Визначення власних значень матриць

2.2 Визначення власних значень матриць

2.2.1 Постановка проблеми

Багато інженерних задач зводяться до розгляду систем рівнянь, що мають єдиний розв’язок лише в тому разі, якщо відомо значення деякого внутрішнього параметра. Цей особливий параметр називають характеристичним або власним параметром (значенням) системи. При аналізі автоматичних систем власні значення дозволяють визначити критичні параметри керувальних впливів, перевищення яких призводить до втрати стійкості системою. При динамічному аналізі механічних або радіоелектронних систем з самозбудженням власні значення відповідають резонансним частотам коливань, а власні вектори характеризують амплітуди цих коливань.

Формулювання проблеми:

Знайти скалярних значень і власних векторів , що задовольняють матричне рівняння

(2.3)

Разом з пересічною проблемою власних значень існує так звана узагальнена проблема власних значень (задача для двох матриць і ):

Тут ми розглянемо тільки ту проблему, що виникає з рівняння (2.3).

Згадаємо деякі визначення з теорії матриць:

квадратна матриця називається особливою (сингулярною), якщо

;
матриця називається ортогональною, якщо

,

тобто , де- знак транспонування;
матриці і подібні, якщо існує така несингулярна матриця , що справедливо співвідношення

.

Доцільно перед аналізом методів визначення власних значень зупинитись на властивостях власних значень і векторів:

1.     Всі власних значень симетричної матриці розміру , що складається з дійсних чисел, дійсні.

2.     Якщо власні значення матриці різні, то її власні вектори ортогональні. Сукупність лінійно незалежних власних векторів складає базис простору, що розглядається. Тому для сукупності лінійно незалежних векторів будь-який вектор в тому ж просторі можна виразити через власні вектори.

3.     Якщо дві матриці подібні, то їх власні значення збігаються. З подібності і виходить, що , оскільки . Якщо прийняти , тоді , тобто і не тільки мають однакові , але і їх власні вектори зв’язані співвідношенням .

4.     Добуток власного вектора матриці на скаляр, є власним вектором тієї ж матриці. Як правило, власні вектори нормалізують, розділивши їх на найбільший елемент або на суму квадратів елементів.

2.2.2 Методи обчислення власних значень

Вибір найбільш ефективного методу визначення власних значень або власних векторів для заданої задачі залежить від ряду факторів (тип рівнянь, число і характер власних значень, вид матриці і т.д.). Алгоритми визначення власних значень можна розподілити на 3 групи:

прямі, основані на розкритті характеристичних (вікових) визначників

і розв’язанні характеристичних рівнянь;

ітераційні, основані на багатократному застосуванні ітераційного алгоритму, який наближає власний вектор, що одержується в кожному циклі, до точного розв’язку;

перетворення подібності, які використовують властивості подібних матриць, що мають однакові власні значення і ортогональні власні вектори.

2.2.2.1 Прямі методи

Найбільш очевидним шляхом розв’язання задач на власні значення є їх визначення з системи рівнянь, яка має ненульовий розв’язок лише в разі, коли

Розв’язання в цьому випадку складається з двох етапів:

- розгорнення вікового визначника безпосередньо або одним з відомих методів: Данілевського, Крилова, Леверрьє, невизначених коефіцієнтів, інтерполювання і т.д.;

- розв’язання одержаного характеристичного рівняння, корені якого і будуть власними значеннями матриці. Для визначення коренів можна використати один з методів розв’язання нелінійних алгебраїчних рівнянь(див.гл.3).

В таблиці 2.1 наведені результати порівняння ефективності різних методів розгортання вікових визначників, де критерієм є кількість обчислювальних операцій, а в таблиці 2.2 порівняння методів розв’язання з точки зору складності, точності та швидкості збігання. Більш детальний опис цих методів можна знайти в підручниках, список яких наведено в кінці книги.

Таблиця 2.1

Кількість дій, що використовуються різними методами розгортання вікового визначника в залежності від його порядку.

