3.3 Математичні моделі оптимальної компенсації реактивних навантажень

Відомі математичні моделі охоплюють такі фактори, як вплив на на-пругу в вузлі навантаження, на величину втрат активної потужності в мережі живлення, на реактивну потужність споживання, на пропускну здатність елементів системи електропостачання, на стійкість навантажень. Зауважимо, що всі вони стосуються виключно параметрів стану об’єкта керування. Врахування всіх факторів в рамках однієї математичної моделі недоцільно. По-перше, це ускладнює аналіз такої моделі. По-друге, серед факторів, що необхідно врахувати, є суперечливі та взаємовиключні, наприклад, одночасно не може виникнути необхідність забезпечити верхню та нижню границі відхилення напруги. Керівна система (система, що здійснює вибір варіанта впливу на об’єкт керування і дає відповідну команду) може працювати за алгоритмом, який передбачає попередню оцінку ситуації і, в залежності від цього, звернення до відповідної математичної моделі, яка охоплює саме ті фактори, що актуальні на момент прийняття керуючого рішення. В разі, коли керівна система має мікропроцесорну реалізацію, важливим є як кількість математичних моделей, що використовуються для керування, так і складність алгоритму їх аналізування. Беручи до уваги цю обставину, а також особливості комутацій в пристроях керування (це комутації ємнісного навантаження, що супроводжуються перенапругою на контактах), можна вказати на додаткові вимоги до математичних моделей керування.

1. Розв’язки, що отримуються, повинні реалізовуватись мінімальною кількістю комутацій в пристрої керування.

2. Загальна кількість математичних моделей, що використовуються для керування в усіх можливих режимах систем електропостачання, повинна бути якомога меншою.

3. Математичні моделі мають бути такого виду, щоб їх аналіз можна було здійснити за єдиним алгоритмом, обчислювальна процедура якого має мінімальну трудоємність.

Розглянемо підходи до побудови математичних моделей дискретного програмування, в яких забезпечено зазначені вимоги.

Оптимальні впливи на систему електропостачання можна визначити на підставі лінійних математичних моделей з булевими змінними, якими описується стан (ввімкнено або вимкнено) кожної секції пристрою керування. Всі можливі ситуації, що можуть мати місце, охоплюються математичними моделями, табл. 3.1, де Q_в – реактивне навантаження на вводі живлення; Q^' – природне споживання реактивної потужності (коли всі БСК відімкнені); – матриця потужностей секцій БСК вимірністю (1 * m); Х – вектор змінних вимірністю (m * 1), кожна компонента якого хі дорівнює одиниці, коли і-ту секцію доцільно ввімкнути, або нулю, якщо вмикати не потрібно; – вектор, кожна компонента якого пов’язана з відповідною компонентою х_і так, що якщо х_і =1, то і навпаки, фізичного змісту не має; n – стовпцева одинична матриця вимірністю (m * 1); Q_доп – допустиме значення реактивних навантажень, що встановлюється, наприклад, з міркувань мінімальних втрат потужності; – матриця добавок напруг, що створюються при ввімкненні відповідних секцій БСК, вимірністю (1*m); U_{min. доп.}, U_{max. доп.} – мінімально та максимально допустимі значення напруги в вузлі; U^'– значення напруги в вузлі, що відповідає природному споживанню реактивної потужності.

Наведені математичні моделі відрізняються лише одним обмеженням. Для їх аналізу можна скористатись алгоритмом симплекс-методу лінійного програмування, який має ряд розгалужень. Якщо синтезувати весь комплекс математичних моделей, необхідних для управління в усіх можливих ситуаціях, таким чином, що обчислення будуть ґарантовано виконуватись лише за обмеженою частиною розгалужень симплекс-алгоритму, то це спростить практичну реалізацію мікропроцесорної системи керування. Розглянемо основні етапи розв’язку задач керування на підставі наведених математичних моделей.

