1. Методы и алгоритмы формирования контурных изображений

1.3. Методы и алгоритмы формирования кривых второго порядка 

 1.3.4. Эллипс

 

 

Уравнение эллипса в полярной системе координат имеет вид:   

X = a cos,

Y = b sin,

где a, b – размеры эллипса по осям Х и Y соответственно.

Относительно процедуры формирования эллипса справедливы все положения, рассмотренные при построении окружности, с учетом следующих особенностей:

*  опорным фрагментом есть точка одного из квадрантов;

*  для эллипса длина радиус-вектора Ri= Ö(X2i+Y2i) и шаг приращения полярного угла DQi=1/Ri есть переменные величины и должны рассчитываться на каждом шагу.

Рассмотрим формирования эллипса по методу оценочной функции. Уравнение эллипса имеет следующий вид:   

Рис. 1.15. Формирование оценочной функции при эллиптической интерполяции

Оценочная функция 

Uij = X2b2 + Y2a2 = a2b2

за эллипсом (рис.1.15) имеет положительное значение, а внутри его – отрицательное. Для первого квадранта при Uij³0 выполняется шаг по оси Y и Yi+1=Yi–1, а при Uij<0 – шаг по оси Х. При этом Xi+1=Xi+1.

После шага по оси Y 

Ui,j+1 = b2Xi2+a2(Yj–1)2–a2b2 = b2Xi2+a2Yj2+2a2Yj+a2–a2b2 = Uij+2a2Yj+a2  

Аналогично можно показать, что после выполнения шага по оси X новое значение оценочной функции будет иметь вид 

Ui+1,j = Uij + 2b2Xi + b2

Приведенные формулы показывают, что после каждого шага необходимо выполнять операцию умножения, что ограничивает быстродействие формирования шаговой траектории. 

Контрольные  вопросы.

1.  Назовите характерные особенности эллиптического интерполирования.

2.  Какие методы применяют для эллиптического интерполирования?

3.  Дайте сравнительную характеристику кругового и эллиптического интерполирования по методу оценочной функции.

     Содержание