1.2 Узагальнена методика математичного моделювання

 

Математичне моделювання можна розглядати як засіб вивчення реальної системи шляхом її заміни зручнішою для експериментального дослідження системою (моделлю), що зберігає істотні риси оригінала. При моделюванні здійснюється апроксимація функції опису більш простою і зручною для практичного аналізу функцією – моделлю.

Математичні моделі, особливо ті, що використовують чисельні методи, потребують для свого створення значних інтелектуальних, фінансових та часових затрат. Тому рішення про створення нової моделі приймається лише в разі відсутності більш простих шляхів вирішення поставленої проблеми (наприклад, модифікації однієї з існуючих моделей).

Дослідження об'єкту моделювання і складання його математичного опису полягають у встановленні зв'язків між характеристиками процесу, виявленні його граничних і початкових умов та формалізації процесу у вигляді системи математичних співвідношень.

Процес побудови будь-якої математичної моделі можна представити послідовністю етапів, зображених на рис. 1.1.

 

Рисунок 1.1 – Послідовність етапів побудови математичної моделі

 

На етапі дослідження об’єкта моделювання потрібно виконати наступні дії:

  •  аналіз взаємодії об’єкта з зовнішнім середовищем, виділення характеристик вхідних впливів та реакції об’єкту, класифікація їх на вимірні та невимірні, керуючі та перешкоди;
  •  проведення декомпозиції та дослідження внутрішньої структури об’єкту;
  •  дослідження порядку функціонування об’єкту, виявлення зв’язку між входом та виходом, формування множини станів об’єкту;
  •  збір та перевірка існуючих експериментальних даних про об’єкти-аналоги, проведення, при необхідності, додаткових експериментів;
  •  класифікація об’єкта моделювання на стаціонарний чи нестаціонарний, визначення міри впливу випадкових факторів на об’єкт та порядку нелінійності зв’язків між характеристиками об’єкту;
  •  аналітичний огляд літературних джерел, аналіз та порівняння побудованих раніше моделей подібних об’єктів;
  •  аналіз та узагальнення всього накопиченого матеріалу, розроблення загального плану створення математичної моделі.

    В деяких випадках дослідження внутрішньої будови та порядку функціонування об’єкта моделювання неможливе або економічно недоцільне. Тому можливо розглядати об’єкт як „чорний ящик”, стосовно якого нам відомі лише його входи та виходи.

    На підставі аналізу об’єкту моделювання формується змістовна постановка моделювання, в якій мають бути зазначені:

  •  мета моделювання;
  •  тип моделі;
  • вимоги до адекватності моделі та якості розв’язку.
     

    Тип моделі має відповідати результатам класифікації об’єкта моделювання, інакше модель навряд чи буде адекватною.

    Весь накопичений в результаті дослідження матеріал, змістовна постановка задачі моделювання, додаткові вимоги до реалізації моделі, оформлюються у вигляді технічного завдання на проектування та розробку моделі.

    Концептуальна постановка задачі моделювання – це сформульований в термінах конкретних дисциплін (фізики, хімії, біології тощо) список основних питань, а також сукупність гіпотез відносно особливостей та поведінки об’єкта моделювання. Розробник моделі на підставі результатів аналізу об’єкта моделювання формує своє бачення стосовно процесів на об’єкті і формулює його на природній мові в термінах предметної області. При цьому з метою спрощення моделі він приймає низку припущень та обмежень. Припущення можуть містити нехтування певними процесами або зміну характеру їх протікання. Концептуальна модель має пройти погодження з експертами по даній предметній області з метою перевірки на адекватність. Адекватність концептуальної моделі визначає адекватність математичної моделі, яка формується на її основі.

    Математична постановка задачі моделювання – це сукупність математичних співвідношень, які описують поведінку та характеристики об’єкта моделювання. Необхідно формалізувати змінні моделі та зв’язки між ними. Математичний опис моделі складається на основі законів фізики, хімії тощо, які характеризують динаміку і статику процесів в досліджуваному об'єкті, і виражається на мові будь-яких розділів математики. Найбільше поширення при побудові детермінованих моделей набули алгебраїчні рівняння та системи, звичайні диференціальні рівняння і диференціальні рівняння в частинних похідних, матрична алгебра, а при стохастичному моделюванні і методи теорії імовірності, математичної статистики та теорії випадкових процесів. Якщо апріорні відомості про об'єкт недостатні, вигляд математичних моделей уточнюється за допомогою методів багатовимірної статистики: регресійного, кореляційного, багатофакторного і інших аналізів, а також проведення пасивного або планування активного експериментів. Для більшості складних об’єктів структура моделі містить параметри, які відображають особливості конкретних об’єктів. Пошук значень цих параметрів відбувається за допомогою методів параметричної ідентифікації на основі проведення пасивного або активного експериментів.

    Поняття коректності задачі має важливе значення в процесі моделювання. Адже, наприклад, чисельні методи розв’язку задач доцільно застосовувати лише до коректно поставлених задач. При цьому, не всі практичні задачі можна вважати коректними. Математична модель є коректною, якщо для неї отримано позитивний результат по всіх контрольних перевірках: розмірності, порядку, характеру залежностей, граничних умов, фізичного сенсу тощо.

    Для математичної моделі обирається один з методів розв’язку, який дозволяє при заданих значеннях вхідних змінних отримати значення вихідних змінних. Вибір методу обгрунтовується на підставі властивостей моделі, даних про точність вимірювання значень змінних, вимог до точності та швидкості отримання розв’язку.

    Необхідною умовою для переходу від дослідження об’єкта до дослідження моделі і подальшого перенесення результатів на об’єкт моделювання є вимога адекватності моделі об’єкту. Адекватність – це відтворення моделлю з необхідною повнотою всіх властивостей об’єкта, важливих для цілей даного дослідження. Як правило, адекватність моделі визначається на підставі статистичних оцінок розбіжностей значень вихідних змінних моделі та об’єкту при однакових значеннях вхідних змінних, розрахованих за результатами серії експериментів на об’єкті моделювання. Для перевірки адекватності моделі використовуються дані іншої серії експериментів, ніж для параметричної ідентифікації. Відмінність значень виходу моделі та об’єкту може бути обумовлена наступними причинами:

  •  спрощеність моделі;
  •  похибка чисельних методів;
  •  похибка вимірювальних пристроїв;
  • обчислювальна похибка, пов’язана з переходом між десятичною і двійковою системами числення та особливостями комп’ютерних обчислень.
     

    Якщо модель не задовольняє критеріям адекватності, необхідно крок за кроком перевірити коректність розробки на всіх етапах:

  •  умови проведення експерименту та правильність вимірювання і фіксування його результатів;
  •  правильність програмної реалізації алгоритмів;
  •  адекватність результатів параметричної ідентифікації;
  •  обгрунтованість вибору методу розв’язку моделі;
  •  коректність математичного опису явищ та характеристик об’єкту;
  • адекватність концептуальної моделі.
     

    Після успішної перевірки адекватності модель може бути застосована в задачах прогнозу та дослідження об’єкта.

    Метод математичного моделювання дозволяє виключити необхідність виготовлення громіздких фізичних моделей, пов'язаних з матеріальними витратами; скорочувати час визначення характеристик (особливо при розрахунку математичних моделей на комп’ютері і вживанні ефективних обчислювальних методів і алгоритмів); вивчати поведінку об'єкту моделювання при різних значеннях параметрів; аналізувати можливість застосування різних елементів; отримувати характеристики і показники, які складно отримувати експериментально (кореляційні, частотні, параметричної чутливості).

    Розглянемо особливості аналітичного та комп’ютерного (імітаційного) моделювання.