2.1.2 Ітераційні методи

 

Ітераційні методи особливо ефективні при високому порядку системи. Вони застосовуються в системах, попередньо приведених до вигляду:

     (2.8)

або в матричній формі:

де

.

Існує декілька основних різновидів ітераційних методів. Це методи Якобі (простої ітерації), Гаусса – Зейделя і послідовної верхньої релаксації, в основі яких лежить систематичне уточнення значень змінних, заданих на початку розрахунку.

В методі Якобі початкові значення змінних використовуються для обчислення нових значень за допомогою наведених нижче рівнянь. Процес припиняється, коли всі нові значення виявляються достатньо близькими до початкових. В протилежному випадку нові значення використовуються замість початкових. Ця процедура повторюється доти, доки не буде досягнута збіжність або стане ясно, що процес розбіжний. В цьому методі заміна значень всіх змінних проводиться одночасно (одночасне зміщення).

Система ітераційних рівнянь має вигляд:

де , відповідно, значення, на наступній (m+1) і попередній (m) ітераціях.

В методі Гаусса-Зейделя уточнене значення відразу ж використовується для обчислення . Потім по нових значеннях і визначаються і т.д. Це дозволяє істотно збільшити швидкість збіжності.

В методі послідовної верхньої релаксації нові значення кожної змінної обчислюються як:

,

де – уточнене значення за методом Гаусса-Зейделя; –параметр релаксації ().

При цей метод подібний до методу Гаусса-Зейделя. Швидкість збіжності залежить від .

Одним з головних питань щодо застосування ітераційних методів є збіжність. Для оцінки збіжності обчислюються норми матриці коефіцієнтів з системи (2.2).

Найбільшого поширення набули такі способи оцінки норм:

І норма : ,

ІІ норма : ,

-норма (Евклідова) : .

Існує декілька підходів до визначення збіжності за допомогою оцінки норм. В загальному випадку достатньо, щоб хоча б одна з норм матриці В була менша за одиницю

||B||<1.

В математиці називають таку умову “звичайною” або “сильною”. В багатьох випадках збіжність забезпечується і при виконанні так званої “слабкої” ознаки. Наприклад, “слабка” ознака сум по рядках: для всіх сум коефіцієнтів рядків виконується співвідношення:

але є один рядок для якого

Аналогічно визначається “слабка” ознака сум по стовпцях.

“Слабка ” ознака може використовуватися в тих випадках, коли матриця коефіцієнтів А системи рівнянь (2.1) є нерозкладна, тобто це квадратна матриця А, яку (на відміну від розкладної) не можна привести до вигляду:

де - квадратні матриці.

Для розкладних матриць система рівнянь (2.1) розпадається на дві системи рівнянь, що вирішуються послідовно. В більш детальних підручниках, список яких наведено в кінці цієї книги, міститься багато більш детальних доведень і аналіз властивостей та ознак для оцінки збіжності, але для загальноінженерного підходу до багатьох практичних задач достатньо даних, що наведені вище.