1.2 Показники надійності невідновлюваних ТЗ

 

Основними нормованими показниками надійності невідновлюваних ТЗ можуть бути такі показники:

– ймовірність безвідмовної роботи (probability of faultless work) P(t);

– ймовірність відмови (probability of refuse) Q(t);

– частота відмов (frequency of refuses) a(t);

– інтенсивність відмов (intensity of refuses) λ(t);

– середнє напрацювання (middle work) до першої відмови Tср.

Оскільки час настання відмови T є величина випадкова, то Q(t) – це ймовірність того, що випадкова величина Т набуде значення, менше або рівне t (інтегральна функція (integral function) розподілу відмов), де t – час, за який визначається показник надійності (reliability index), тобто ймовірністю відмови називається ймовірність того, що за певних умов експлуатації в заданому інтервалі часу виникне хоча б одна відмова

.           (1.1)

Ймовірністю безвідмовної роботи P(t) називається ймовірність того, що за певних умов експлуатації в заданому інтервалі часу або у межах заданого напрацювання t не відбудеться жодної відмови

. (1.2)

Оскільки безвідмовна робота (faultless work) і відмова є подіями неспільними і протилежними, то між ними справедливе таке співвідношення

. (1.3)

Оскільки Q(t) є законом розподілу випадкової величини (відмов), то залежність між можливими значеннями безперервної випадкової величини T та ймовірностями влучення в їх межі називається щільністю ймовірності (closeness of probability).

Вважаючи, що в момент ввімкнення ТЗ роботоздатний, тобто Р(0) = = 1, функція Р(t) монотонно спадає від 1 до 0 так, як це показано на рис. 1.1. При цьому абсолютно зрозумілим є те, що Р()=0, тобто будь-який ТЗ при з часом відмовить.

Рисунок 1.1 – Характеристики зміни ймовірності безвідмовної роботи та ймовірності відмови

Частота відмов a(t) є щільністю ймовірності часу роботи ТЗ до першої відмови

(1.4)

Інтенсивністю відмов називається відношення числа відмовлених ТЗ за одиницю часу до середнього числа ТЗ, що справно працюють в даному проміжку часу. Ймовірнісна оцінка цієї характеристики знаходиться за виразом

. (1.5)

Середнім напрацюванням до першої відмови Tср називається математичне сподівання (момент першого порядку) M[t] часу роботи ТЗ до відмови. Математичне сподівання, тобто , обчислюється за частотою відмов (щільність розподілу часу безвідмовної роботи) так

(1.6)

оскільки і , а , то .

Величина Тср – параметр функції Р(t), який в багатьох випадках дозволяє відновити всю функцію.

Інколи середній час безвідмовної роботи Тср є прийнятною характеристикою для порівняння ТЗ за показниками безвідмовності.

Знаючи один з показників надійності і закон розподілу відмов, можна обчислити інші характеристики надійності, враховуючи такі формули:

(1.7)

(1.8)

, (1.9)

де – інтенсивність відмов, що розраховується за формулою (1.5).

Момент другого порядку розраховується за формулою

. (1.10)

З врахуванням того, що Р(t)=1 при t=0, а , остаточно отримаємо

. (1.11)

З виразу (1.11) із врахуванням (1.6) можна знайди дисперсію часу безвідмовної роботи ТЗ за формулою

. (1.12)

Приклад 1.1. Інтенсивність відмов ТЗ залежить від часу і виражається функцією . Необхідно визначити ймовірність безвідмовної роботи, частоту відмов і середнє напрацювання до першої відмови.

Розв’язування:

Ймовірність безвідмовної роботи розрахуємо за формулою (1.9). Вона після відповідних математичних перетворень набуде вигляду: .

Частота відмов визначається шляхом підстановки Р(t) у формулу (1.5), яка після перетворень набуде вигляду: .

Відповідно до формули (1.6) середнє напрацювання до першої відмови буде дорівнювати: .

Статистичні оцінки (statistical estimations) показників надійності невідновлюваних ТЗ розраховуються за такими формулами.

Статистична оцінка ймовірності відмови визначається за формулою

, (1.13)

де – кількість ТЗ, що відмовили за час t;

– загальна кількість ТЗ, що підлягають випробуванням.

Статистична оцінка ймовірності безвідмовної роботи буде дорівнювати

. (1.14)

Статистична оцінка частоти відмов

, (1.15)

де – кількість ТЗ, що відмовили в інтервалі часу від до ;

– інтервал часу;

– час початку і-го інтервалу;

– час кінця і-го інтервалу.

Статистична оцінка інтенсивності відмов

, (1.16)

де – середня кількість відремонтованих ТЗ, що працюють в інтервалі часу ;

– кількість відремонтованих ТЗ, що працюють на початку інтервалу ;

– кількість ТЗ, що працюють в кінці інтервалу .

Знаючи моменти виходу з ладу всіх ТЗ, за якими ведеться спостереження, можна дати статистичну оцінку середнього напрацювання до першої відмови

, (1.17)

де – час безвідмовної роботи i-го зразка ТЗ.

Маючи дані про кількість ТЗ, що вийшли з ладу в кожному i-тому інтервалі часу, статистичну оцінку середнього напрацювання до першої відмови можна визначити з рівняння

, (1.18)

де ;

– час початку і-го інтервалу, - час кінця і-го інтервалу;

– час, протягом якого вийшли із ладу всі ТЗ;

– інтервал часу.

Приклад 1.2. На випробування направлено 1000 ТЗ. За 3000 год. відмовило 80 ТЗ, а за інтервал часу 3000 ÷ 4000 год. відмовило ще 50 ТЗ. Необхідно визначити ймовірність безвідмовної роботи та ймовірність відмови протягом 3000 год.; частоту та інтенсивність відмови у проміжку часу 3000 ÷ 4000 год.

Розв’язування:

За формулами (1.13) і (1.14) визначаємо:

або

За формулами (1.15) і (1.16) знаходимо оцінку частоти та інтенсивності відмов: