8.13. Приклад перетворень виразів, що містять обернені тригонометричні функції

Приклад 23. Спростити вираз , де .

Розв’язання

Припустимо, . Тоді , . Треба знайти . Відомо, що , , а на відрізку синус набуває лише невід’ємного значення. Тому , тобто .

> simplify(sin(arccos(x)));

Приклад 24. Обчислити .

Розв’язання

Припустимо . Тоді , . Треба обчислити .

Маємо , значить . Оскільки далі , то , звідки , тобто або .

За умовою означає , а в інтервалі маємо . Отже , тобто .

Відповідь: 2.

Спробуємо спростити вираз :

> simplify(tan(1/2*(arccos(-3/5))));

Очікуваного результату не дістали. Спробуємо обчислити даний вираз:

> evalf(tan(1/2*(arccos(-3/5))));

Приклад 25. Обчислити .

Розв’язання

Припустимо, . Тоді , . Потрібно обчис-

лити . Виразимо формулу косинуса подвійного кута через синус кута: . Тоді, підставляючи значення , будемо мати . Отже, .

Відповідь: .

Приклад 26. Обчислити .

Розв’язання

Позначимо , а , тоді , , а

, . Потрібно обчислити . Для цього скористаємося формулою (18), отже

.                         (*)

Згідно з формулою (21) маємо . Знайдемо : , тобто , то або . За умовою маємо, що . Тобто , а отже .

будемо шукати як у попередньому прикладі, тобто . Значить, .

Знайдемо з формули , підставляючи : , або . За умовою маємо, що , тобто .

Знайдені значення підставимо у рівність (*):

.

Відповідь: .

Задамо даний приклад у Maple, а потім smart-способом обчислимо його:

> sin(2*arcsin(3/5)-arccos(3/5));

> .35199.

Результат система видала наближено у вигляді числа з плаваючою точкою .

8.14. Побудова графіків тригонометричних функцій

Приклад 27. Побудувати графік функції .

Розв’язання

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) ;

2)  (стиснути графік вздовж осі до осі у 2 рази);

3)  (зсунути графік вздовж осі на 1 одиницю вгору).

> plot([cos(x),cos(2*x),cos(2*x)+1],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[red,blue,black]);

Приклад 28. Побудувати графік функції .

Розв’язання

І спосіб: Перетворимо .

Шляхом елементарних перетворень будуємо графіки таких функцій:

1) ;

2)  (зсуваємо графік на вправо вздовж осі );

3)  (стискаємо графік до осі у 3 рази);

4)  (перевертаємо графік відносно осі ).

> plot([sin(x),sin(x-Pi/2),(1/3)*sin(x-Pi/2),-(1/3)*sin(x-Pi/2)],x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=[blue, brown,black,red],linestyle=[3,2,0,1],thickness=3);

ІІ спосіб: Перетворимо функцію за допомогою фор-

мул зведення: .

Переконаємось в Maple, що графіки початкової функції і функції, отриманої за допомогою формул зведення, – ідентичні:

> plot(-(1/3)*sin(x-Pi/2),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);

> plot((1/3)*cos(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2);

Приклад 29. Побудувати графік функції .

Розв’язання

Спочатку будуємо графік функції . Для того, щоб утворився графік функції , потрібно ту частину графіка , яка вище осі , залишити без змін, а ту, що нижче осі , симетрично відобразити на верхню півплощину.

> plot(abs(cos(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,thickness=2);

Приклад 30. Побудувати графік функції .

Розв’язання

Будуємо графік функції . Ту частину побудованого графіка, яка в лівій півплощині відносно осі OY, відкидаємо, а ту, що в правій, – залишаємо і симетрично відображаємо на ліву півплощину.

> plot(sin(abs(x)),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black);

Приклад 31. Побудувати графік функції .

Розв’язання

.

Оскільки підмодулевий вираз це х, то розглянемо два випадки:

Якщо : .

Якщо : .

Шляхом елементарних перетворень будуємо відповідні графіки функцій.

> plot(abs(x)/x-2*sin(abs(x))*sin(x),x=-2*Pi..2*Pi,-2..2,color=black,discont=true);