Класичний симплекс-алгоритм задачі лінійного програмування має розгалуження. Якщо пробний розв’язок не задовільняє умову не-від’ємності змінних, то реалізується алгоритм пошуку опорного розв’язку, а далі розраховується розв’язок оптимальний. В протилежному випадку відразу реалізується алгоритм пошуку оптимального роз’язку. Етапу пошуку опорного розв’язку можна уникнути і відповідним чином спростити мікропроцесорну керівну систему, якщо є можливість указати простий спосіб, який ґарантує його визначення. Саме так можна зробити для математичної моделі (3.2). Для цієї задачі нульові значення всіх компонентів вектора Х, х_і = 0, і = 1, 2,…, m, (всі секції БСК відімкнені) є формально допустимим планом. Починаючи саме з такого опорного розв’язку, можна здійснювати подальший розрахунок оптимального плану. Лише у випадку, коли Q_доп >Q_', опорного розв’язку не отримати. В цьому випадку наявними засобами (маючи лише секції керування БСК) встановлену вимогу не виконати. Задача розв’язку не має. Практичні дії, що слід здійснити, виходячи з енергетичної суті явищ, – відімкнути всі секції БСК.

Для математичної моделі (3.3) не уникнути необхідності програмування також і гілки симплекс-алгоритму пошуку опорного розв’язку, оскільки ґарантованого простого способу його визначення сформулювати не можна.

Опорний розв’язок для математичних моделей (3.4) та (3.5) визнача-ється таким же чином, як і для моделі (3.2). Випадки, коли U^' => U_{max. доп.} теоретично можливі і тоді задача розв’язку не має і відповідно опорного плану для математичної моделі (3.5) отримати неможливо.

Для математичної моделі (3.6) опорний розв’язок може бути відсутнім, якщо наявними засобами компенсації реактивної потужності не можна забезпечити Umin. доп. Пошук опорного розв’язку для неї потребує звернення до відповідної частини симплекс-алгоритму.

Звернемо увагу ще на таку корисну для експлуатації БСК властивість, що надають математичні моделі (3.2), (3.3) та (3.5). Прийнявши за опорний розв’язок х_і = 0, і = 1, 2,…, m, кожний наступний крок до оптимального буде здійснюватись відповідно до симплекс-алгоритму шляхом вибору до ввімкнення найбільш потужної секції БСК із числа тих, ввімкнення яких допустимо. (Симплекс-алгоритм передбачає здійснювати вибір такої вільної змінної для включення в базис, коефіцієнт при якій забезпечує найбільший приріст цільової функції на одиницю приросту значення цієї змінної). Тобто, потрібна до ввімкнення потужність буде формуватись за рахунок найбільш потужних секцій БСК. Це дає змогу, по-перше, зменшити кі-лькість комутацій, яких потребує реалізація прийнятого рішення, а, по-друге, протягом доби кількість комутацій найбільш потужних секцій буде мінімальною, оскільки саме такі секції будуть знаходитись більшу частину часу ввімкненими. Математичні моделі (3.3) та (3.6) такої стійкої властивості не забезпечують.

Значення Q_в(X), що відповідають допустимим розв’язкам задач (3.2) – (3.4), зображені на числовій осі у вигляді заштрихованих її напіввідкритих проміжків та відрізка, рис. 3.2, а оптимальні величини критерію ефективності, що можуть бути досягнутими, не враховуючи дискретності потужностей БСК та їх можливого дефіциту, позначені як Q_{в опт}(X).

Можна звернути увагу, що Q_в.опт(X) є крайніми точками заштрихованих відрізків числової осі, які розташовані зліва. Тому всі випадки практичного використання моделей (3.2), (3.3) та (3.4) охоплюються однією математичною моделлю, оскільки вона забезпечує отримання тих же розв’язків.

де В – граничне значення напруги в вузлі під’єднання БСК, В = U_{max доп} для всіх випадків використання математичної моделі (3.5), В = U_{min доп} + ε для всіх випадків використання математичної моделі (3.6), де ε – зона нечутливості пристрою керування.

Математична модель (3.8) ґарантує визначення вектора керування, що забезпечує допустимі межі відхилень напруг.

Моделі (3.7) та (3.8) мають такі спільні властивості:

– пробний розв’язок х_і = 0, і =1, 2,…,m; , і =1, 2,…, m може бути взятим за опорний, що ґарантує від необхідності використання відповідного алгоритму;

– кількість комутацій в пристрої керування при реалізації рішення буде мінімальною.

Для моделей (3.7) та (3.8) узагальнювальною є модель, в якій зберігаються позитивні якості моделей (3.7) та (3.8):

де С – коефіцієнт, який для випадків використання моделей (3.2), (3.3) та (3.4) (далі група випадків 1) дорівнює Q^' , а для випадків використання моделей (3.5) та (3.6) (далі група випадків 2) С = (– U^' );

D – матриця вимірністю (1×m), D = ∆Q для групи випадків 1, D = =(–∆U) для групи випадків 2;

F – вільний член, F = А для групи випадків 1, F = (–В) для групи випадків 2.

