6.1 Оптимальне приймання та завадостійкість

Одною з важливих задач радіотехніки є задача знаходження сигналу на фоні завади. Нехай на вхід системи, яка розв’язує цю задачу, надходить коливання , яке при відсутності сигналу є шумом , тобто , а при наявності сигналу в найпростішому випадку воно є сумою сигналу і шуму: .

Таким чином сигнал на вході приймача можна записати в такому вигляді

де , якщо сигналу немає (позначимо цей випадок ) і , якщо він є (випадок ).

Величина наперед невідома і її необхідно визначити. Через випадковий характер шуму чи завади при розв’язанні задачі знаходження можливі помилки. Якщо приймач визначає, що , будемо вважати, – це випадок , а якщо , то випадок . При цьому можливі чотири варіанти розв’язування.

1. Сигналу немає і приймач визначає, що його немає – правильне знаходження сигналу (ситуація );

2. Сигналу немає, а приймач визначає, що він є – помилкове знаходження сигналу, хибна тревога  (ситуація );

3. Сигнал є і приймач визначає, що він є – правильне знаходження сигналу (ситуація );

4. Сигнал є, а приймач визначає, що його немає – пропуск сигналу (ситуація).

Найбільш просто розв’язується задача знаходження повністю невідомого сигналу. Задача ускладнюється зі збільшенням випадкових невідомих параметрів (чи характеристик) знайденого сигналу. В цьому випадку сигнал описується не просто функцією часу, але й функцією випадкових параметрів , де – матриця параметрів сигналу. Ще більш складною є задача розв’язання кількох сигналів. В цьому випадку на вході приймача діє сигнал , який є сумою завади і двох сигналів та , які можливо накладаються, тобто

де і – випадкові величини, які можуть приймати значення 0 чи 1. Якщо сигнали не повністю відомі, то постає задача розв’язання сигналів з випадковими параметрами:

В поняття “розв’язати два сигнали” можна вкладати різний зміст. При можливості одночасної наявності в прийнятій реалізації двох сигналів, можна мати на увазі лише окреме знаходження сигналів із заданими показниками, а можна не тільки окреме знаходження, але й визначення будь-якого параметра . Так, якщо показники знаходження другого сигналу залишаються вище допустимих в присутності випадкового першого сигналу, то можна говорити, що другий сигнал розв’язується по суті знаходження (оцінки параметра ). Якщо в доповнення до цього розв’язується і перший сигнал при наявності другого, то можна говорити, що сигнали взаємно розв’язується по суті знаходження (оцінки параметра ). Математичною базою для розв’язання всіх задач прийому сигналів, пов’язаних з ризиком помилок прийняття рішення про наявність сигналу при його відсутності, і пропуск сигналу, є теорія ймовірності і математичної статистики, при цьому забезпечується можливість врахування не тільки інформації про прийняте коливання, але й апріорні дані відносно сигналу й завад.

Характеристика завад

Завадами зазвичай називають сторонні електричні збурення, які накладаються на сигнал, що передається, й ускладнюють його прийом. При великій інтенсивності завад прийом стає практично неможливим.

Класифікація завад:

а) завади від сусідніх радіопередавачів (станцій);

б) завади від промислових установок;

в) атмосферні завади (грози, опади);

г) завади, обумовлені проходженням електромагнітних хвиль через шари атмосфери: тропосферу, іоносферу;

д) теплові і дробові шуми в елементах радіокіл, обумовлені тепловим рухом електронів.

В математичному описі завади є випадковими функціями часу. Випадкову функцію неперервного часу зазвичай називають випадковим процесом, її дискретний аналог – випадковою послідовністю. Як правило, завади належать до класу стаціонарних випадкових процесів і характеризуються як своїми розподіленнями й моментами розподілень, так і їх числовими параметрами. Основне розподілення більшості шумових сигналів – нормальне (гаусів процес). Це пояснюється тим, що розподілення сум незалежних випадкових величин, з яких складаються випадкові завади, сходиться до нормального, не залежно від характеру розподілення доданків (теорема Ляпунова).

