1. ОСНОВНІ ПОНЯТТЯ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТІЕЙ. АЛГЕБРА ПОДІЙ ТА ЙМОВІРНОСТЕЙ

1.1. Випадкові події та дії над ними. Простір подій

Первісним поняттям в теорії ймовірностей є поняття події (the vent). Результат спостереження чи досліду будемо називати подією і позначати великими буквами латинського алфавіту А, В, С.

Для того, щоб подія відбулась, необхідне виконання певного комплексу умов, які позначатимемо через S.

Якщо, наприклад, дослід полягає в киданні монети, то поява герба (або цифри) є подією: якщо виготовлення підшипника даного типу – дослід, то відповідність підшипника стандарту – подія; якщо дослід – кидання гральної кістки (кубика), на гранях якої поставлені цифри (очки) від 1 до 6, то випадання будь-якої цифри  подія.

Всі події можна розділити на вірогідні (reliable), неможливі (imposssible) та випадкові (random). Вірогідними називають події, які при заданих умовах обов'язково відбудуться в проведеному досліді. Якщо ж при здійсненні комплексу умов подія не відбудеться ніколи, то така подія називається неможливою.

Наприклад: випадання від одного до шести очок при киданні грального кубика – подія достовірна, випадання семи очок – неможлива. Достовірні події позначають буквою U, неможливі  V.

Імовірність (the probability)  характеризує шанс появи події. Іноді шанс появи події задають або визначають відсотками. Наприклад, станок штампує деталі, причому якісних серед них 90%. Випадковими називаються події, які при виконанні комплексу умов S можуть відбутися, а можуть і не відбутися. Наприклад, випадання герба чи цифри при одному киданні монети; при стрільбі, маючи сім патронів, влучити в ціль чотири рази; виліт літака в погану погоду і т. д. При цьому вважається, що події можуть повторюватись багаторазово, тобто є масовими. Випадковість події полягає в неможливості передбачити результат досліду чи спостереження в масових явищах.

Якщо для кожної події можна передбачити результат досліду або спостереження, то такі події називають детермінованими, або передбачуваними. В теорії ймовірності вивчають недетерміновані події.

Дві події А і В називаються несумісними (incompatible), якщо поява однієї із них виключає появу іншої в даному досліді, в іншому разі події сумісні (compatible).

Дві події А і В називаються рівноможливими, якщо при виконанні комплексу умов S однаково можливі появи подій А і В.

Наприклад, при киданні грального кубика однаково можливі появи будь-якої сторони кубика. Події А₁, А₂, ..., А_n називаються єдино можливими, якщо поява однієї з них є достовірною подією. Множину єдино можливих подій називають повною групою подій. Події А₁, А₂, А₃, ..., A_n утворюють повну групу подій, якщо хоча б одна з них обов'язково відбудеться.

Подія називається протилежною події А, якщо ці події єдино можливі і утворюють повну групу подій (complete group of events). Наприклад, якщо А  влучення в мішень, то  промах.

Сукупність несумісних рівноможливих подій, які утворюють повну групу, називають простором (space) або множиною елементарних подій (set of elementary events), події при цьому називають елементарними. Елементарну подію часто називають випадком, а сукупність елементарних подій  схемою випадків.

Будь-яку складену подію можна подати як сукупність елементарних подій. Для цього потрібно ввести операції додавання, віднімання та множення подій. Ці дії легко означити, використовуючи теоретико-множинний підхід.

Сумою (об'єднанням) (amount) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що в одному досліді відбудеться або подія А, або В, або обидві разом. Суму записують так:

С=А+В або .

Добутком (перетином) (product) двох подій A i В називають подію С, яка полягає в тому, що відбувається і подія А, і подія В одночасно, це записують:

С=АВ або .

Узагальнюючи цi операції для кількох подій, матимемо

, .

Різницею двох подій A i В називають подію С, яка настає тоді коли А вже настала, а В  ще не настала, i це записують: А-В=С, або А=В+С. Вірогідні події позначають буквою U, а неможливі V. Тому , ; для несумісних A i В: AB=V.