Початкова стадія розрахунку нерозрізних балок (not cutting beam) на зовнішнє навантаження в матричній формі пов'язана з визначенням ступеня статичної невизначеності і вибором основної системи (basic system). Ця стадія розрахунку нічим не відрізняється від розрахунку нерозрізних балок звичайним способом.

Нехай  для  нерозрізної  балки  виконана  перша стадія розрахунку. Для n разів статично невизначної нерозрізної балки при навантаженні її одним варіантом зовнішніх сил система канонічних рівнянь в матричній формі має вигляд:

або                                                                                          (2.2.1)

де   А_δ  - матриця одиничних переміщень в основній системі від Х₁ = Х₂ = Х₃ = Х_n =  1;            - вектор невідомих зусиль;

 - вектор переміщень в основній системі від зовнішнього навантаження за всіма напрямами  Х₁, Х₂, … Х_n.

Матрицю одиничних переміщень можна записати:

,

(2.2.2)

де L_m⁰¹- матриця, транспонована відносно Lm0;

 В - матриця піддатливості окремих елементів (ділянок), на які розділяють задану систему, характеризує геометричні розміри і матеріал конструкції;

L_m⁰ - матриця впливу згинальних моментів в основній системі від кожної сили  Х₁ = Х₂ = … = Х_n=1  окремо.

Вектор    можна подати у вигляді

.

(2.2.3)

 Розв’язання  матричного  рівняння (2.2.1) дає вектор невідомих

.

(2.2.4)

Вектор    згинальних   моментів  в  пронумерованих  перерізах  нерозрізної  балки

,

(2.2.5)

,

(2.2.6)

або

.

(2.2.7)

За вектором  будується кінцева епюра згинальних моментів. Вираз (2.2.6) – алгоритм розрахунку статично невизначених систем методом сил в матричній формі. Для його реалізації на ЕОМ треба скласти чотири початкові матриці   L⁰_m, В, L⁰_mp , Р.

Після отримання значення  проводиться деформаційна перевірка правильності отриманої епюри: 

(2.2.8)

При дії на статично невизначену систему кожного з t варіантів зовнішніх дій (до них відносяться постійні навантаження, тимчасові, осідання опор і температура) система канонічних рівнянь має вигляд:

(2.2.9)

де    Х     – матриця невідомих, має t стовпців;

   –  матриця   одиничних  переміщень в  основній  системі  від  Х₁, Х₂, … Х_n = 1;

 –матриця переміщень від всіх  t  варіантів навантажень в основній системі;

 –матриця впливу згинальних моментів в основній системі від  всіх  t  варіантів навантажень  , прикладених роздільно;

Р – матриця  всіх  t  варіантів  зовнішніх  дій.

Розв’язання  системи (2.2.9) аналогічне  розв’язанню (2.2.4):

,

(2.2.10)

де  Х  і  Δ – матриці.

Згинальні моменти для всіх k перерізів від всіх t  варіантів зовнішніх навантажень отримаємо у вигляді матриці:

.

(2.2.11)

Розглянемо приклад матричного розрахунку нерозрізної балки на постійне і тимчасове навантаження (рис. 2.2.1). Схему балки показано на рис. 2.2.1, а. Розділимо перший і другий прогони на 5 рівних частин, консоль – на 2 частини і пронумеруємо перерізи, в яких будемо визначати згинальні моменти. Основна система і характерні перерізи зображені на рис. 2.2.1, б.

Для визначення початкових матриць    побудуємо епюри моментів в основній системі окремо від таких величин:

1)   Х1=1 (рис. 2.2.1, в) - ;

2)   Х2= 1 (рис. 2.2.1, г) - ;

3)   постійного одиничного розподіленого навантаження  (рис. 2.2.1, д) - М_q⁰ постійне;

4)тимчасової одиничної зосередженої сили  Р1  (рис. 2.2.1, е) – М_р1⁰_{тимчасове};

5) тимчасової одиничної зосередженої сили Р2  (рис. 2.2.1, ж) – М_р2⁰_{тимчасове};

6) тимчасового     одиничного     розподіленого     навантаження      qтимчасове (рис. 2.2.1.з) – М_q⁰_{тимчасове}  і обчислимо ординати цих епюр в характерних перерізах.

Для зручності побудови епюр моментів від розподіленого навантаження на рис. 2.2.2 показано проміжні точки квадратної параболи (по середині а=ql²/8). Матриця впливу  згинальних  моментів  L_m⁰  складена за епюрами    та    від   Х₁ = Х₂ = 1 (рис. 2.2.1, г):

.

(2.2.12)

де k,n – порядок  прямокутної  матриці   L_m⁰.

Матрицю піддатливості (pliability) В для всієї балки подамо у вигляді трьох матриць  В1, ВІІ , ВІІІ  для: консолі, 1 і  2  прогонів

.

(2.2.13)

Матриця    складається з двох матриць другого порядку   і , що відповідають  двом  ділянкам  консолі:

; ;

(2.2.14)

Матриці    складаються кожна з п’яти матриць другого порядку:

;

(2.2.15)

Зважаючи на велике число ділянок розділення (нерозрізна  балка має 13 характерних перерізів) матриця піддатливості  В  виходить дуже громіздкою, що ускладнює процес розрахунку. Для полегшення розрахунків знизимо її порядок. Це можливо, оскільки одиничні і вантажні епюри неперервні на межі ділянок  b_i і b_i+1.

Складемо кутові елементи суміжних матриць  bi  і  bi+1  за схемою

Аналогічно складемо кутові елементи суміжних матриць B_i іB_i+1    в сумарній матриці жорсткості:

;

(2.2.16)

Матрицю одиничних переміщень визначимо за (2.2.2):

;

(2.2.17)

Для обчислення добутку матриць зручно скористатися ЕОМ. Якщо розміри матриць, що перемножуються, невеликі, то

,

і можна скористатися оберненою матрицею одиничних переміщень . Матриця, обернена до одиничної:

<./td>

(2.2.18)

При складанні матриці впливу згинальних моментів від одиничних значень навантажень  А0mpзвернемо увагу на епюри  

Матриця  А⁰_mp буде складатися з 4 стовпців – за числом епюр моментів від заданих навантажень:   і 13 рядків – за числом вибраних характерних перерізів./

В даному прикладі перший стовпець матриці А⁰_mp відповідає епюрі М  в балці в 13 характерних перерізах від навантаження власної ваги    другий стовпець – епюрі  М  від зосередженої сили  Р1 і т.д.

.

(2.2.19)

Матриця   Р  від чотирьох варіантів заданих навантажень

.

(2.2.20

Матрицю  невідомих  Х  отримаємо  за (2.2.10):

.

(2.2.21)

Матриця шуканих згинальних моментів визначається за (2.2.15):

(2.2.22)

Епюри від заданих навантажень наведені на рис. 2.2.3.

На рис.2.2.3, а подано сумарну одиничну еп.  для можливості проведення деформаційної перевірки. Суть деформаційної перевірки – рівність нулю взаємних кутів повертання на опорах – добуток еп.  на кінцеву епюру згинальних моментів за умови правильної її побудови має бути рівна нулю, відхилення допускається в межах 3%. Деформаційна перевірка еп. :