнею f(x, y) і опирається на елементарний прямокутник dxdy.

Ймовірність попадання випадкової точки в довільну область D може бути отримана додаванням (інтегруванням) елементів імовірності по всій площині D: (рис. 4. 5).

Геометрично імовірність попадання в область D зображується об’ємом циліндричного тіла С, обмеженого зверху поверхнею розподілу, яка спирається на область D. Із загальної формули випливає формула для імовірності попадання в прямокутник R, обмежений абсцисами і і ординатами і .

.

Скористаємось формулою для того, щоб виразити функцію розподілу системи F(х,у) через щільність розподілу .

Функція розподілу F(х,у) є імовірність попадання в нескінченний квадрат; останній можна розглядати як прямокутник, обмежений абсцисами –∞ і х та ординатами –∞ і у. Тоді маємо:

.

Легко переконатись в таких властивостях щільності розподілу системи.

1. Щільність розподілу системи є функція невід’ємна. Це видно з того, що щільність розподілу є границя відношення двох невід’ємних величин: імовірності попадання в прямокутник і площі прямокутника, яка є також додатною.

2. Подвійний інтеграл (the double integral) в нескінченних границях від щільності розподілу системи дорівнює одиниці:

.

Це видно з того, що цей інтеграл є ні що інше, як імовірність попадання в усю площину х0у, тобто ймовірність вірогідної події.

Геометрично ця властивість означає, що повний об’єм тіла, обмеженого поверхнею розподілу і площиною х0у, дорівнює одиниці.