Імовірність події

1.2. Імовірність події. Класична i статистична ймовірності та їх обчислення

Поняття ймовірності події виникло як інтуїтивне поняття, яке дає кількісну оцінку можливості появи події A i позначається Р(А).

Класичне й статистичне означення ймовірності.

Розглянемо простір (множину) елементарних подій А₁, А₂, ... А_n при виконанні комплексу умов S.

, (1)

де m кількість елементарних подій, сприятливих А,

n кількість вcix можливих елементарних подій.

За класичним означенням ймовірність появи події шукають не проводячи ніяких дослідів, виходячи з теоретичних міркувань. На практиці часто доводиться мати справу iз статистичною ймовірністю. Її часто називають відносною частотою появи події i позначають

Р = ,

де m кількість випробувань, в яких подія А з'явилась,

n загальна кількість випробувань.

В дослідах статистична ймовірність коливається в околі деякого постійного числа, змінюючись мало, причому тим менше, чим більше проведено дослідів. Ця стала отримала назву класичної ймовірнocтi. Для існування статистичної iмовірнocтi необхідно:

1) мати можливість провести необхідну кількість випробувань, в кожному з яких подія А настане або нi;

2) наявність стійкості відносних частот появи події А в різних серіях достатньо великого числа випробувань.

Статистична ймовірність (the statistical probability) має властивості:

1) Р(А)0 це очевидно, оскільки m0;

2) для вірогідної події ;

3) якщо події А і В несумісні, то статистична імовірність події С=А+В дорівнює сумі статистичних ймовірностей Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Легко бачити, що формулою (1) можна користуватись лише у випадку скінченних m i n. Якщо m і n нескінченні, то класична імовірність вводиться аксіоматично. Класичною імовірністю Р(А) події А, яка визначається простором елементарних подій , називається числова функція, яка задовольняє такі умови:

1) Р(А);

2) ;

3) для несумісних подій А і В: Р(А+В)=Р(А)+Р(В).

Умови 1) - 3) отримали назву аксіом теорії ймовірностей. Аксіоматичне означення класичної ймовірності зручне в теорії, проте воно не дає способу її обчислення. Такий спосіб дає визначення класичної ймовірності як границі статистичної. Якщо проводяться серії однотипних дослідів, в кожній з яких обчислені статистичні ймовірності, то отримаємо послідовність {Р₁*(А), Р₂*(А), ... Рn*(А)}, границя якої і визначає класичну ймовірність при .

Введення класичного означення ймовірності відбулося не в результаті однократної дії, а зайняло певний проміжок часу, як і формування самої теорії ймовірностей. Тобто відбувалося безперервне вдосконалення формування, перехід від конкретних задач до загального випадку.

Найперші роботи, котрі були присвячені теорії ймовірності як науці, були написані Х. Гюйгенсом (1657) «Про розрахунки в азартних іграх». Однак у своїй праці автор не дає чіткого формулювання для класичного означення ймовірності. Це поняття було введено, хоча і в недосконалій формі, Я. Бернуллі (1713) у трактаті «Мистецтво припущень»: «Імовірність – ступінь вірогідності і відрізняється від неї, як частина від цілого». Як бачимо, таке формулювання є досить узагальненим. Однак у п’ятій главі четвертої частини своєї роботи Я. Бернуллі описує класичну ймовірність як відношення числа «щасливих» випадків до кількості усіх можливих. Якобом Бернуллі було запропоновано й інше означення ймовірності як відношення кількості «щасливих» випадків до кількості «нещасливих». Однак в науці це означення не було прийняте з двох причин: 1) неадитивності відношень (першого та другого означень); 2) зміна відношення в останньому означенні від 0 до ∞.

Якоб Бернуллі (27.12.1654 - 16.08.1705)

Швейцарський математик. Брат Йоганна Бернуллі. Науковий керівник - Лейбніц. Якоб зробив значний вклад в теорію рядів, диференціальне числення, теорію ймовірностей і теорію чисел, його іменем названі числа з деякими визначеними коефіцієнтами. В алгебрі він завершив теорію комбінацій і перестановок, в елементарній геометрії розв'язав так звану задачу Мальфатті для випадку рівнобедреного трикутника, в диференціальній геометрії розв'язав питання про геодезичні криві на поверхні обертання і багато інших питань.

Я. Бернуллі свої роботи обґрунтовував роботами Граунта і Петті. У трактаті Я. Бернуллі присутні обидві концепції теорії ймовірності – статистична і класична. Обидві вони викладені не досить чітко, однак принципово новий крок у науці було зроблено – введено в розгляд поняття ймовірності випадкової величини як числа, що знаходиться в межах від 0 до 1. Вірогідній події при цьому приписувалася 1 (максимальне значення ймовірності), а неможливій – 0 (мінімальне значення). Крім того, було ясно сказано, що це число може бути визначено двома різними способами: шляхом підрахунку кількості усіх рівноможливих випадків, які сприяють події, та всіх можливих випадків і обчислення їх відношення, а також шляхом проведення великої кількості (класичний спосіб) незалежних випробувань і обчислення частоти події (статистичний спосіб).

