5.4. Інтегральна і локальна теореми Лапласа (Муавра-Лапласа)

Теорема. Нехай проводиться n незалежних випробувань, в кожному з яких імовірність поява події А одна й та ж і рівна p (p1, p). Нехай m  число появ події А в n вимірюваннях. Тоді для достатньо великих n випадкова величина m має розподіл, близький до нормального, з параметрами

, .

Доведення.

Нехай  число появи події А в і-тому досліді.

Тоді , .

Тобто може приймати тільки два значення 0 або 1, то для будь-якого i маємо .

Величина прямує до нескінченності при .

Отже, послідовність випадкових величин задовольняє умови теорії Ляпунова. Тому сума цих величин для достатньо великих n має розподіл, близький до нормального, що і потрібно було довести.

Обчислимо ймовірність того, що випадкова величина m, тобто кількість появ події А в n випробуваннях, задовольняє нерівність , де і — дані числа. Оскільки , , то

II частина теореми (локальна теорема Лапласа)

для достатньо великих n. Функція – щільність нормального закону затабульована.

Лаплас П’єр Сімон (1749-1827)

Народився в бідній селянській сім'ї у Нормандії.

Французький астроном, математик, фізик, іноземний член Петербурзької АН (1802). Довів стійкість Сонячної системи (завдяки руху всіх планет в один бік, малим ексцентриситетам і малим взаємним нахилам їх орбіт, довів, що повинна існувати незмінність середніх відстаней планет від сонця, а коливання інших елементів орбіт повинні знаходитися в дуже невеликих межах). Лаплас створив космогонічну гіпотезу утворення всіх тіл Сонячної системи, що названа його іменем. В загальних рисах вона не змінилася і дотепер.

Наукова діяльність Лапласа була надзвичайно широкою й різноманітною. Йому належать численні фундаментальні праці з математики, експериментальної й математичної фізики, небесної механіки. У галузі математики Лаплас створив праці з теорії диференціальних рівнянь, зокрема, з інтегрування рівнянь із частинними похідними методом “каскадів”. Він глибоко досліджував теорію лінійних рівнянь, на якій ґрунтуються задачі теорії потенціалу, теплопровідності, електростатики та гідродинаміки. Лаплас розвинув і систематизував результати, здобуті Б. Паскалем, П. Ферма, Я. Бернуллі та іншими математиками в питаннях теорії ймовірностей, удосконалив методи доведення, довів важливу граничну теорему, яка називається теоремою Муавра-Лапласа. У 1730 висловив її лише для окремих випадків; розвинув теорію похибок і, хоч і не строго, довів (1811) спосіб найменших квадратів. У 1799 запропонував спосіб мінімального наближення функцій, який потім був спрощений Ла Валле Пуссеном Шарль Жаном. Теорія ймовірностей значною мірою сформувалася саме в працях Лапласа.

Приклад 1.

Знайти ймовірність того, що подія А з’явиться рівно 70 разів в 243 випробуваннях, якщо ймовірність появи події в кожному випробуванні рівна 0,25.

Розв’язання.

За умовою n=243; k=70, p=0,25; q=0,75. Оскільки n=243  достатньо велике число, скористаємося локальною теоремою Лапласа;

; ;

;

;

.

Знайдемо: ;

; .

.

=

.

Приклад 2. Знайти ймовірність того, що в результаті 1000 підкидань монети число випадання герба буде знаходитися в інтервалі (475, 525).

Розв’язання.

p=0,5; n=1000. Отже, np=500, npq=250.

Вважаючи у формулі:

отримаємо

.

Приклад 3. Завод випускає 90% виробів першого сорту і 10% виробів другого сорту. Навмання вибирають 1000 виробів. Знайти ймовірність того, що число виробів першого сорту опиниться в межах від 900 до 940.

Розв’язання.

Ймовірність вибору виробів першого сорту p=0,9, число дослідів n=1000. Отже, np=900, npq=90.

Застосовуючи формулу отримаємо

.

Формула (5.1) спрощується, якщо ? менше, а ? більше на одне і те ж число ?

. (5.2)

Частота події є випадковою величиною, математичне сподівання якої , а дисперсія . Тому на підставі (5.2) можемо записати:

. (5.3)

Приклад 4. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі рівна 0,7. Скільки потрібно зробити пострілів, щоб з імовірністю, не меншою 0,96; можна було стверджувати, що відхилення частоти попадання в ціль від імовірності тієї ж події буде не більше 0,01?

Розв’язання.

Використовуючи формулу (5.3) при p=0,7, q=1-p=0,3, і Ф(t) =0.96 отримаємо:

.

; .

Питання для самоперевірки

1. Сформулюйте і доведіть нерівність Чебишова.

2. В чому полягає суть закону великих чисел Чебишова. Сформулюйте його та доведіть.

3. Закон великих чисел Бернуллі. Теорема Бернуллі.

4. Сформулюйте центральну граничні теорему Ляпунова та її висновки.

5. В чому полягає основний закон похибок?

6. Інтегральна та локальна теореми Муавра-Лапласа та їх застосування.