4.3. Нормальний закон розподілу на площині

З усіх законів розподілу системи двох випадкових величин найбільше поширення на практиці має нормальний розподіл.

Розглянемо спочатку нормальний розподіл для системи двох незалежних випадкових величин.

Нехай і  нормально розподілені і незалежні випадкові величини, а відповідні їм щільності розподілення мають вигляд:

; .

Отже, щільність розподілу системи (,), на підставі теореми добутку щільностей розподілу для випадку незалежних величин отримаємо у вигляді:

; (4.2)

при ; .

Якщо центр розсіювання системи збігається з початком координат, то

, отже,

(4.3)

Вираз (4.3) називається канонічною формою нормального розподілу на площині.

Для дослідження виду поверхні розподілу необхідно застосувати метод перерізів. Перетинаємо поверхню розподілу площинами, паралельними координатній площині х0у. Проектуючи переріз на цю координатну площину, ми отримаємо сімейство подібних і однаково розміщених еліпсів зі спільним центром в початку координат. Для того, щоб переконатися в цьому, запишемо рівняння лінії перетину поверхні розподілу площиною

z = z0 = const.

Очевидно, що сталому значенню z₀ функції (4.2) відповідає стале значення степеня, тобто: х² / σ _ξ1² + у² / σ _ξ2² = k²    (k= const).

Це рівняння є рівнянням проекції на координатну площину х0у лінії перерізу поверхні розподілу площиною z =z_0. Перетворивши рівняння до вигляду побачимо, що воно є рівнянням еліпса, головні півосі якого пропорційні σ_х і σ_у і збігаються, відповідно, з осями 0х, 0у, а центр знаходиться в початку координат. Оскільки k може змінюватися від нуля до нескінченності, то ми маємо сімейство подібних і однаково розміщених еліпсів. Кожний еліпс із цього сімейства є геометричним місцем точок, де щільність розподілу f(х,у) дорівнює постійній величині. Тому вони називаються еліпсами однакової щільності або еліпсами розсіювання. Спільні осі симетрії всіх еліпсів розсіювання називаються головними осями розсіювання. При еліпси перетворюються в кола і розподіли називають круговими.

Перетинаючи поверхню розподілу площинами, паралельними координатній площині у0z, ми будемо отримувати криві, подібні кривим нормального розподілу. Таким чином, поверхня розподілу має вигляд горба, вершина якого знаходиться на осі 0z (рис. 4.6).

Рис. 4.6

Поверхня розподілу (рис. 4. 5) відрізняється від поверхні розподілу (рис. 4. 6) тільки тим, що центр еліпсів розсіювання має координати , а головні осі розсіювання паралельні, відповідно, осям координат, тобто поверхня розподілу (рис. 4.5) отримується паралельним перенесенням поверхні розподілу (рис. 4.6).

Рис. 4. 7

Обчислимо для розподілу (4.2) імовірність попадання в прямокутник зі сторонами, паралельними осям координат. Прямокутник обмежений абсцисами a і b і ординатами c і d (рис. 4.7).

Застосовуючи загальну формулу для розрахунку імовірності попадання випадкової точки в довільну область для вказаного випадку, запишемо початковий вираз для шуканої імовірності у вигляді:

.

Для кожної з випадкових величин , використаємо формулу для обчислення імовірностей за нормальним законом розподілу.

Якщо сторони прямокутника не паралельні осям координат (головним осям розсіювання), ця формула для імовірності попадання в прямокутник не застосовуються.

Двовимірний нормальний розподіл допускає узагальнення на систему n випадкових величин (ξ₁, ξ₂, ξ_{3, …} ξ_n).  А  саме: якщо  випадкові  величини  ξ₁, ξ₂, ξ_{3, …} ξ_n мають  нормальний  розподіл  і  незалежні  між  собою,  то система  випадкових  величин  (ξ₁, ξ₂, ξ_{3, …}ξ_n) має n–вимірний нормальний розподіл зі щільністю імовірності:

.

Розглянемо нормальний розподіл на площині для залежних величин. Щільність нормального розподілу для двовимірної випадкової величини (ξ₁, ξ₂ ) записується формулою:

;

де ,  математичні сподівання випадкових величин і ,  середні квадратичні відхилення,  коефіцієнт кореляції випадкових величин і .

Твердження. Якщо нормально розподілені випадкові величини некорельовані, то вони незалежні.

Раніше відмічалось, що для довільного вектора (, ) умова не гарантує незалежності ξ₁ і ξ₂.

Одне з найбільш відомих практичних застосувань нормального розподілу ймовірностей двох величин є використання його в теорії розсіювання артилерійського вогню. Нехай в площині цілі введені декартові координати (х,у). Багаточисельні спостереження підтверджують, що щільність імовірності попадання снаряду в точку (х,у) площини цілі з великою точністю виявляється рівною нормальній щільності f(х,у) при правильно вибраних параметрах a, b, σ₁, σ₂ і r. Ця обставина лежить в основі розрахунку середнього числа снарядів, потрібних для ураження заданої цілі.

Питання для самоперевірки

1. Основне означення двовимірної випадкової величини.

2. Функція розподілу системи двох випадкових величин та її властивості.

3. Як вводиться поняття щільності для системи двох випадкових величин і які її властивості?

4. Які числові характеристики вводяться для двовимірної випадкової величини? Наведіть їх означення і властивості.

5. Що називається коефіцієнтом кореляції? Які його властивості?

6. Який вигляд мають формули щільності для нормального розподілу на площині? Яке їх застосування для обчислення ймовірностей?