Момент першого порядку виражає середнє значення (постійну складову) випадкового процесу:

де – густина ймовірностей значень .

Центральний момент другого порядку визначає дисперсію процесу:

Дисперсія виражає потужність змінної складової процесу. Корінь квадратний із значення дисперсії, тобто значення , є середнім квадратичним значенням розкиду випадкових значений відносно середнього значення .

Змішаний момент другого порядку називається функцією автокореляції випадкового процесу :

Величина при = 0 дорівнює загальній потужності випадкового процесу .

На практиці більшість випадкових процесів має властивість ергодичності. Вона полягає в тому, що середні значення за множиною реалізацій (математичні очікування, обчислені за густинами розподілів) збігаються з середніми значеннями за часом однієї реалізації процесу при . Це дозволяє проводити оцінку числових значень параметрів завад безпосередньо за довільними інтервалами задання сигналів:

,

,

Спектральна густина потужності випадкового процесу (розподілення потужності завад і шумів за частотою) пов’язана з функцією автокореляції перетворенням Фур’є. В односторонньому (фізичному) поданні спектра:

Адитивну заваду з рівномірним спектром називають білим шумом. Потужність білого шуму в смузі частот пропорційна ширині смуги:

Сигнал с адитивною завадою зазвичай характеризують не абсолютною потужністю завади, а відношенням середніх потужностей сигналу і завади, яке коротко називають відношенням сигнал/завада:

Значення випадкових процесів є некорельованими тільки при необмеженій смузі частот. Будь-яке обмеження частотної смуги вносить певну кореляцію в процес і незалежними один від одного можна вважати тільки значення процесу, які віддалені одне від одного як мінімум на інтервал кореляції :

Завадостійкість оптимального прийому безперервних повідомлень

Наявність завад утруднює прийом сигналів, при великій інтенсивності завад розпізнавання сигналу може стати практично неможливим. Здатність системи протистояти негативному пливу завади носить назву завадостійкості.

Мірою завадостійкості оптимального прийому безперервних повідомлень є середньоквадратичне відхилення чи середній квадрат похибки.

Нехай – завада на виході приймача. Величина є потужністю завади. Потужність первинного сигналу (повідомлення) дорівнює Замість середньоквадратичного відхилення часто використовують інший показник – відношення потужності сигналу до потужності шуму (на виході приймача):

Якщо відношення сигнал/шум на вході приймача дорівнює то відношення

характеризує виграш (чи програш) в завадостійкості за рахунок використання того чи іншого способу обробки сигналу.

Корисним показником також є узагальнений виграш, що дорівнює:

,

де ;

– ширина спектра повідомлення;

;

– ширина спектра сигналу;

Потенційна завадостійкість сигналів з амплітудною, частотною та фазовою модуляцією

Для передачі елементів двійкового коду (0 і 1) зазвичай використовують сигнали з дискретною амплітудною модуляцією (AM), частотною модуляцією (ЧМ) і фазовою модуляцією (ФМ).

В процесі передачі елементи коду спотворюються завадами, причому спостерігаються помилки двох видів.

1. При передачі елемента 0 може бути прийнятий елемент 1, ймовірність такої події (переходу 01) позначимо через .

2. При передачі елемента 1 може бути прийнятий елемент 0, ймовірність такої події (переходу 10) позначимо через .

Середня ймовірність помилки визначається за формулою:

В подальшому будемо вважати, що апріорні ймовірності передачі елементів коду рівні, тобто при цьому:

Заваду в каналі зв’язку будемо вважати флуктуаційною з нормальним законом розподілу миттєвих значень:

Завадостійкість прийому сигналів АМ, ЧМ, ФМ при вказаних вище умовах можна визначити, обчислюючи середню ймовірність помилки таким чином.

Амплітудна модуляція

Елементами сигналу АМ є посилка (кодовий елемент "1") і пауза (кодовий елемент "0"):

де – тривалість елементу сигналу.

