Задачный практикум 

Часть 2 

12.   Определить пять точек траектории дуги окружности, исходящей из точки (6,0) при условии, что интерполирование осуществляется по методу оценочной функции против часовой стрелки, а радиус окружности равен 6.  

Поскольку интерполирование осуществляется против часовой стрелки, то координаты Х точек траектории будут уменьшаться, а координаты Y – увеличиваться (рис.9.8).   

     Рис. 9.8.    

Формулы для расчета оценочной функции имеют вид:    

ОФ₀ = –R        ОФ₀ = –6

ОФ₁ = –6 + 2×0 + 1 = –5  

ОФ₂ = –5 + 2×1 + 1 = –2  

ОФ₃ = –2 + 2×2 + 1 = +3  

ОФ₄ = 3+ 2×(3 – 5) + 2 = +5  

Учитывая знаки оценочной функции делаем вывод, что в первых двух тактах формируются вертикальные шаги, а в двух следующих – диагональные. Начальная точка дуги имеет координаты (6,0).  

13.   Определить и обосновать направления траектории в режиме доводки в конечную точку дуги.  

В первом секторе (рис.9.9а) шаговая траектория формируется горизонтальными и диагональными (комбинированными) шаговыми приращениями.    

         Рис. 9.9.    

Учитывая, что диагональное приращение включает перемещение по оси Х, то можно констатировать, что все элементарные шаги до точки Х=Y включают перемещения по оси абсцисс.  

Отсюда следует, что при формировании траектории гарантировано будет достигнута координата Х_K, а доводка будет необходима к координате Y_K. 

Аналогично можно показать, что при формировании дуги во втором секторе доводке подлежит координата Х_K.  

14.   Привести расчет 4 шаговых приращений для параболы Y=2X² по методу оценочной функции.

Оценочная функция определяется по формуле: ОФ_і=y–2x_і²    

       Рис. 9.10.    

При ОФ³0 выполняется шаг по оси Х, а при ОФ<0 по оси Y. После шага по оси X новое значение х_і+1=х_i+1.  

Тогда ОФ_і+1 = у_i – 2×(х_i+1)² = у_i – 2×х_і² – 2×х_i + 2 = у_i – 4х_і – 2.  

При выполнении шага по оси Y новое значение аргумента будет рассчитываться как у_і=у_і+1.  

Тогда ОФ_і+1 = у_і + 1 – 2×х_і² = ОФ_і + 1.  

Приведем расчет 4 шаговых приращений при условии, что ОФ₀ = 0.  

1. ОФ₁ = 0 – 4 – 2 = –6,    у = 0,      х = 1.  

2. ОФ₂ = –6 + 1 = –5,       у = 1,      х = 1.  

3. ОФ₃ = –5 + 1 = –4,       у = 2,      х = 1.  

4. ОФ₄ = –4 + 1 = –3,       у = 3,      х = 1.  

15.   Привести выражение для кривой Эрмита, начальная и конечная точки которой имеют координаты (0,g), (1,b), а производные в начальной и конечной точке соответственно равны a, g.

Кубическая кривая в форме Эрмита задается уравнением:  

х(t) = at³ + bt² +ct +d.  

Определим значения неизвестных а, b, с, d.  

x(0) = d, x(1) = a + b + c + d,      x'(0) = c, x'(1) = 3a + 2b + c.  

Таким образом:  

x(0) = d,          x(1) = a + b + c + d,  

x'(0) = c,       x'(1) = 3a + 2b + c.  

Решение системы дает неизвестные а, b, с, d.  

16.   Определить геометрический вектор Безье для кривой X(t)=3t³+15t²+4t+1 при условии, что Р₂=7, Р₃=9.  

Геометрический вектор Безье имеет вид:    

где  Р1 = x(0),  P2 = x(1),  P3 = x'(0), P4 = x'(1).

Подставляя в x(t) значение 0 и 1, получим:   Р1=1,  Р4=23.  