Метод	Порядок матриці
	3		4		5		7		9
	Мно- жен- ня-ділен- ня (М-Д)	Дода вання-відні-мання (Д-В)	М-Д	Д-В	М-Д	Д-В	М-Д	Д-В	М-Д	Д-В
Безпосеред нього розгортання	12	10	60	46	320	238	13692	10078	986400	725758
Данілев-ського	14	12	42	36	92	80	282	252	632	576
Крилова	67	38	179	118	389	280	1287	1022	3209	2688
Леверрьє	41	27	153	114	414	330	1791	1533	5228	4644
Невизна-чених коефіцієнтів	67	41	171	116	364	265	1189	945	2966	2481
Інтерполяції	46	38	125	102	279	230	972	826	2525	2202

Таблиця 2.2

Вибір алгоритму розв’язання задачі на власні значення

Назва алгоритму	Застосову ється для матриць	Результат	Рекомендується для пошуку власних значень			Примітка
Назва алгоритму	Застосову ється для матриць	Результат	Max або min	Всі x<6	Всі х>=6	Примітка
Визнач- ник (ітерація)	Загального вигляду	Власні значення		х		Потребує знаходження коренів полінома загального вигляду
Ітерація (ітерація)	Загального вигляду	Власні значення і власні вектори	х	х	х	Забезпечує найкращу точність для найбільшого і найменшого власних значень
Метод Якобі (перетво- рення)	Симетрич- них	Діагональ на форма матриці		х	х	Теоретично потребує нескінченного числа кроків
Метод Гівенса (перетво- рення)	Симетрич- них	Тридіагональна форма матриці		х	х	Потребує знання коренів простого полінома
	Несимет- ричних	Форма Гессенбер га		х	х	Потребує застосування додаткового методу
Метод Хаусхол- дера (перетво- рення)	Симетрич- них	Тридіа- Гональна форма матриці		х	х	Потребує знання коренів простого полінома
Метод LR (перетво- Рення)	Загального вигляду	Квазідіаго-нальна форма матриці		х	х	Буває нестійкий
Метод QR (перетво- Рення)	Загального вигляду	Квазідіаго-нальна форма матриці		х	х	Найкращий метод, що має найбільшу узагальненість

2.2.2.2 Ітераційні методи

Ітераційні методи (Iteration methods) основані на багатократному використанні ітераційного алгоритму, що наближає власний вектор, який одержується в кожному циклі, до точного розв’язку.

Розрахунок починається зі початкового нормованого вектору , який множиться зліва на матрицю , і результат дорівнює добутку постійної (власне значення ) і нормованого вектору :

Якщо вектор збігається з , то розрахунок припиняється. Інакше вектор використовується в якості початкового, і всі обчислення повторюються доти, доки , де і – в ектори, що одержані в і ітераційних циклах, а – задана припустима похибка обчислень.

Якщо процес збігається, одержаний постійний множник відповідає найбільшому власному значенню , а нормований вектор – відповідному власному вектору.

Аналогічно можна знайти найменше власне значення. Для цього початкова система рівнянь попередньо множиться на обернену матрицю :

звідки одержуємо

Подальше розв’язання задачі на власні значення за алгоритмом рисунку2.1 приводить до максимального власного значення , за яким знаходиться найменше власне значення .

Визначивши максимальне або мінімальне власне значення, можна знайти наступні за ним за величиною, замінивши вихідну матрицю матрицею, яка містить лише решту власних значень.

Принцип ортогональності власних векторів при і при дозволяє довести твердження, що якщо створити нову матрицю , то вона буде мати власне значення , а всі решта її власних значень будуть збігатися з власними значеннями вихідної матриці . В результаті знаходимо і далі, утворюючи і т.д., аналогічно визначаємо всі власні значення і вектори.

2.2 Визначення власних значень матриць

2.2.1 Постановка проблеми

2.2.2 Методи обчислення власних значень

2.2.2.1 Прямі методи

М-Д

Д-В

Вибір алгоритму розв’язання задачі на власні значення

2.2.2.2 Ітераційні методи