Прийом сигналу АМ в випадку некогерентного прийому здійснюється шляхом порівняння рівня сигналу після амплітудного детектора (детектора обвідної) з деяким пороговим рівнем . Помилки виникають у випадках.

1. При передачі посилки обвідна суми сигналу і завади () виявляється менша порогового рівня (перехід 10).

2. При передачі паузи обвідна завади виявляється більша (перехід 01).

Ймовірність першої події рівна

,

ймовірність другої

де – густина розподілу обвідної суми сигналу і завади, яка, як відомо, визначається узагальненим законом Релея;

–густина розподілу обвідної завади (простий закон Релея).

Середня ймовірність похибки рівна

Значення залежить від порогового рівня . Можна показати, що ймовірність помилки мінімальна, коли (якщо ).

Після обчислення інтеграла отримаємо

де – відношення потужностей сигналу і завади (відношення сигнал/шум);

– табульований інтеграл ймовірностей.

Якщо то

Максимальна завадостійкість при прийомі сигналів AM спостерігається в тому випадку, якщо перед детектором застосовується оптимальна фільтрація сигналів. При цьому забезпечується максимальне відношення сигнал/шум, рівне .

При когерентному прийманні застосовується синхронний детектор, який усуває ортогональну складову вектора завади. Складова має нормальний закон розподілу і модальність . Тому ймовірність спотворення посилки і ймовірність спотворення паузи будуть рівні:

і

де та – густини розподілу ймовірностей сигналів на виході детектора при прийманні посилки та паузи.

Середня ймовірність помилки

Якщо то ймовірність помилки мінімальна і дорівнює

де – відношення сигнал/шум.

Максимальна (потенційна) завадостійкість прийому сигналів АМ має місце, коли після детектора здійснюється оптимальна фільтрація сигналу. При цьому досягається максимальне відношення сигнал/шум.

Частотна модуляція

Елементами сигналу при ЧМ є

В приймачі сигнали розділяються з допомогою фільтрів, налаштованих на частоти і з подальшим детектуванням.

При некогерентному прийомі сигналів ЧМ в одному із фільтрів завжди присутня сума сигналу і завади, а в другому лише завада. Помилка при реєстрації сигналу, очевидно, буде в тому випадку, коли обвідна завади в фільтрі без сигналу перевищить обвідну суми сигналу і завади в фільтрі із сигналом.

Враховуючи, що потужності сигналів і завади в кожному із фільтрів однакові (канал симетричний), ймовірності спотворення "1" і "0" будуть однакові, тобто

Ймовірність того, що обвідна завади в фільтрі буде більша обвідної суми сигналу і завади в другому фільтрі, рівна

Обвідна суми сигналу і завади є випадковою величиною, яка має узагальнений закон розподілу Релея. Тому для визначення ймовірності помилки необхідно усереднити ймовірність за всіма значеннями :

Підставляючи замість і їх значення і обчислюючи інтеграл, отримаємо

де – відношення сигнал/шум на виході фільтра з сигналом.

Середня ймовірність помилки рівна:

Максимальна завадостійкість досягається при прийманні сигналів ЧМ в тому випадку, коли здійснюється оптимальна фільтрація сигналу. При цьому

При когерентному прийманні сигналів ЧМ на завадостійкість впливають тільки синфазні із сигналом складові завад в фільтрі і в фільтрі . Ці складові мають нормальний закон розподілу амплітуд

і однакові дисперсії

Ймовірність перевищення значення обвідної завади в фільтрі без сигналу обвідною суми сигналу і завади в фільтрі з сигналом дорівнює .

Для визначення ймовірності помилки необхідно усереднити ймовірність за всіма значеннями випадкової величини:

де – відношення сигнал/шум.

Середня ймовірність помилки рівна

Максимальна завадостійкість при когерентному прийманні сигналів ЧМ досягається при оптимальній фільтрації сигналів, коли

Фазова модуляція

Елементами сигналу при ФМ є:

Приймання сигналів фазової модуляції можливе лише з допомогою синхронного (когерентного) детектора, який розрізняє фази сигналів.