Согласно алгоритма Безье значение R1 и R4 определяем по формулам:  

R1 = 3×(P2 – P1), R4 = 3×(P4 – P3), R1 = 18,  R2 = 42.  

Таким образом, геометрический вектор Безье для данного примера имеет вид:    

17.   Привести выражение для полинома Лагранжа при условии, что базовые точки имеют следующие координаты: (7,10), (9,30), (11,50).  

Интерполяционный полином Лагранжа n-го степени для данного множества точек имеет вид:   

В данном случае мы имеем:    

Вывод: в данном случае кривая вырождается в отрезок прямой, который проходит через три точки.  

18.   Определить тип треугольника, который наиболее целесообразно использовать для рендеринга Гуро с точки зрения вычислительных затрат и точности расчета интенсивностей цвета пикселей.  

Первым этапом рендеринга Гуро есть триангуляция области, ограниченной полигоном. Закрашивание выполняется от ребер АС и СВ (рис.9.11а)    

     Рис 9.11.    

Если отрезок СВ параллельный оси абсцисс, то отпадает необходимость в рендерингу нижнего ребра.  

Приращение интенсивности цвета вдоль ребра АС определяется по формуле.   

где БП_АС – большее из приращений ребра АС.  

БП_АС=АС при условии, что отрезок АС параллельный оси ординат. Таким образом, наиболее целесообразным для рендеринга Гуро есть прямоугольный треугольник, катеты которого параллельные осям координат.  

19.   Выполнить описание полигональной сетки, приведенной на рис.9.12, по методу явного задания ребер.  

         Рис. 9.12  

V = (V₁,V₂,V₃,V₄) = ((X₁,Y₁,Z₁),(X₂,Y₂,Z₂),(X₃,Y₃,Z₃),(X₄,Y₄,Z₄))  

E₁ = (V₁, V₂, P₁, L)       E₃ = (V₃, V₄, P₂, L)  

E₂ = (V₂, V₃, P₂, L)       E₄ = (V₁, V₂, P₁, P₂)  

P₁ = (E₁, E₄, E₅)           P₁ = (E₁, E₄, E₅) 

Метод обеспечивает быстрый поиск общих ребер, исключает дублирование вершин при задании многоугольников.  

20.   Выполнить описание полигональной сетки, изображенной на рисунке 9.13, путем явного задания многоугольников и с использованием указателей.  

                Рис. 9.13.    

Описание полигональной сетки при явном задании многоугольников имеет вид:  

Р₁ = (V₁,V₂,V₄) = (( X1,Y1,Z1), ( X2,Y2,Z2),…(X₄,Y₄,Z₄))  

Р₂ = (V₂,V₃,V₄) = (( X2,Y2,Z2), ( X3,Y3,Z3),…(X₄,Y₄,Z₄))  

Явное задание многоугольников характеризуется избыточностью, поскольку для вершин V2 и V4 описание проведено дважды.  

Описание полигональной сетки при использовании указателей имеет вид:  

Р₁ = (V1,V2,V3,V4) = ((X1,Y1,Z1),(X2,Y2,Z2),(X3,Y3,Z3),(X4,Y4,Z4))  

Р = (1,2,4)          Р = (4,2,3)  

При задании Р цифры в скобках – есть указатели вершин в описании V.  

21.   Выполнить отсечения отрезка прямой, представленного на рисунке 9.14, по алгоритму деления отрезка пополам.  

         Рис. 9.14.    

Находим координаты точки О.    

Отрезок ОВ в соответствии с алгоритмом Коена-Сазерленда отбрасывается.  

Находим координаты точки Р.    

Отрезок ОР в соответствии с алгоритмом Коена-Сазерленда отбрасывается.  

Отрезок АР принадлежит окну.  

22.   Выполнить отсечения отрезков прямых, изображенных на рисунке 9.15, в соответствии с алгоритмом Коена-Сазерленда.    

       Рис. 9.15.    

Определим четырехразрядные коды для точек А и В согласно следующих признаков:

Поскольку четырехразрядные коды точек А и В нулевые, то отрезок находится внутри окна.  