Я. Бернуллі обмірковував своє «Мистецтво припущень» довгі роки, за його словами близько 20. Однак у світ воно вийшло лише через 8 років після смерті автора у 1713 році. Зміст цих публікацій вже був відомий широкому колу науковців у вигляді рукописів. Таким чином, цей трактат впливав на подальший розвиток теорії ймовірності ще до його публікації, що видно з праць П. Монмора, А. Муавра.

Муавр Абрагам де (1667 - 1754) - англійський математик.

Наукова спадщина Муавра дуже велика, адже вчений був надзвичайно працьовитою людиною. Він працював у галузі теорії рядів, теорії ймовірностей, комплексних чисел. У теорії ймовірностей довів одну важливу теорему, яка названа його іменем і яку можна знайти в усіх підручниках із цієї теорії. У теорії комплексних чисел вивів правила піднесення до степеня й добування кореня n-го степеня з комплексних чисел. Ці формули широко застосовуються в тригонометрії й алгебрі при розв'язуванні двочленних рівнянь і відомі тепер як «формули Муавра».

Саме означення, що його дав Я. Бернуллі, стало першою сходинкою у розвитку теорії ймовірності як науки. А. Муавр сприйняв це класичне означення ймовірності, яке дав Я. Бернуллі, і ймовірність події визначив точно так само, як це робимо ми. Він писав: «Ми будуємо дріб, чисельником якого буде кількість випадків появи події, а знаменником – кількість усіх випадків, при яких вона може з’явитися чи не з’явитися, такий дріб буде визначати дійсну ймовірність її появи».

З визначення імовірності випливає, що вона задовольняє співвідношення .

Приклад

З колоди 36 карт вибирається одна карта. Яка імовірність появи карти пікової масті?

Розв’язання. Нехай А поява карти пікової масті. Всього випадків 36. Число випадків, що сприяють події А, m=9. Значить Р(А)=9/36=0,25.

(Історична задача А. Муавра.) Для класичного означення А. Муавр навів приклад.

Якщо якась подія має 3 сприятливих випадки (шанси), 2 – несприятливих шанси, дробовий вираз 3/5 буде точно говорити про ймовірність її появи і може розглядатися як її міра.

Великий внесок у розвиток теорії ймовірностей зробив Л. Ейлер. Леонард Ейлер швейцарський вчений (4(15).04.1707-7(18).09.1783).

20 жовтня 1720 р. тринадцятирічний Леонард Ейлер став студентом факультету мистецтв Базельського університету. Батько бажав, щоб він став священиком. Але любов до математики, блискуча пам'ять і відмінна працездатність сина змінили ці наміри і направили Леонарда по іншому шляху. У творчій спадщині вченого близько 800 робіт. Певна увага була приділена Ейлером і теорії ймовірностей, зокрема декілька робіт Ейлера присвячені страхуванню. Вони є вагомим внеском в розвиток теорії ймовірностей.

Темі демографії Ейлер приділяв особливу увагу. Серед робіт цієї тематики можна виділити “Дослідження про смертність та примноження роду людського”, “Про примноження роду людського”. В цих роботах Ейлер вирішує багато задач, що лягли в основу математичної демографії. Ейлер створив вікову теорію смертності. Він отримав цікаві висновки при розв’язанні задач про подвоєння чисельності населення. Прикладом такої задачі є викладена нижче.

Приклад Л. Ейлера

Кількість жителів деякої області збільшується щорічно на 1/30 кількості людей, а спочатку область населяло 100000 людей. Питається, якою буде кількість людей через 100 років?

Через 100 років кількість людей буде:

Логарифмуємо:

Цьому логарифму відповідає число 2654874. Отже, через 100 років кількість населення збільшиться більш ніж в 26,5 раза.

Одна з важливих задач Ейлера

Нехай N позначає кількість людей, що народилися одночасно, k(N) – кількість людей, що залишилися живими через k років. Відповідно k – ймовірність виживання. Після введення цих позначень Ейлер дає таку відповідь на сформульоване питання:

а ймовірність того, що людина помре у вказаний проміжок часу буде:

Ймовірності Ейлер брав з роботи голландського демографа М. Керсебума (1691-1771).

Оскільки Ейлер частину свого життя працював в Росії, він добре знав російську мову, і частину своїх творів (особливо підручники) публікував російською мовою. Перші російські академік математик (С. К. Котельников) і астроном (С. Я. Румовський) були учнями Ейлера. Деякі його нащадки і донині проживають в Росії.

Однією з перших задач, яку слід віднести до теорії ймовірностей є обчислення числа різних можливих варіантів при киданні гральних кубиків. Перші відомі підрахунки при киданні 3-х гральних кубиків відносять до X-XI століть.