Ймовірності переходів і при флуктуаційній заваді в каналі зв’язку однакові і рівні:

Середня ймовірність помилки

Максимальна завадостійкість сигналу ФМ досягається при оптимальній фільтрації сигналів, коли

Розподіл каналів при багатоканальній передачі безперервних повідомлень

Використовувані методи розподілу каналів можна розподілити на лінійні і нелінійні (комбінаційні).

В більшості випадків розподілу каналів кожному джерелу повідомлень виділяється спеціальний сигнал, названий канальним. Промодульовані повідомленнями канальні сигнали об’єднуються, в результаті чого утворюється груповий сигнал. Якщо операція об’єднання лінійна, то результуючий сигнал називають лінійним груповим сигналом.

Для уніфікації багатоканальних систем зв’язку за основний чи стандартний канал приймають канал тональної частоти (канал ТЧ), який забезпечує передачу повідомлень зі смугою частот 300…3400 Гц, яка ефективно передається і відповідає основному спектру телефонного сигналу.

Багатоканальні системи утворюються шляхом об’єднання каналів ТЧ в групи, зазвичай кратні 12 каналам. В свою чергу, часто використовують "вторинне ущільнення" каналів ТЧ телеграфними каналами і каналами передачі даних.

На рис. 6.1. наведена узагальнена структурна схема системи багатоканального зв’язку.

Рисунок 6.1 – Узагальнена структурна схема системи багатоканального зв’язку

Реалізація повідомлень кожного джерела з допомогою індивідуальних передатчиків (модуляторів) перетворюється у відповідні канальні сигнали . Сукупність канальних сигналів на виході апаратури об’єднання каналів утворює груповий сигнал . В груповому передавачі сигнал перетворюється в лінійний сигнал , який і надходить в лінію зв’язку (ЛЗ). Припустимо, що лінія пропускає сигнал практично без спотворень і не вносить шумів. Тоді на приймальному кінці лінії зв’язку лінійний сигнал з допомогою апаратури розділення каналів може бути знову перетворений в груповий сигнал . Канальними чи індивідуальними приймачами з групового сигналу виділяються відповідні канальні сигнали і потім перетворюються в призначені отримувачам повідомлення .

Канальні передавачі разом з пристроєм додавання утворюють апаратуру об’єднання. Груповий передавач , лінія зв’язку ЛЗ і груповий приймач утворюють груповий канал зв’язку (тракт передачі), який разом с апаратурою об’єднання і індивідуальними приймачами утворюють систему багатоканального зв’язку.

Індивідуальні приймачі системи багатоканального зв’язку поряд з виконанням звичайної операції перетворення сигналів в відповідні повідомлення повинні забезпечити виділення сигналів із групового сигналу . Інакше кажучи, в складі технічних засобів на передавальній стороні багатоканальної системи повинна бути передбачена апаратура об’єднання, а на приймальній стороні – апаратура розділення.

Щоб пристрої розділення були здатні розрізняти сигнали окремих каналів, повинні існувати певні ознаки, властиві тільки даному сигналу. Такими ознаками можуть бути параметри перенесення, наприклад, амплітуда, частота чи фаза у випадку неперервної модуляції гармонічного перенесення. При дискретних видах модуляції ознакою може служити і форма сигналів. Відповідно розрізняються і способи розділення сигналів: частотний, часовий, фазовий та інші. Ознайомимось з деякими із них.

Розглянемо частотний розділення каналів.

Функціональна схема простої системи багатоканального зв’язку з розділенням каналів за частотою подана на рис. 6.2. Спочатку відповідно до переданих повідомлень первинні (індивідуальні) сигнали, з енергетичними спектрами модулюють піднесучі частоти кожного каналу, відповідно. Цю операцію виконують модулятори канальних передавачів.

Модулятори – це чотириполюсники з нелінійною амплітудною характеристикою, яка в загальному випадку апроксимується поліномом -го степеня:

де – коефіцієнти апроксимації.

