1.3 Закон Гука для анізотропних тіл

Закон Гука встановлює зв'язок між пружними напруженнями (elastic strain) s, діючими на тіло, і деформаціями (deformation) e, викликаними цими напруженнями. Для одноосного розтягу або стиску ізотропного тіла, на яке діє тільки одна сила, закон Гука записується у вигляді
                                              .                                               (1.1)

Коефіцієнт пропорційності Е називають модулем пружності (elastic modulus) при одноосному розтягуванні або модулем нормальної пружності, або модулем Юнга. Це константа ізотропного матеріалу, що характеризує його жорсткість.

При одноосному розтягу матеріалу разом із збільшенням його довжини у напрямі дії сили (наприклад, по осі х) зменшуються поперечні розміри уздовж двох інших осей (у і z). Відношення відносних деформацій зразка в поперечному і подовжньому напрямах називається коефіцієнтом Пуассона v:
                                              .                                              (1.2)

По аналогії з розтягом зв'язок між дотичними напруженнями t і відповідними пружними деформаціями зсуву g можна записати співвідношенням
                                               ,                                               (1.3)
де G – модуль пружності при зсуві (модуль зсуву).

При гідростатичному стиску (hydrostatic compression) ізотропних тіл закон Гука встановлює пряму пропорційність між гідростатичним тиском р і зміною об'єму:
                                                                                            (1.4)
де К – модуль об'ємної деформації.

Справедливий закон Гука тільки при порівняно малих величинах напружень і деформацій, коли ще немає необоротних пластичних деформацій і матеріал поводиться як абсолютно пружне тіло.

Співвідношення (1.1) і (1.3) характеризують, зв'язок між напруженням і деформацією в одному і тому ж напрямі. Але до тіла одночасно можуть бути прикладені напруження в двох або трьох взаємно перпендикулярних напрямах. В результаті мають справу відповідно з плоским і з об'ємним напруженими станами матеріалу.

Проте навіть під дією одноосного розтягу або стиску тіло деформується в трьох взаємно перпендикулярних напрямах х, у і z, тобто одноосний (лінійний) напружений стан приводить до виникнення тривісного, або об'ємного, деформованого стану. Можлива і така комбінація сил, при якій тіло буде знаходитися в плоскому або одноосному деформованому стані.

В загальному випадку зв'язок між напруженнями і деформаціями для ізотропного тіла встановлює узагальнений закон Гука, який в позначеннях, використовуваних в техніці (технічних позначеннях), має наступний вигляд:
                                                                  (1.5)

Тут sх, sу, sz – нормальні напруження в трьох взаємно перпендикулярних напрямах х, у і z;
eх, eу, ez – відносні деформації у напрямі відповідних осей координат (осьові деформації);
tху, tуz, txz – дотичні напруження;
gху, gуz, gxz – кутові (зсувові) деформації.

Пружні константи E, G, v і K зв'язані між собою співвідношеннями
                                                                                  (1.6)

Тільки дві з чотирьох констант незалежні; дві інші можна обчислити із співвідношення (1.6) по цих двох відомих. Іншими словами, щоб отримати повну інформацію про співвідношення між напруженим і деформованим станами пружного ізотропного тіла, достатньо знати його пружні константи.
Для анізотропних тіл закон Гука встановлює пропорційність між кожним компонентом тензора деформацій (component of strain tensor) і всіма шістьма компонентами тензора напружень (тензором називають сукупність математичних величин, що перетворюється при повороті осей координат по певних лінійних законах і які володіють рядом властивостей, загальних для цих величин).

