2.1 Решітчасті функції та скінченні різниці

Нехай f(t) — неперервна функція, графік якої має вигляд, наведений на рис. 2.1, а.

Рисунок 2.1 — Графіки неперервної f(t) і породженої нею решітчастої f[kT] функцій

Виберемо інтервал дискретності T і визначимо значення функції f(t) лише при значеннях аргументу t, кратних T (рис. 2.1, б).

У результаті цих дій отримаємо функцію f[kT] дискретного аргументу kT (k = 0,1,2,...)(рис. 2.1, в), яку математики домовились називати «решітчастою».

Записується алгоритм породження решітчастої функції   f kT із неперервної f(t) у такий спосіб:

(2.1)

Приклад 1. Нехай

(2.2)

(2.3)

Згідно з алгоритмом (2.1) решітчаста функція f₁[kT], яка породжується функцією (2.2) за умови (2.3), має вигляд:

(2.4)

Приклад 2. Нехай

(2.5) (2.6)

Цій неперервній функції відповідає решітчаста, яка визначається у такий спосіб:

(2.7)

Графіки решітчастих функцій (2.4), (2.7) наведені на рис. 2.2.

Із формул (2.4) та (2.7) легко бачити, що після вибору числового значення інтервалу дискретності T решітчаста функція

f

kT

Рисунок 2.2 — Графіки решітчастих функцій f₁[kT] = 2[0,5k] - 4 та f₂[kT] = 3[0,5]² + 2 при T = 0,5

Як відомо з курсу математичного аналізу, швидкість зміни неперервної функції f(t) у кожній точці графіка характеризується значенням її похідної у цій точці, числове значення якої дорівнює тангенсу кута  нахилу до- тичної до графіка, проведеної через цю ж точку (рис. 2.3).

Рисунок 2.3 — Геометрична інтерпретація похідної f(t) від функції f(t)

Відомо, що похідна є функцією f(t), яка визначається із співвід- ношення:

(2.8)

яке не може мати місця для решітчастих функцій.

Але, оскільки сусідні значення аргументу kT решітчастої функції f[kT] відрізняються на T, то, сформувавши різницю

(2.9)

ми можемо формально використати цю різницю Δf[kT] для характеристики швидкості зміни решітчастої функції f[kT] у точці з аргументом kT.

Різницю Δf[kT] називають прямою скінченною різницею першого порядку решітчастої функції f[kT].

За аналогією з (2.9) можна визначити пряму скінченну різницю другого порядку

(2.10)

Якщо у вираз (2.10) підставити значення Δf[kT] та Δf[(k+1)T], визначені за формулою (2.9), отримаємо:

(2.11)

Узагальнюючи (2.9) та (2.10), маємо:

(2.12)

При розкритті формули (2.12) для конкретних n варто пам'ятати, що

(2.13)

Відомо, що значення похідної f(t) від неперервної функції f(t) у точці з аргументом t не залежить від того зліва чи справа наближається Δt до нуля (див. формулу (2.8)). Інша ситуація виникає при наближенні до точки з аргументом kT під час аналізу решітчастої функції f[kT], а тому для характеристики швидкості її зміни крім прямої скінченної різниці Δf[kT] першого порядку вводять ще й обернену скінченну різницю першого порядку за фор- мулою

(2.14)

Нагадаємо, що символи «Δ» та «∇» є грецькими літерами, відповідно, «дельта» та «набла».

На рис. 2.4 показано, наскільки суттєво можуть відрізнятись пряма Δf[kT] та обернена ∇f[kT] скінченні різниці першого порядку решітчастої функції f[kT] при значенні аргументу kT = 4T.

За аналогією з (2.12) визначається і обернена скінченна різниця ∇ⁿf[kt] порядку n :

(2.15)

де, як і в (2.13),

(2.16)

При n = 2 із формули (2.15) отримаємо

(2.17)

або, з урахуванням (2.14):

(2.18)

Як приклад знайдемо Δf[kT], Δ²f[kT] та ∇f[kT], ∇²f[kT] для решітчастих функцій f₁[kT], f₂[kT], визначених формулами (2.4) та (2.7).

Для функції f₁[kT]:

(2.19)

(2.20)

(2.21)

(2.22)

Для функції f₂[kT]:

(2.23)

(2.24)

(2.25)

(2.26)

Як видно з отриманих результатів, скінченні різниці першого порядку від лінійної решітчастої функції є константами, а другого порядку дорівнюють нулю. Нагадаємо, що і перша похідна від лінійної неперервної функції є константою, а друга похідна теж дорівнює нулю. Така ж аналогія спостерігається і між решітчастою та неперервною квадратичними функціями.