5. ЗАКОН ВЕЛИКИХ ЧИСЕЛ

Теорія ймовірностей вивчає закономірності, властиві масовим випадковим явищам. Закономірності виявляються при великій кількості випадкових явищ, що відбуваються при однакових умовах.

Це означає, що характеристики випадкових подій і випадкових величин в цих умовах стають стійкими: середній їх результат (наприклад, частота події, середні значення випадкової величини) перестає бути випадковим і може бути передбачений з великим ступенем визначеності. Вказана особливість є суттю “закону великих чисел”.

Розглянемо групу теорем, що присвячені граничним законам розподілу. Нехай ξ випадкова величина з математичним сподіванням Мξ та дисперсією .

В подальшому при доведенні теорем будемо користуватись нерівністю Чебишова, що доведена в теоремі 1.

Теорема 1. Ймовірность того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання за абсолютною величиною не менше будь-якого додатного числа ε, що не перевищує :

Доведення.

Нехай ξ – неперервна в. в. із щільністю розподілу (х). Тоді

Позначимо АВ: . Виділимо на числовій осі праворуч і ліворуч від математичного сподівання відрізки, кожен довжиною ε. Якщо у виразі для інтеграл по всій осі 0х замінити інтегралом по області, який лежить зовні відрізка AB, то, оскільки під інтегралом знаходиться невід’ємна функція, величина інтеграла може тільки зменшитися, тобто:

Замінюючи під знаком інтеграла на ε, ми знову можемо тільки зменшити величину інтеграла.

Інтеграл в правій частині визначає ймовірність того, що випадкова величина ξ прийме значення, яке знаходяться за межами відрізка АВ:

Звідки:

Нерівність Чебишова може бути записана в іншій формі, для протилежної події. Імовірність абсолютної величини відхилення в. в. від математичного сподівання, менша , визначається за формулою:

Зауваження. Нерівність Чебишова має для практики обмежене значення, оскільки часто дає грубу оцінку.

Нехай, наприклад, , тоді одержимо:

Зрозуміло, що жодна йвомірність не може бути більшою не тільки чотирьох, але навіть одиниці. Якщо, наприклад , то: . Це вже непогана оцінка імовірності. Таким чином, бачимо, що нерівність Чебишова корисна лише при відносно великих ε.

Теоретичне значення нерівності Чебишова дуже велике. Нижче ми скористаємось цією нерівністю при доведенні теореми Чебишова.

Приклад. Дано випадкову величину з математичним сподіванням і дисперсією . Оцінити зверху ймовірність того, що в. в. відхилиться від свого математичного сподівання не менше, ніж на .

Розв’язання.

Вважаючи в нерівності Чебишова , одержимо:

імовірність того, що відхилення випадкової величини від її математичного сподівання вийде за межі трьох середніх квадратичних відхилень, не може бути більша .

Нерівність Чебишова дає тільки верхню границю імовірності даного відхилення. Вище цієї межі ймовірність не може бути.

В більшості випадків імовірність того, що величина вийде за межі відрізка , значно менша . Наприклад, для нормального закону ця ймовірність дорівнює 0,003. На практиці найчастіше ми маємо справу з випадковими величинами, значення яких дуже рідко виходять за межі .

Якщо закон розподілу випадкової величини невідомий, а відомі тільки і , відрізок вважають відрізком практично можливих значень випадкової величини (так зване правило “трьох сігм”).

5.1. Закон великих чисел Чебишова

Теорема 2. Нехай , , … — послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії, тобто для будь-якого i. Тоді яке б не було справедливе співвідношення:

Зміст закону великих чисел Чебишова полягає в нижчевикладеному. Якщо окрема випадкова величина приймає значення, що дуже відрізняється від математичного сподівання, середнє арифметичне великого числа випадкових величин з імовірністю, близькою до одиниці, приймає значення, що мало відрізняється від середнього арифметичного їх математичних сподівань.

Доведення.

Нехай , тобто середнє арифметичне n випадкових величин. Випадкова величина має математичне сподівання:

і дисперсію

Використано властивості математичного сподівання і дисперсії. Застосовуючи до випадкової величини нерівність Чебишова, знайдемо, що

, тому

Оскільки при будь-якому i, отже,

Переходячи до границі при , маємо

Окремий випадок закону великих чисел Чебишова

Теорема 1. Нехай послідовність попарно незалежних випадкових величин, що мають обмежені в сукупності дисперсії () і однакові математичні сподівання . Тоді, яке б не було , справедливе співвідношення:

оскільки:

Зауваження. Кажуть, що випадкова величина збігається за ймовірністю до числа А, якщо при як завгодно малому імовірность нерівності із збільшенням n необмежено наближається до одиниці. Збіжність за імовірністю не означає, що . Дійсно, в останньому випадку нерівність виконується для всіх достатньо великих значень n. У разі збіжності за ймовірністю ця нерівність для окремих як завгодно великих значень n може не виконуватися. Проте невиконання нерівності для великих значень n подія дуже рідкісна (малоімовірна).

Буручи це до уваги, окремий випадок закону великих чисел Чебишова можна сформулювати так.

Окремий випадок закону великих чисел Чебишова

Середнє арифметичне попарно незалежних випадкових величин , що мають обмежені в сукупності дисперсії і однакові математичні сподівання , збігається за імовірністю до а.

Зміст окремого випадку закону великих чисел Чебишова. Нехай потрібно знайти дійсне значення а деякої величини, наприклад, розмір деякої деталі. Для цього проводемо ряд незалежних один від одного вимірювань. Будь-яке вимірювання супроводжується певною похибкою. Тому кожен можливий результат вимірювання є випадкова величина (індекс і  номер вимірювання).

Припустимо, що в кожному вимірюванні немає систематичної похибки, тобто відхилення від істинного значення а вимірюваної величини в той чи інший бік рівноймовірні. В цьому випадку математичні сподівання всіх випадкових величин однакові і дорівнюють вимірюваній величині а, тобто .

Припустимо, що вимірювання проводяться з деякою гарантованою точністю. Це означає, що для всіх вимірювань .

Таким чином, ми знаходимося в умовах закону великих чисел Чебишова, а тому, якщо число вимірювань достатньо велике, то з практичною достовірністю можна стверджувати, що яке б не було , середнє арифметичне результатів вимірювань відрізняється від дійсного значення а менше, ніж на .

Теорія ймовірностей почала перетворюватися в строгу науку завдяки працям П. Л. Чебишова.

Чебишов Пафнутій Львович (1821-1894). Двадцятирічним хлопцем Чебишов закінчив університет, а через два роки опублікував свою першу наукову роботу. В 25 років в Московському університеті захистив дисертацію, що була присвячена теорії ймовірностей. У двадцять вісім років він отримав у Петербурзькому університеті ступінь доктора. Дисертацією була його книга “Теорія порівнянь”, якою згодом більш ніж півстоліття науковці та студенти користувалися як одним із глибоких і серйозних джерел з теорії чисел.