Напружений стан (Stress state) в будь-якій точці навантаженого тіла характеризується дев'ятьма величинами, які утворюють тензор напружень (stress tensor), який записують у вигляді
                                        .                                        (1.7)

Тут три компоненти (sх, sу, sz) позначають нормальні напруження, інші шість – дотичні. Часто нормальні і дотичні напруження позначають однією буквою sik і розрізняють їх по індексах: компоненти з двома однаковими індексами (s11, s22, s33) відповідають нормальним, а з різними індексами – дотичним напруженням. В цьому випадку говорять, що тензор напружень записаний в нумерованих осях 1; 2; 3:
                                      .                                       (1.8)

З дев'яти компонентів тензора напружень тільки шість незалежні; компоненти, симетричні щодо головної діагоналі тензора s11 – s33, рівні між собою, тобто s12=s21; s13=s31; s23=s32.

Деформований стан в точці описується за допомогою тензора деформацій, який в технічних позначеннях має вигляд
                                                                       (1.9)

а в нумерованих осях записується таким чином:
                                        .                                      (1.10)

У виразі (1.9) компоненти ex, ey і ez – лінійні, а інші шість компонентів – описують деформації зсуву. При цьому
                            ;   ;   .                          (1.11)

В рівнянні (1.10) відповідно
                            ;    ;    .                          (1.12)

В літературі використовують три форми запису закону Гука для анізотропних середовищ – тензорну, матричну і технічну.
В скороченій тензорній формі закон Гука можна представити так:
                                          .                                         (1.13)

\
Тут індекси i, k, l, m приймають послідовно значення 1; 2 і 3; eik, позначає відносну лінійну деформацію при i=k і кутову при i¹k (e11, e22, і e33 – лінійні деформації, відповідні деформаціям eх, ey і ez уздовж осей х, y і z; e12=e21; e13=e31; e23=e32 – кутові деформації, відповідні деформаціям 1/2 gху, 1/2 gхz і 1/2 gуz); slm – нормальні напруження при l=m і дотичні при l¹m (наприклад, при l=1, m=1 s11 позначає нормальне напруження, діюче уздовж осі x, при l=2, m=2 s22, позначає те ж у напрямі осі y; при l=1, m=2 s12 позначає дотичне напруження, відповідне tху); ciklm – коефіцієнти пружності анізотропного тіла, створюючі тензор четвертого рангу.

Запис (1.13) припускає, що для отримання значень eik. слід підсумувати добутки сiklm slm по індексах, що зустрічаються двічі, тобто по індексах l і m. Знак підсумовування при цьому опускається. Запис (1.13) відповідає наступному запису з використанням знаків підсумовування:
                                      .                                    (1.14)

Якщо хочуть детально розписати вираз для відносного подовження у напрямі осі х, приймають і=k=1. Тоді

.

Вираз для кутової деформації в площині ху виходить з рівняння (1.13), якщо покласти і=1, k=2:

.
Тензорний запис (1.13) вимагає для обчислення всіх деформацій знати 81 коефіцієнт сiklm. Але насправді, як доводить теорія пружності, з 81 коефіцієнта незалежними і відмінними від нуля можуть бути тільки 21. Так, щоб визначити всі компоненти тензора деформацій, в загальному випадку анізотропного тіла потрібно знати 21 коефіцієнт пружності.

Вираз (1.13) встановлює залежність пружних деформацій eik від напружень slm. Справедливо і зворотне співвідношення, записане в тензорній формі:
                                          ,                                         (1.15)
яке встановлює залежність напружень від деформацій. Правила підсумовування тут такі ж, як і у формулі (1.13).

Тензорний запис зручний для обчислення пружних коефіцієнтів анізотропних матеріалів в напрямах, не співпадаючих з головними осями симетрії, оскільки такий запис дозволяє використовувати правила тензорного числення при повороті координатних осей. Його доцільно застосовувати, коли розглядається плоский або об'ємний напружений стан анізотропного тіла з низькою симетрією.

