9.1 Математичні моделі релейних елементів з симетричними характеристиками

Практично жодна електромеханічна динамічна система не обходиться без релейних елементів, характеристики «вхід — вихід» яких мають вигляд, наведений на рис. 9.1. Надалі релейні елементи з такими характеристиками будемо називати симетричними.

Рисунок 9.1 — Характеристики «вхід — вихід» симетричних релейних елементів:
а) без зони нечутливості та гістерезису;
б) з зоною нечутливості, але без гістерезису;
в) без зони нечутливості, але з гістерезисом;
г) з зоною нечутливості та гістерезисом

Фізично найпростіше реалізувати симетричний релейний елемент з характеристикою, наведеною на рис. 9.1, б. Як показано на рис. 9.2, він являє собою котушку 1 з рухомим осердям 2, з'єднаним з рухомими контактами 3 чотирьох пар контактів, нерухомі контакти 4 яких з'єднані з джерелом, наприклад, постійного струму 5.

Рисунок 9.2 — Принципова схема релейного елемента з характеристикою, наведеною на рис. 9.1, б

При подачі на вхід цього елемента сигналу x у вигляді напруги, прикладеної до котушки 1, вихідний сигнал y у вигляді напруги джерела постійного струму з'явиться лише тоді, коли вхідна напруга стане більшою x₀ і створить такий струм, магніторушійна сила від якого стане достатньою для втягування осердя 2 і замикання верхньої пари контактів 3-4 при одній полярності вхідного сигналу x, або нижньої — при протилежній полярності.

Якщо магнітна характеристика осердя релейного елемента має практично помітну петлю гістерезису, то цей релейний елемент матиме характеристику «вхід — вихід», наведену на рис. 9.1, г.

Що стосується характеристик, наведених на рис. 9.1, а та рис. 9.1, в, то для їх реалізації потрібні вже спеціальні схеми виконання і включення котушки і осердя.

Схемними і конструктивними способами можна отримати й інший характер релейних характеристик, в тому числі і несиметричний уздовж однієї або обох осей координат.

В загальному вигляді математичну модель релейної характеристики без гістерезису можна записати як

(9.1)

а з гістерезисом — як

(9.2)

Покажемо, який вигляд мають оператори Ф, Ф^* для характеристик, наведених на рис. 9.1.

Якщо ввести знакову функцію

(9.3)

де символ ∀ читається як «для будь-якого», то оператор Ф моделі релейної характеристики без гістерезису і без зони нечутливості (див. рис. 9.1, а) матиме вигляд:

(9.4)

а оператор Ф моделі релейної характеристики без гістерезису, але з зоною нечутливості:

(9.5)

Для релейного елемента з гістерезисом (рис. 9.1, в та рис. 9.1, г) характерним є те, що його характеристика має зони неоднозначності, перебування в яких залежить не лише від поточних значень x, а й від значень x в попередні моменти часу. Крім того, цей оператор залежить від параметра σ, який для релейної характеристики без зони нечутливості має значення:

(9.6)

а для релейної характеристики з зоною нечутливості:

(9.7)

З урахуванням викладених зауважень оператор Ф^* моделі релейної характеристики з гістерезисом (рис. 9.1) має вигляд:

(9.8)

де для характеристики без зони нечутливості (рис. 9.1, в)

(9.9)

та

(9.10)

— для характеристики з зоною нечутливості (рис. 9.1, г).

Символами t₊, t_- позначено значення моменту часу t за мить після його досягнення (t₊) і за мить до нього (t_-).

В подальшому, пам'ятаючи про те, що значення βt розглядається при t = t₊, а значення σ_t розглядається при t = t_-, в загальному вигляді оператор моделі релейної характеристики з гістерезисом будемо записувати у вигляді

(9.11)

Додаючи в рівняння (9.11) параметр ±x₀^* — зміщення вправо або вліво по осі x, або додаючи в рівняння (9.11) параметр ±y₀^* — зміщення вниз або вгору по осі y, можна сформувати модель несиметричної релейної характеристики як з гістерезисом, так і без нього; як з зоною нечутливості, так і без неї.

Ми в цьому навчальному посібнику будемо розглядати моделі лише симетричних релейних характеристик.

Звертаємо увагу на те, що якщо вхідний сигнал x релейного елемента може змінюватись неперервно в заданому діапазоні значень, то вихідний сигнал y може мати лише два (y₀, - y₀) або три (y₀, 0 - y₀) значення, які з'являються на виході релейного елемента стрибком при досягненні його вхідним сигналом x порогового значення 0, x₀ чи -y₀.

Ще однією характерною особливістю релейного елемента, яка випливає з попередньої, є те, що при подачі знакозмінного сигналу x на його вхід на виході цього елемента матимемо послідовність імпульсів однакової висоти, але різного знака, різної ширини і з різними проміжками між ними.

Відзначимо, що якщо вхідний сигнал x не є випадковим процесом, то цілком визначеною буде і вихідна послідовність імпульсів релейного елемента, для якої завжди можна записати математичну модель.