5. 3. Центральна гранична теорема

Розглянуті поередні теореми є різними формами закону великих чисел.

Закон великих чисел встановлює факт збіжності за ймовірністю деяких випадкових величин до сталих їх характеристик.

При цьому ні в одній з форм закону великих чисел не маємо справи із законами розподілу випадкових величин.

Часто доводиться мати справу з такими випадковими величинами, які є сумами великої кількості незалежних випадкових величин. За деяких умов виявляється, що ця сума має розподіл, близький до нормального, хоча кожен з доданків може не підпорядковуватися нормальному закону розподілу ймовірностей.

Центральна гранична теорема теорії ймовірності (теорема Ляпунова) встановлює умови, за яких вказаний граничний закон є нормальним (О. М. Ляпунов (1857-1918)  видатний російський математик).

Теорема. Нехай — послідовність попарно незалежних випадкових величин з математичними сподіваннями , дисперсіями . Ці величини мають такі дві властивості:

1. Існує таке L, що для будь-якого i має місце нерівність , тобто всі значення випадкових величин, як то кажуть, рівномірно обмежені щодо їх математичних сподівань.

2. Сума необмежено зростає при .

Тоді при досить великому n сума має розподіл, близький до нормального (без доведення).

Нехай a і — математичне сподівання і дисперсія випадкової величини

.

Тоді

;

;

.

З теореми Ляпунова випадкова величина для великих значень n має розподіл, близький до нормального, тобто має місце формула

(5.1)

де Ф — інтеграл імовірності.

Основний закон похибок

Якщо проводиться деяке вимірювання, то на його результат впливає велика кількість чинників, які породжують похибки вимірювань.

Похибки вимірювань можна розділити на три групи:

1) грубі похибки; 2) систематичні похибки; 3) випадкові похибки.

Грубі похибки виникають від неуважності при читанні показів приладу, неправильному записі показів, неправильному використанні приладу. Цих похибок можна уникнути дотриманням правил вимірювання.

Систематичні похибки спотворюють результат вимірювання в певну сторону. Вони походять від недосконалості приладів, від особистих якостей спостерігача і можуть бути усунені відповідними поправками.

Випадкові похибки виникають внаслідок великої кількісті окремих причин, що не підлягають точному врахуванню і що діють у кожному окремому випадку різним чином. Ці похибки виникають від непомітних механічних причин, через зміни параметрів вимірювальних приладів, залежних від метеорологічних умов, і так далі. Кожна з цих причин окремо породжує при вимірюванні невелику похибку v_i.

При додаванні ці невеликі похибки утворюють сумарну похибку , якою вже не можна нехтувати. Сумарна похибка  це випадкова величина, що є сумою великої кількості незначних незалежних одна від одної випадкових величин і згідно з наслідком з теореми Ляпунова має нормальний розподіл. Припускаючи, що вимірювання відбувається без грубих і систематичних похибок, можна вважати, що результат вимірювання є випадкова величина , математичне сподівання якої рівне істинному значенню а вимірюваної величини: .

Оскільки сумарна похибка підпорядковується нормальному закону розподілу, то можливий результат вимірювання теж підпорядковується нормальному закону розподілу. У цьому полягає основний закон похибок.