2.6 Математична модель керування при внутрішньому симетруванні навантажень

Параметри режиму більшості електроприймачів змінюються в часі, а також змінюється їх кількість, що знаходиться в роботі, і з цих причин оптимальне їх під’єднання до мережі, якому відповідає найменший рівень несиметрії, буде також змінюватись. Оптимальне керування несиметрією режиму в цьому випадку полягає в тому, що для дис-кретних моментів часу визначається найвигідніше (в сенсі рівномірного завантаження фаз) під’єднання до мережі несиметричних навантажень, і, якщо воно відрізняється від реалізованого, то виконується відповідне коригування. Фазування під’єднаних до трифазної мережі споживачів при відповідному позначенні буде утворювати вектор керування.

На підставі наведених обґрунтувань, критерієм ефективності для математичної моделі внутрішнього симетрування навантажень вибиремо модуль струму зворотної послідовності в лінії живлення.

Додатковими умовами, які треба забезпечити, щоб виключити технічно недопустимі розв’язки, є такі:

– кожне навантаження може бути під’єднаним лише до однієї із лінійних напруг;

– всі m навантажень мають бути під’єднаними до мережі (не під’єднувати будь-яке навантаження з метою симетрування режиму не можна). Ці умови є очевидними, але в математичній моделі вони мають бути обов’язково описані у вигляді обмежень.

Задача внутрішнього симетрування може бути описаною в булевих змінних. Якщо змінна xni в результаті розв’язання буде дорівнювати одиниці, то це реалізується під’єднанням n-го навантаження на i-у лінійну напругу, а якщо xni = 0, то навпаки.

Для отримання математичної моделі необхідно встановити аналітичні залежності, якими встановлюється зв’язок критерію ефективності і технічних обмежень з керованими змінними.

Для формулювання цільової функції математичної моделі, яка є аналітичним описом критерію ефективності, потрібна така вихідна інформація про параметри стану системи: Pn або In – активна потужність або струм n-го навантаження; cosn – коефіцієнт потужності n-го навантаження. На основі цієї інформації складається платіжна матриця, у якій стовпці – струми зворотної послідовності, що утворюються кожним навантаженням при його під’єднанні до відповідної лінійної напруги. Інформація про споживачів, що подана в платіжній матриці, є прикладом вторинної інформації, працюючи з якою легше давати оцінку тому або іншому рішенню щодо під’єднання навантажень до елек-тричної мережі.

У платіжній матриці (2.12) ani, bni – дійсна та уявна частини вектора струму зворотної послідовності, що утворюється включенням n-го навантаження на i-у напругу; n = 1, 2, 3, ... , m; i = 1, 2, 3. Значення ani та bni можуть бути розраховані за формулами (2.5) – (2.7).

Цільова функція математичної моделі повинна встановлювати аналі-тичну залежність між струмом зворотної послідовності в живильному вводі – що було обгрунтовано вище) та вибраними змінними. Формуючи її, потрібно взяти до уваги, що відповідно до (2.4)дорівнює сумі векторів струмів зворотної послідовності, які утворюються кожним навантаженням. Сумою a11x11 + a12x12 + a13x13 + a21x21 + a22x22 + a23x23 встановлюється потрібна аналітична залежність для при m = 2. При цьому слід накласти вимогу про те, що лише по одній змінній із множин та можуть набувати значення одиниці, а інші мають дорівнювати нулю. Кожне навантаження має бути під’єднане до однієї напруги. Це буде забезпечено технічними обмеженнями математичної моделі.

Проширюючи це на випадок m електроприймачів і використовуючи загальноприйняту математичну символіку, можна записати у функції х_ni:

Подібні міркування справедливі для уявної частини вектора

В цілому цільова функція математичної моделі внутрішнього симетрування має вигляд:

Аналізуючи цільову функцію, стає зрозумілим необхідність обмежень, які потребують обов’язкового під’єднання всіх однофазних електроприймачів до трифазної мережі. Адже, якщо цю умову аналітично не описати, то мінімум функції (2.13) буде у випадку, коли всі , тобто, коли всі електроприймачі відімкнені, що, природно, є недопустимим.

Зазначені вище технічні обмеження по першому електроприймачу, пам’ятаючи, що xni булеві змінні, можна описати одним співвідношенням:

Поширивши це на всі електроприймачі, запишемо:

Умова, що керовані змінні – це булеві змінні, запишеться:

В цілому математична модель внутрішнього симетрування має ви-гляд:

Математична модель (2.14) потребує знаходження мінімуму струму оберненої послідовності шляхом раціонального під’єднання до мережі однофазних споживачів електричної енергії.