Для простоти візьмемо поліном другого степеня, тобто:

Рисунок 6.2 – Функціональна схема простої системи багатоканального зв’язку з розподілом каналів за частотою

Подамо на такий чотириполюсник сигнали двох частот, тобто

,

де .

Тоді

Після відповідних перетворень отримаємо:

Спектр сигналу на виході чотириполюсника буде мати вигляд (рис. 6.3):

Рисунок 6.3 – Спектр сигналу на виході чотириполюсника

Таким чином, на виході чотириполюсника поряд з частотами вхідних сигналів (,) з’явились постійна складова , другі гармоніки вхідних сигналів і та складові сумарної та різницевої частот .

Якщо на чотириполюсник подати сигнал несучої частоти і сигнал тональної частоти в смузі (де = 0,3 кГц, = 3,4 кГц), то спектр сигналу на виході чотириполюсника буде мати вигляд (рис. 6.4):

Рисунок 6.4 – Спектр сигналу на виході чотириполюсника

Корисними продуктами перетворення (модуляції) є верхня і нижня бокові смуги. Для відтворення сигналу на прийомі на вхід демодулятора достатньо подати несучу частоту () і одну із бокових частот.

В багатоканальних системах передачі з частотним розділенням каналів по каналу передається тільки сигнал однієї бокової смуги, а несуча частота береться від місцевого генератора. Таким образом, на виході кожного канального модулятора включається смуговий фільтр зі смугою пропускання 3,1кГц. Спектри після транспонування (переносу) на різні частотні інтервали і інверсування складаються і утворюють груповий спектр .

З метою зменшення впливу сусідніх каналів (зменшення перехідних завад), обумовленого неідеальністю АЧХ фільтрів, між спектрами сигнальних повідомлень вводяться захисні інтервали. Для каналів ТЧ вони рівні 0,9 кГц. Таким чином, ширина смуги каналу ТЧ з врахуванням захисного інтервалу дорівнює 4 кГц (рис. 6.5).

Рисунок 6.5 – Спектр групового сигналу із захисними інтервалами

Розглянемо часовий розподіл каналів.

При формуванні сигналу лінійного тракту систем передачі при ЧРК на передавальній стороні неперервні сигнали від абонентів передаються почергово (рис. 6.6)

Рисунок 6.6 – Принцип часового розподілу каналів

Для цього ці сигнали перетворюються в ряд дискретних значень, періодично повторюваних через визначені інтервали часу , які називаються періодом дискретизації. Згідно з теоремою Найквіста-Котельникова період дискретизації неперервного, обмеженого за спектром сигналу з верхньою частотою повинен дорівнювати

,

де – частота дискретизації.

Інтервал часу між найближчими імпульсами групового сигналу називається канальним інтервалом чи тайм-слотом (Time Slot).

Із принципу часового об’єднання сигналів випливає, що передача в таких системах здійснюється циклами, тобто періодично у вигляді груп із імпульсів, де – кількість інформаційних сигналів, – кількість службових сигналів (імпульсів синхронізації – ІС, службові зв’язки, управління і виклики). Тоді величина канального інтервалу:

Таким чином, при ЧРК повідомлення від абонентів і додаткових пристроїв передаються по спільному каналу зв’язку у вигляді послідовності імпульсів, тривалість кожного з яких (рис. 6.7, 6.8).

Рисунок 6.7 – Перетворення сигналів при ЧРК

При часовому розподілі каналів можливі такі види імпульсної модуляції (рис. 6.9): АІМ – амплітудноімпульсна модуляція; ШІМ – широтноімпульсна модуляція; ФІМ – фазоімпульсна модуляція.

Рисунок 6.8 – Груповий сигнал при ЧРК з ФІМ

Рисунок 6.9 – Модуляція канальних імпульсів при ЧРК: а) неперервне повідомлення; б) АІМ; в) ШІМ; г) ФІМ

Зазвичай приймають (2,3 ... 2,4) і при дискретизації телефонного повідомлення зі смугою частот 0,3…3,4 кГц частоту дискретизації вибирають рівною 8 кГц.