4.1.3     “Жорсткі” задачі

 

Існують звичайні диференціальні рівняння, для яких складно отримати задовільний розв’язок з використанням описаних вище методів. Виникнення таких задач зв’язано з поняттям сталої часу диференціального рівняння, проміжком часу, коли змінна частина розв’язку зменшується в e раз. Рівняння порядку n має n постійних часу; якщо будь - які дві з них сильно ( на практиці в сто і більше разів) різняться за величиною або яка-небудь з них достатньо мала порівняно з інтервалом часу, на якому відшукується розв’язок, то задача називається “жорсткою” і її практично неможливо розв’язати звичайними чисельними методами. В таких випадках крок повинен бути достатньо малим, щоб можна було враховувати приріст складових розв’язку, які найбільш швидко змінюються, навіть після того, як їх внесок стане практично непомітним. Але зменшення кроку призводить до збільшення витрат часу ЕОМ і накопиченню помилок. Розроблені спеціальні методи для розв’язування таких задач, які часто зустрічаються в теорії автоматичного керування.

Найбільш простим є так званий зворотний метод Ейлера, в якому розв’язок знаходиться з рівняння, яке містить y_n+1 у неявному вигляді:

На практиці “жорсткими” можуть виявитися рівняння, у яких коефіцієнти при похідних сильно ( в сто і більше разів ) відрізняються один від одного.

 

4.1.4     Вибір методу розв’язання задачі Коші

 

Порівнюючи ефективність однокрокових і багатокрокових методів, виділяють такі особливості:

1. Багатокрокові методи вимагають більшого об’єму пам’яті ЕОМ, тому що оперують більшою кількістю початкових даних.

2. При використанні багатокрокових методів існує можливість оцінки похибки на кроці, тому значення кроку обирається оптимальним, а в однокрокових – з деяким запасом , що знижує швидкодію.

3. При однаковій точності багатокрокові методи вимагають меншого обсягу обчислень. Наприклад, в методі Рунге – Кутта четвертого порядку точності доводиться обчислювати чотири значення функції на кожному кроці, а для забезпечення збіжності методу прогнозу і корекції того ж порядку точності – достатньо двох.

4. Однокрокові методи на відміну від багатокрокових дозволяють одразу почати розв’язання задачі (“самостартування”) і легко змінювати крок в процесі обчислень.

Перед початком розв’язання задачі необхідно провести перевірку на “жорсткість” і у випадку позитивного результату використати спеціальні методи. Якщо задача Коші дуже складна, то зазвичай перевага надається методу прогнозу і корекції, який має до того ж більш високу швидкодію. Початок розв’язання задачі при цьому проводиться за допомогою однокрокових методів. Якщо для обчислення чергового значення y_i вимагається більш ніж дві ітерації або якщо помилка зрізання дуже велика, то необхідно зменшити крок h. З іншого боку при дуже малій похибці зрізання можна збільшити крок, тим самим підвищити швидкодію, але при цьому весь процес розв’язання треба починати спочатку. Інколи на практиці вимагається мінімізувати час підготовки задачі до розв’язання. Тоді доцільно використовувати методи Рунге – Кутта.

На закінчення слід відзначити, що велике значення для ефективного розв’язання задачі мають досвід, інтуїція і кваліфікація користувача як при постановці задачі, так і в процесі вибору методу розробки алгоритму і програми для ЕОМ. При цьому часто зручно користуватись вже готовими програмними засобами, які є в наявності (наприклад, в пакетах MAPLE, MATHEMATIKA).