Система подвійного індексування при керованих змінних нами була введена для кращої наочності при встановленні необхідних аналітичних залежностей та зручностей у розтлумаченні отриманих результатів. Можна позначити х11 = х1; х12 = х2; х13 = х3; х21 = х4 і т. д. та записати вектор керування як одновимірну стовпцеву матрицю:

Аналіз моделі внутрішнього симетрування (2.18) можна провести, використавши основні ідеї симплекс-методу лінійного програмування, згідно з алгоритмом (рис. 2.3). Для детального ознайомлення з алгоритмом аналізу математичної моделі корисно розібрати числовий приклад, що наведений далі.

ПРИКЛАД 2.1. Виконати внутрішнє симетрування однофазних навантажень, що мають такі параметри режиму:

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Для складання математичної моделі попередньо повинна бути розрахована платіжна матриця (2.12). На основі такого розрахунку математична модель даної задачі запишеться у вигляді:

В математичній моделі (2.15), яка записана в числовому вигляді,

X^T = (x11 x12 x13 x21 x22 x23 x31 x32 x33 x41 x42 x43 x51 x52 x53).

Продемонструємо заміну опорного плану на прикладі однієї ітерації табличного алгоритму Є. С. Вентцель (див. рис. 2.3).

Крок 1. Вибирається опорний розв’язок – довільний варіант під’єднання електроприймачів до мережі,

наприклад, всі електроприймачі під’єднані до напруги UAB:

X^T = (1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0),

якому відповідає струм

Звернемо увагу, що опорний розв’язок в даній задачі можна вибрати, знаючи її суть. Тому на відміну від класичного симплекс-методу проводити розрахунок зі знаходження опорного розв’язку немає потреби, що спрощує процес розв’язування задачі.

Такому розв’язку відповідає математична модель, яку запишемо в стандартному вигляді:

Крок 2. Визначимо, за рахунок якої з числа небазисних змінних можливо максимально поліпшити розв’язок, почергово надавши кожній з них значення одиниці і розрахувавши відповідні значення І2. Такою змінною, як видно з табл. 2.1, є x₅₃.

Як видно, вибір змінної для включення в число базисних в черговому пробному розв’язку має відмінності порівняно із випадком класичної задачі лінійного програмування.

Крок 3. Визначається змінна, яка повинна бути виключена із базису. Такою змінною буде x51.

Крок 4. Виконується заміна базисних змінних, наприклад, шляхом перетворення стандартної таблиці, табл. 2.2.

Третій і четвертий кроки виконуються згідно з класичним симплекс методом.

Крок 5. Повертаємось до кроку 2.

На цьому закінчуються розрахунки першої ітерації. За результатами розрахунку отримали вектор керування:

X_T = (1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 0 0 1),

якому відповідає струм в лінії живлення –0,886 + j0,0109=

Всього для розв’язання цієї задачі потрібно виконати три ітерації.

Кінцевий розв’язок задачі дає такий вектор керування:

X_T = (1 0 0 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1).

Практично цей розв’язок реалізується таким чином: навантаження 1 під’єднується до напруги U_AB, навантаження 2 – до U_CA, навантаження 3 – до U_AB, навантаження 4 – до U_BC і навантаження 5 – до U_CA. В результаті в лінії живлення буде циркулювати струм= 0,142 А.

Задача оптимального керування несиметрією режиму шляхом внут-рішнього симетрування впроваджена на одному із підприємств електродної промисловості, де експлуатуються потужні (до 18 МВт) однофазні електропічні установки змінного струму. Ефективність такого керування видно із графіків (рис. 2.4), які демонструють результати експерименту, проведеного на підприємстві протягом доби і на яких наведена динаміка струму приведеного до напруги 35 кВ. Керування виконувалось з часом дискретизації 1 година. Для отримання наведених результатів протягом доби необхідно було провести коригування вектора керування 3 рази.

Протягом доби змінювалась кількість працюючих електропічних установок від однієї до чотирьох. Саме керування виконувалось так:

– щогодини людина збирає необхідну інформацію (Pⁿ та cosφ_n);

– у діалоговому режимі здійснюється введення інформації в комп’ютер і розраховується вектор керування;

– людина оцінює отримані результати і приймає рішення щодо їх реалізації;

– наступної години все повторюється.

Таким чином, система керування працює в режимі радника, в якій остаточне рішення залишається за людиною.

Показник якості керування (2.9) для наведеного добового інтервалу зменшено в оптимізованому режимі до J_* = 0,51 проти J_* = 1 в вихідному, де J_* – відносна величина показника якості керування.