Розділ 2 Задачі лінійної алгебри

В цьому розділі розглянуто розв’язання двох найбільш поширених обчислювальних задач лінійної математики: розв’язання систем лінійних рівнянь та відшукання власних значень та власних векторів матриць. Причому вважається, що користувач вже знайомий з головними відомостями з теорії матриць.

 

2.1 Розв’язання систем лінійних рівнянь

 

У загальному випадку задача формулюється таким чином: знайти значення , що задовольняють систему з лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР, system of linear algebraic equations):

          (2.1)

або в матричній формі , де

,

,.

Геометричний сенс розв’язку СЛАР полягає в пошуку точки перетину n-мірних гіперплощин у n-мірному гіперпросторі. Розв’язком є стовпець Х. Якщо рівнянь лише два, то маємо випадок двох прямих на площині, які можуть перетинатися, бути паралельними або співпадати. Тому будь-яка СЛАР може мати:

1) єдиний розв’язок;

2) безкінечну множину розв’язків;

3) не мати розв’язку взагалі.    

Необхідною і достатньою умовою існування єдиного розв’язку є нерівність нулю визначника (лінійна незалежність рівнянь):

.

Методи розв’язання систем лінійних рівнянь можна розділити на прямі та ітераційні. До прямих, які дозволяють одержати точний розв’язок, відносяться методи визначників Крамера, Гаусса, прогонки. Ітераційні методи, що ґрунтуються на одержанні і уточненні послідовних наближень до точного розв’язку, ефективні в тому випадку, коли є багато нульових коефіцієнтів або високий порядок системи (метод Гаусса ефективний до порядку 10⁴, ітераційні – до 10⁶).