В загальному випадку анізотропного матеріалу пружні сталі, які створюють тензор четвертого рангу, для довільно орієнтованих напрямів можна розрахувати відповідно до правил перетворення тензорних величин при повороті осей координат по наступній формулі:

                                .                              (1.16)

Тут буквами C з двома індексами позначені направляючі косинуси кутів між новою і старою системами прямокутних координат (табл. 1.1). Перший індекс відповідає номеру нової осі, а другий – номеру старої. Першою вважається вісь х, другою – у і третьою – z. Наприклад, С11 – це косинус кута між новою віссю х' і старою х, С12 – між новою віссю х' і старою y. С32 – між новою віссю z' і старою y і т.п. Кути між позитивними напрямами осей можуть змінюватися від 0 до 180°, тому кожне значення C однозначно визначає кут.

Таблиця 1.1 – Направляючі косинуси

	x	Y	z
х'	C11	C12	C13
у'	C21	C22	C23
z'	C31	C32	C33

Формула (1.16) – скорочений тензорний запис. Вона припускає підсумовування по всіх індексах, що двічі зустрічаються в правій частині. Індекси послідовно пробігають значення 1; 2 і 3.

Разом з тензорним записом закону Гуrа застосовується матрична форма запису:
                                                                                      (1.17)
і
                                            .                                          (1.18)

Від тензорного запису можна перейти до матричного, якщо два індекси об'єднати в один, пробігаючий значення 1, ...., 6. Схема заміни індексів наступна:
тензорні позначення – 11 22 33 23;32 31;13 12;21
матричні позначення – 1   2   3     4        5        6.

Матричний запис (1.18), наприклад, детально можна розписати так:
                          (1.19)

При заміні тензорних позначень на матричні коефіцієнти aiklm переходять в amn sik – sm; перехід від eik до em виконується за правилом
, якщо m=1; 2 або 3;
, якщо m=4; 5 або 6;
при переході від сiklm до сmn вводяться наступні множники:
, якщо m і n рівні 1; 2 або 3;
, якщо m або n рівно 4; 5 або 6;
, якщо m і n рівні 4; 5 або 6.

З 36 коефіцієнтів, що входять в запис (1.19), коефіцієнти сmn=сnm, і фактично достатньо 21 коефіцієнта для отримання повної інформації про поведінку анізотропною тіла в межах пружності.

Технічна форма запису закону Гука використовує технічні постійні пружності – модулі Юнга, зсуву, об'ємного стиснення і коефіцієнти Пуассона. Звичайно її застосовують, описуючи пружну поведінку анізотропних тіл з достатньо високою симетрією.

Тут і надалі прийняті наступні позначення:
Е – модулі нормальної пружності при розтягуванні або стисненні у напрямі осі, вказаної в індексі;
G – модулі зсуву при дії дотичних напружень по площинах, вказаних в індексах;
v – коефіцієнти поперечної деформації (коефіцієнти Пуассона) у напрямі першої з осей, вказаних в індексі, при дії нормальних напружень у напрямі другої осі

.
Наприклад, для ортотропного матеріалу закон Гука в технічних позначеннях можна записати так:
                                                      (1.20)

З 12 пружних коефіцієнтів, що входять у вирази (1.20), 9 незалежні. Зазвичай в якості незалежних констант приймають 3 модулі пружності – Ех, Еy, Еz, 3 модулі зсуву – Gxy, Gxz і Gyz і 3 коефіцієнти Пуассона – vxy, vyz, vzx. Решта 3 коефіцієнта Пуассона розраховують із співвідношень
                  ;  ;  .                (1.21)

Пружні постійні ciklm ортотропного тіла пов'язані з технічними модулями пружності такими співвідношеннями:
;  ;  ;
;  ;  ;
;  ;  ;

Для анізотропних матеріалів з більш високою симетрією кількість незалежних пружних констант зменшується. Наприклад, в трансверсально ізотропних тілах напряму х і y рівноцінні, тому для таких тіл справедливі рівності
                                    (1.22)
і незалежними залишаються тільки 5 пружних констант – Ех, Еz, Gxz, vxz, vxy. Якщо на матеріал діють тільки два взаємно перпендикулярних напруження sх і sy, а sz=0, то ортотропне тіло можна охарактеризувати чотирма постійними: Ех, Еу, Gху і vxy.