1. Методы и алгоритмы формирования контурных изображений

1.4. Интерполяция и аппроксимация кривых произвольного типа

1.4.3. Аппроксимация кривых методом Безье

На практике есть ряд задач, в которых необходимо не точное приближение, а сглаженное формирование фигуры, которая аппроксимирует входные данные, то есть когда свойства аппроксимации в целом важнее точности приближения и когда требования, которые предъявляются к проектируемому объекту, не могут быть достаточно просто выраженные математически.

Довольно типичная задача имеет место в процессе проектирования автомобилей. Она заключается в нахождении математического представления для рисунка или глиняной модели, предложенных дизайнером. В этом случае невозможно определить “наилучшее” приближения. Качество приближения зависит главным образом от мнения дизайнера. Следовательно, логично использовать интерактивный метод, который позволяет пользователю экспериментировать с многообразием форм, причем от него не требуется никаких знаний об используемых математических методах. Проектирование таким способом значительно облегчается, если есть возможность управлять формой кривой с помощью изменения небольшого количества параметров, в особенности, если эти параметры задавать в графическом виде.

Разработан целый ряд методов для авиационной, автомобильной и кораблестроительной промышленности, наиболее распространенным среди которых есть метод Безье, который использует аппроксимацию многочленами Бернштейна.

Для задания многочлена, используют множество точек-ориентиров. Если (X₀,Y₀), (X₁,Y₁), ..., (X_m,Y_m) – указанные точки-ориентиры, то соответствующий многочлен Безье определяется как

где                

           Последняя формула достаточно сложна, поэтому на практике используют выражение вида:  

Многочлены Безье имеют такие свойства.

P(0)=P₀ , P(1)=P_m, при t=0,1.

Указанное определяет то, что кривая Безье проходит через первую и последнюю точки-ориентиры. Все остальные вершины ломанной в общем случае не лежат на кривой Безье.

Если использовать дифференциальное исчисление, то можно показать, что кривая Безье размещена внутри выпуклой оболочки множества точек-ориентиров. Наклон касательных векторов в крайних точках кривой совпадает с наклоном соответственно первого и последнего звеньев ломаной Безье.

Многочлены Безье удовлетворяют теореме Вейерштрасса, то есть они равномерно сходятся к аппроксимируемой функции с ростом m.

Несмотря на эти положительные свойства, многочлены Безье никогда не использовались широко для построения аппроксимаций с минимальной нормой отклонения. Причина в том, что многочлены Безье очень медленно сходятся в равномерной норме. Тем не менее, для многочленов Безье достаточно просто по сравнению с другими методами написать программы.

В процессе интерактивного конструирования не ставится задача точности, а требуется управление формой.

Практическое конструирование по методу Безье представляет собой эвристическую процедуру.

Сначала конструктор вручную делает набросок желаемой кривой. Затем он указывает на вершины ломаной кривой, которая в сущности есть первым приближением. Следующий шаг состоит в перемещении вершин таким образом, чтобы постепенно улучшить приближение. Если необходимо, некоторые вершины удаляются или добавляются новые. 

Контрольные  вопросы.

1.  Чем определяется степень полинома Безье?  

2.  Назовите характерные особенности аппроксимации Безье.  

3.  Как практически осуществляется аппроксимация кривых по методу Безье?

4.  Сравните вычислительную сложность интерполирования по методу Лагранжа и аппроксимацию по методу Безье.

     Содержание