Застосовуючи симплекс-метод та визначивши при цьому як опорний план відімкнення всіх секцій БСК, обмеження математичної моделі (3.9) слід подати у вигляді:

де y – вільна змінна, що перетворює обмеження-нерівність в рівність;

n_д – діагональна одинична матриця вимірністю (mm);

K – вільний член, К = (– F + C).

Кожна ітерація класичного симплекс-алгоритму передбачає розрахунок нових значень для компонент матриць

Взявши до уваги те, що в результаті ітераційних розрахунків за симплекс-алгоритмом матриці n та n_д не змінюються (хоча кожний їх компонент згідно з алгоритмом має бути перерахованим шляхом виконання в основному двох арифметичних дій), доцільно пропонувати більш ефективні обчислювальні методи для аналізу математичної моделі (3.9).

Процес пошуку оптимального плану дискретних математичних моделей, що розглядаються, починаючи з етапу розв’язування задачі, коли знайдено опорний розв’язок, можна здійснювати за методом динамічного програмування. Підставою для цього є те, що:

– процес подальшого розв’язування задачі можна розглядати як та-кий, що складається з окремих етапів, де етап – це знаходження рішення з включення чергової секції БСК;

– показник ефективності k-го етапу – Q_вk визначається виключно па-раметром стану (k-1) етапу – Q_в(k-1) та реалізацією рішення про ввім-кнення відповідної секції БСК, яке приймається на k-му етапі, що є ознакою адитивності об’єкта керування.

В основу методу динамічного програмування покладений принцип оптимальності Беллмана, який можна сформулювати таким чином: якого б стану системи не було б досягнуто в результаті якогось числа етапів, необхідно вибрати таке умовно оптимальне рішення, щоб воно, сукупно з умовно оптимальними рішеннями на всіх наступних етапах, приводило до максимального виграшу на всіх етапах, що залишилися, враховуючи даний.

Для задачі (3.9), яка охоплює всі випадки використання математичних моделей (3.2 – 3.6), весь процес розрахунку вектора керування можна здійснювати за методом динамічного програмування. Технічне обмеження-нерівність забезпечується шляхом формування на кожному етапі k множини допустимих до реалізації потужностей секцій КУ (для групи випадків 1) або добавок напруг (для групи випадків 2) – D_k. Елементи матриці ∆Q – Q_i включаються до множини D_k за умови, коли відповідний елемент матриці

де d_j – елемент матриці D, що визначений до реалізації на j-му етапі. Можливість включення елементів d_j до множини Dk не розглядається. Рішення, що приймається на етапі k, має визначатися із множини D_k.

Рекурентні співвідношення Р. Беллмана для даної задачі можна записати так:

де Q_вk – оцінка стану системи на k-му етапі – реактивна потужність на вводі, якщо реалізувати всі рішення, що прийняті на попередніх етапах, включаючи даний;

Обчислювальний процес припиняється на етапі (n + 1), коли множина D_(n+1) виявиться пустою.

Проводячи аналіз процесу обчислень за методом динамічного програмування, можна встановити, що до ввімкнення на кожному етапі із Dk вибирається секція КУ, що має найбільшу потужність. Тому для практичної реалізації виконаних досліджень в керівній системі можна запропонувати таку обчислювальну процедуру, яка повністю еквівалентна (за результатами, як в цілому, так і на окремих етапах) тим, що виконуються за рекурентними співвідношеннями Р. Беллмана. Процедура ця має мінімум трудоємності для k-го етапу обчислень та виконується за таким алгоритмом:

Крок 1. Формується множина Dk із компонент матриці ∆Q^'_(k-1), для яких відповідні компоненти матриці де ∆Q^'(k-1) та ∆D(k-1) матриці, що отримані із матриць ∆Q та D шляхом виключення компонент, які визначені до реалізації на попередніх (k-1) етапах розв’язування задачі. Вимірність матриць ∆Q^'_(k-1) та ∆D^'_(k-1) – [1*(m-k-1)].

Крок 3. Із елементів множини Dk визначається найбільший за величи-ною елемент – ∆Qk max. Якщо таких елементів декілька, то вибирається будь-який із них.

