5. 2. Закон великих чисел Бернуллі

Нехай проводиться послідовність n незалежних випробувань, в результаті кожного з яких може з’явитися або не з’явитися подія А, причому ймовірність появи цієї події одна і та ж при кожному випробуванні і рівна р. Якщо подія А фактично відбулося m разів в n випробуваннях, то відношення називають частотою появи події А. Частота є випадкова величина, причому ймовірність того, що частота приймає значення , виражається за формулою Бернуллі:

.

Закон великих чисел у формі Бернуллі полягає в нижчевикладеному: з імовірністю, як завгодно близькою до одиниці, можна стверджувати, що при достатньо великій кількості випробувань частота появи події А як завгодно мало відрізняється від її ймовірності в окремому досліді, тобто

,

де  будь-яке додатне число. Іншими словами, при необмеженому збільшенні числа n випробувань частота події А збігається за ймовірністю до р(А)  ймовірності події А в окремому досліді.

Доведення.

Розглянемо випадкову величину . Оскільки і , то

.

.

Застосуємо до випадкової величини нерівність Чебишова.

.

Переходячи до границі при , очевидно маємо

.

Ми говоримо, що при великій кількості випробувань частота події А має властивість стійкості. Ця обставина знаходить своє пояснення в законі великих чисел Бернуллі.

Теорема Бернуллі

При необмеженому збільшенні кількості незалежних випробувань (при однакових умовах) частота події А збігається за ймовірністю до її ймовірності p в окремому досліді.

Якщо позначити частоту події А в n дослідах через , теорему Бернуллі можна записати у вигляді

.

Доведення.

Позначимо через випадкову величину — кількість появ події А в першому досліді, через — кількість появ події А в другому випробуванні і так далі.

Кожна з величин є дискретною випадковою величиною з двома можливими значеннями: 0 і 1. Ряд розподілу величини має вигляд:

де є ймовірність непояви події А в i-ому випробуванні.

Математичне сподівання кожної з величин рівне p, а дисперсія  pq.

Частота є середнє арифметичне випадкових величин .

.

Застосовуючи окремий випадок теореми Чебишова, одержимо твердження теореми.

Узагальненням теореми Бернуллі на випадок, коли випробування відбуваються за неоднакових умов, є теорема Пуассона, яка формулюється так: при необмеженому збільшенні кількості незалежних випробувань в змінних умовах частота події А збігається за ймовірністю до середнього арифметичного її ймовірностей при даних випробуваннях.

Доведення теореми Пуассона випливає з узагальненої теореми Чебишова, аналогічно як доведення теореми Бернуллі випливає з теореми Чебишова.

Якоб Бернуллі розв'язав деякі задачі комбінаторики і, у зв'язку з вивченням суми виду 1m + 2m + …+ nm, відкрив числа, які згодом було названо бернуллієвими. У цій праці він довів так звану теорему Бернуллі - важливий окремий випадок закону великих чисел, що має важливе значення в теорії ймовірностей та її застосуваннях у статистиці. Завдяки цьому теорія ймовірностей, яка раніше стосувалася лише азартних ігор, набула важливого значення в практичній діяльності людей. У механіці Якобу Бернуллі належать праці про визначення центра кочення тіл та опору тіл різної форми, що рухаються в рідині.