1.4. Додавання ймовірностей. Протилежні події
Нижче буде розглядатися ймовірність суми двох несумісних подій А1 і А2. Сума цих двох подій позначається А1+А2 або 
. Справедлива теорема про додавання ймовірностей.
Теорема. Нехай в досліді можуть мати місце: випадкова подія А1 з імовірністю Р(А1) і подія А2 з імовірністю Р(А2). Події А1 і А2 несумісні. Тоді імовірність суми подій, тобто того, що відбудеться або подія А1, або А2, дорівнює сумі ймовірностей цих подій і обчислюється за формулою:
Р(А1+А2 )=Р(А1)+Р(А2).
Доведення.
Доведення проведемо за допомогою формул класичної імовірності. Нехай 
. Події А1 і А2 несумісні. При загальному числі випадків n число випадків, що сприяють одночасній появі подій А1 і А2, рівне 0, а число випадків, що сприяють появі або події А1, або А2 дорівнює m1+m2. Отже,
.
Аналогічно можна для довільного числа доданків записати:
.
Останню рівність записують ще так:
.
Дві події називаються протилежними (opposite), якщо вони несумісні і складають повну групу.
У своїх роботах Я. Бернуллі свідомо використовує правило додавання ймовірностей, однак самого правила автор не сформулював. Також Якоб Бернуллі чітко розрізняв додавання сумісних подій та несумісних подій, що видно з наведеного нижче прикладу (у досить цікавій формі показано приклад невиконання наведеної теореми додавання для суми сумісних подій): «Нехай дві людини, які заслуговують покарання смертю, вимушені кинути гральні кубики з умовою, що той, хто викине меншу кількість очок, буде покараний смертю, а інший, який викине більшу кількість очок, збереже життя. Обидва збережуть життя, якщо викинуть однакову кількість очок. Ми знайдемо сподівання першого 7/12 або 7/12 життя, але з цього не випливає, що для другого шанси будуть 5/12 життя, оскільки очевидно, що частки їх будуть рівноймовірними. Тому інший також буде сподіватися на 7/12 життя, що в сумі дасть 7/6 життя, тобто більше одиниці. Внаслідок цього можуть бути випадки, коли обидві людини залишуться живими».
Тобто Я. Бернуллі знайшов твердження, яке зараз ми записуємо:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ).
Формулювання теореми про суму несумісних подій ми знаходимо у праці Томаса Байєса «Досвід розв’язання задач з теорії ймовірностей покійного шановного містера Байєса, члена Королівського товариства» (в 1763 р., через 2 роки після смерті, роботу було прочитано на засіданні Лондонського королівського товариства). Теорема формулювалася так: «Якщо кілька подій є “неплотними” (несумісними), то ймовірність того, що настане якась із них, дорівнює сумі ймовірностей кожної з них».
”Неплотними” автор називає події, якщо поява однієї виключає появу іншої, зараз ми називаємо їх несумісними.
Незалежність подій визначив лише Муавр: «Ми скажемо, що дві події незалежні, коли кожна з них ніяк не стосується іншої, а поява однієї з них не чинить ніякого впливу на появу іншої».
Більш чітко Муавром також було дано означення залежних подій: «Дві події залежні, коли вони пов’язані одна з одною і коли ймовірність появи однієї з них змінюється при появі іншої».
Історичний приклад Муавра (для залежних і незалежних подій).
Нехай маємо дві колоди карт однієї масті, в кожній колоді від двійки до туза. Тоді ймовірність того, що з кожної колоди навгад вдається витягнути по тузу буде 1/13·1/13=1/169. Ми маємо справу з двома незалежними подіями. Якщо ми виймаємо 2 карти з однієї колоди і запитуємо про ймовірність того, що при першому вийманні виймемо туз, а при другому – двійку. То тут ймовірність першої події 1/13, а другої – 1/12. Таким чином ймовірність події, що нас цікавить 1/13·1/12=1/156.
Якщо подію позначимо через А, то протилежну подію позначимо через 
. Нехай імовірність появи події А р, то імовірність появи позначимо через Р()=q.
Наслідок 1. Сума ймовірностей протилежних подій дорівнює одиниці:
.
Це випливає з того, що в іспиті обов’язково відбудеться або подія А або подія , і на основі теореми про суму подій та їх ймовірностей одержимо:
.
Наслідок 2. Якщо випадкові події А1, А2, А3, ..., Аn утворюють повну групу несумісних подій і 
їх ймовірності, то сума ймовірностей дорівнюватиме одиниці:
=1.
Доведення. А1, А2, А3, Аn утворюють повну групу подій, то поява обов’язково однієї з цих подій є подія достовірна.
=1.
Наслідок 3. Для довільної події А імовірність протилежної події 
обчислюється за формулою 
.
Доведення. Подія 
полягає в тому, що відбуваються або подія А, або подія , і це є достовірною подією. Тому 
, звідки 
.
Приклад. (Із “схеми урн”) В урні 10 червоних, 5 синіх і 15 білих кульок. Всього 30 кульок. Витягується 1 кулька. Знайти ймовірність появи кольорової кульки.
Розв’язання.
Поява кольорової кульки означає появу або червоної, або синьої кульки. Подія А поява червоної кульки, В поява синьої кульки, С поява кольорової кульки С=А+В, Р(С)=Р(А)+Р(В) події А і В несумісні. Р(А)=10/30=1/3, Р(В)=5/30=1/6; Р(С)=1/3+1/6=3/6=0,5 або Р(С)=(10+5)/30=0,5.
Так само, як і теорема додавання, теорема множення ймовірностей формувалася на розгляді окремих прикладів і на підрахунку кількості шансів, що сприяють появі кількох подій. Такого типу підрахунки зустрічаються практично в усіх попередників Я. Бернуллі, який широко використовував ці правила при виведенні своїх відомих формул. Широко використовував правила додавання і множення ймовірностей Монмор.