Для точек С и Д четырехразрядные коды равны: точка С – 0000, точка Д – 0001.  

Поскольку операция поразрядного логического умножения дает  нулевой результат, то необходимо выполнить отсечение.  

Отрезок прямой СД задаем уравнением вида:   

Максимальная абсцисса границы окна равна 7. Находим Y для х=7.   

Точка О имеет координаты (7,4/3). Отрезок ОД отбрасывается.  

23.   Определить минимальный объем видеопамят для режима TrueColor, если монитор поддерживает стандарт Artist 1+.  

Режим TrueColor обеспечивает 16777216 цветов, что требует использования log₂16777216=24 разрядов видеопамяти на один пиксель.  

Размер адресного пространства для режима Artist 1+ равно 1024´768, а общее количество точек на экране в этом случае равно 1024´768=786432.  

Необходимый объем видеопамяти для режима TrueColor будет равен 786432´24=18874368 бит.

24.   Определить минимальный объем видеопамяти при условии, что поддерживается режим SVGA и формируется 256 цветов.  

Режиму SVGA отвечает экран с адресным пространством 1024´768 точек.  

Для кодирования 256 цветов необходимо Ö256=8 слоев памяти. Общий объем памяти будет равный:

1024´768´8 = 6`291`456 бит.  

25.   Определить частоту строчной развертки при формировании телевизионного растра с числом строк в кадре Z=625 при: (а) прогрессивной (б) черезстрочной развертке.  

В соответствии с формулой F_z=Z×f_k определяем для прогрессивной развертки (f_k=50 Гц) f_z=625×50=31250 Гц; для черезстрочной развертки (f_k=25 Гц) f_z=625×25=15`625 Гц.  

26. Определить количество пикселов изображения, которые возможно сформировать при асинхронной растровой развертке за 50 кадров при условии, что обратный ход строки и кадра соответственно равны t_p, t_k, время расчета пиксела микропроцессором – t, а количество строк на екране – n.  

При асинхронной растровой развертке видеопамять доступна во время обратных ходов строки и кадра. За время обратного хода строки возможно сформировать ët_p/tû пикселов. Учитывая, что количество строк равно n, то за прямой ход кадра будет сформирован ët_p/tû×n пикселов. За время обратного хода кадра микропроцессор сформирует ët_k/tû точек. За 50 кадров общее количество точек определяем по формуле: 50(n×ët_p/tû+ët_k/tû).  

27.   Определить количество оптоэлектронных пар предэкранной сенсорной панели для обеспечения режима точного позиционирования при условии, что используется экран стандарта Artist 1+.  

Предэкранная сенсорная панель включает пары оптоэлектронных элементов, которые размещены по периметру экрану. Каждая с такой пар включает источник света и его приемник.  

При касании оператором передэкранной панели выполняется ввод в ЭВМ координат Х и Y положения объекта на экране.  

Режиму Artist 1+ отвечает адресное пространство 1024´768 точек.  

Обозначим через n – количество оптоэлектронных пар, которое необходимо обеспечить для одной из сторон экрану, что включает N точек.  

Тогда N/n – определяет размер макрозоны для режима позиционирования.  

Для обеспечения идентификации каждой точки макрозоны отношение N/n необходимо приравнять n, то есть N/n=n. N=n².  

Отсюда n=ÖN. При N=1024, n=32. Если N=68, n=29.  

28.   Определить типы четырехугольников, для которых при заполнении по критерию связности необходимо две точки-затравки при условии, что выполняется горизонтальная растеризация, а одна из точек-затравок размещена в верхнем углу четыреугольника.  

Более чем 2 точки-затравки необходимо при условии, что многоугольник не является выпуклым.  

Возможные варианты невыпуклых четырехугольников приведенные на рис.9.16.  

Как видно из рисунка точки затравки при горизонтальной растеризации необходимо для случаев А и С.   

       Рис. 9.16.  

     Содержание