Крок 4. Береться до ввімкнення відповідна секція БСК.

Крок 5. Із матриць ∆Q^'_(k-1) та ∆D^'_(k-1) вилучаються компоненти, що відповідають секції, взятій до ввімкнення на даному етапі k.

Крок 6. Здійснюється перехід до кроку 1.

Крок 7. Оптимальний розв’язок отримано. Розрахунки припиня-ються.

ПРИКЛАД 3.1. Знайти вектор керування для компенсувального при-строю, який має такі параметри потужностей секцій:

∆Q1 = 400 квар, ∆Q2 = 300 квар, ∆Q3 = 50 квар, ∆Q4 = 150 квар,

∆Q5 = 100 квар, ∆Q6 = 25 квар, ∆Q7 = 200 квар, ∆Q8 = 150 квар,

∆Q9 = 100 квар, ∆Q10 = 50 квар, ∆Q11 = 20 квар.

Природне споживання реактивної потужності по вводу підприємства – 1000 квар. Реактивна потужність, що встановлена енергосистемою для споживання, Q_доп = 0 квар.

РОЗВ’ЯЗАННЯ. Математична модель для умов даного прикладу формалізується в такому вигляді:

Розв’язування задачі виконаємо симплекс-методом лінійного програмування, а також методом динамічного програмування. При цьому відслідкуємо збіг як остаточного розв’язку, так і проміжних результатів. Висновки щодо ефективності обчислювального процесу зробимо за кількістю елементарних арифметичних дій, що довелось виконати по ітераціях та окремих етапах. Результати обчислень при розв’язуванні задачі зведені до табл. 3.2.

При значно більших вимірностях задачі, що характерні для реальних систем електропостачання, а особливо для великих підприємств, ефект буде значно вагомішим.

Отримані остаточні результати слід інтерпретувати таким чином: ступінь потужністю 400 квар – ввімкнути; 300 квар – ввімкнути; 50 квар – вимкнути; 150 квар – вимкнути; 100 квар – ввімкнути; 25 квар – вимкнути; 200 квар – ввімкнути; 150 квар – вимкнути; 100 квар – вимкнути; 50 квар – вимкнути; 20 квар – вимкнути.

Реактивна потужність вводу живлення – 0 квар, що відповідає встановленим вимогам.

Дане завдання має альтернативні розв’язки, наприклад, вектор керу-вання Х^T = (0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 0) також задовольняє всі умови прикладу. Проте, звернемо увагу, що для його реалізації необхідно виконати 7 комутацій, а в той час, як раніше знайдений вектор потребує лише 4 комутації. Крім цього, оскільки симплекс-метод (або метод динамічного програмування) вибирає до реалізації найбільш ефективні рішення, то перш за все проглядається можливість ввімкнення найбільш потужних секцій БСК. Це свідчить про те, що в базисі графіка реактивної потужності будуть знаходитись найбільш потужні секції. Вони тривалий час будуть знаходитись у ввімкненому стані, а, отже, кількість їх комутацій буде мінімальною. Звернемо увагу на ту обставину, що вимога мінімуму комутацій для реалізації знайденого розв’язку не описана аналітично в математичній моделі, а забезпечується алгоритмом розрахунку.

Все це дозволяє зробити висновок про те, що розроблена математична модель керування реактивною потужністю побудована таким чином, що її аналіз класичними математичними методами забезпечує знаходження керівних рішень, реалізація яких потребує мінімальної кількості комутацій. Крім цього, процес керування реактивною потужністю виконуватиметься з мінімальною кількістю комутацій найбільш потужних секцій БСК. Все це позитивно позначиться на роботі комутаційного устаткування.

Таким чином, синтез математичних моделей керування можна здійс-нювати, враховуючи такі вимоги до системи керування: простота алгоритму та мінімум комутацій в пристрої керування.

Значна кількість випадків, що можуть мати місце при керуванні реак-тивною потужністю в системах електропостачання, охоплюються розробленою математичною моделлю, коефіцієнти якої набувають тих або інших значень залежно від ситуації, яка склалась в промисловій електричній мережі.

Для аналізу синтезованої математичної моделі керування доцільно скористатись обчислювальною процедурою методу динамічного програмування, керуючись розробленими рекурентними співвідношеннями, яка потребує мінімальної кількості елементарних арифметичних дій.