2.4.4 Теорема зведення системи сил до найпростішого вигляду

Розглянуті чотири випадки зведення довільної системи сил показали, що зміна центра зведення може привести до спрощення або ускладнення системи, яку отримуємо в результаті зведення.

Означення. При зведенні довільної системи сил  до найпростішого вигляду вона зводиться до динами.

Нехай у довільному центрі зведення  система зведена до сили , яка дорівнює головному вектору і парі сил з моментом   (рис. 2.28), який дорівнює головному моменту системи відносно центра

.

Причому другий інваріант системи відмінний від нуля, тобто

.

Розкладемо момент результуючої пари на дві складові: одну  направимо по результуючій силі, а другу  – перпендикулярно до результуючої сили.

Сукупність пари  і сили , що лежить у площині пари, відповідно до правила паралельного перенесення сил можна замінити однією силою  паралельним перенесенням її у відповідний бік на величину . Оскільки пару сил з моментом можна переміщувати у площині пари, то .

Таким чином,

.

Із рис. 2.28 видно, що сила  перпендикулярна до площини пари з моментом ,тобто ми одержали динамічний гвинт або динамо.

Точка  не єдина, де система сил зводиться до динами. Силу  можна переносити вздовж лінії її дії, а момент пари сил є вільним вектором. Таким чином, систему сил можна звести до динамічного гвинта в усіх точках прямої, яка проходить через точку  і є лінією дії сили . Ця пряма називається центральною віссю системи сил. Знайдемо тепер рівняння центральної осі. Нехай  (рис. 2.29) – точка центральної осі.

За теоремою про зв’язок між головними моментами сил відносно різних центрів маємо

,

Звідки

.       (2.81)

Умову колінеарності  і  запишемо у вигляді

           ,               (2.82)

де  – скалярний множник, який називатимемо параметром гвинта.

Нехай , ,  і , ,  – відповідно проекції головних вектора і моменту на осі , , , тоді

                        (2.83)

Тепер рівність (2.82) з урахуванням (2.83) запишемо у вигляді

                                                            (2.84)

де , ,  – координати точки  центральної осі.

Порівнюючи коефіцієнти при одиничних векторах , ,  матимемо

                                               ;

                                               ;

                                               .

Отже

.

Це і є рівняння центральної осі системи сил.