Одномірні задачі дифузії

Розділ 12. ТЕПЛООБМІН ПРИ КОНДЕНСАЦІЇ ПАРИ З ПАРО-ГАЗОВОЇ СУМІШІ

12.1. Одномірні задачі дифузії

Задача про теплообмін під час конденсації з паро-газової суміші у повній постановці повинна розглядатися як спряжена задача. Результуючий коефіцієнт тепловіддачі залежить від двох термічних опорів – дифузійного опору і опору конденсату. Ці два термічних опори взаємозв’язані, що у загальному випадку не дозволяє попередньо задати розподіл густини потоку маси і пари, що конденсується, на поверхні фазового переходу. Знання розподілу цієї величини необхідне для розв’язку дифузійної частини задачі.

Рис.12.1. До наближеного методу розв’язку спряженої задачі

Розглянемо стаціонарний одномірний ізотермічний процес дифузії пари згідно схеми рис.12.1. Розв’язок подібних задач інколи корисний при вивченні конденсації пари з паро-газової суміші.

Диференціальне рівняння масообміну (9.18) у розглядуваному випадку суттєво спрощується:

(12.1)

Граничні умови:

У рівнянні (12.1) лівий член враховує стефанів потік, який неминуче з’являється для інертного компоненту (газу). Густина потоку пари і газу на між фазній границі:

(12.2)

(12.3)

З рівнянь (12.2) і (12.3) виходить, що швидкість стефанового потоку може визначатися співвідношенням:

(12.4)

Підставляючи значення w_y в рівняння (12.1) і позначаючи η = т_п – 1, отримаємо наступне диференціальне рівняння:

(12.5)

Розв’язок цього рівняння буде таким:

(12.6)

де згідно до граничних умов

Розподіл відносних концентрацій можна описати тоді співвідношенням

(12.7)

З (12.6) виходить, що

Тоді з рівнянь (12.2) і (12.4) можна отримати наступний вираз для густини потоку пари на поверхні фазового переходу:

(12.8)

При запису останнього рівняння враховано, що т_г+ т_п = 1 при довільному значенні у. Вираз (12.8) визначає густину потоку маси не тільки на між фазній поверхні, але і при усіх значеннях у від 0 до ℓ.

З рівняння (12.8) і рівняння масовіддачі

(12.9)

отримуємо наступний вираз для коефіцієнта масовіддачі:

(12.10)

Дифузійне число Нуссельта тоді визначається співвідношенням:

(12.11)

Приведемо рішення для випадку одномірної дифузії до безмежного циліндра. Диференціальне рівняння одномірної стаціонарної ізотермічної дифузії з урахуванням переносу в циліндричних координатах запишеться наступним чином:

(12.12)

Граничні умови:

при ξ = R_m (на поверхні циліндра) т_п = т_п.гр.; при ξ = R_ℓ т_п = т_п₀

Для даної постановки задачі лінійна густина потоку пари j_ℓn, кг/(м·с),не залежить від радіуса о у зв'язку з дією закону збереження маси. Як і раніше вважаємо, що між фазна поверхня непрониклива для газу.

При η² ≠ 0 інтегрування рівняння (12.12) дає:

(12.13)

Визначивши з граничних умов сталі інтегрування, можна отримати наступні вирази, які характеризують масообмін. Густина потоку пари га границі розділу фаз ξ= R_m виражається залежністю

(12.14)

де

Дифузійне число Нуссельта:

(12.15)

де коефіцієнт масообміну в віднесений до різниці паровмістів т_п₀ – т_п.гр.

Рівняння (12.15) після певних перетворень можна записати через безрозмірні параметри π_D і ε_г₀, запропонованих Л.Д.Берманом:

(12.16)

де π_D = (р_п₀ – р_п.гр)/р; ε_г₀ = р_г.₀/р; р_п₀, р_п.гр. – парціальні тиски пари відповідно при ξ=R_ℓ і ξ = R_m; р_г.₀ – парціальний тиск газу при ξ=R_ℓ; р – повний тиск суміші.

Модель процесу, яку покладено в основу розглянутих задач, виключає сили в’язкості: у напрямку, поперечному дифузійній масі, швидкість і температура не змінюються, фізичні параметри постійні. У наслідок цього з переліку актуальних безрозмірних випадають числа Рейнольдса, Прандтля і Архімеда.

При невисокій інтенсивності дифузії процес переносу можна вважати локально рівноважним. Пара вважається насиченою, і кожному значенню її концентрації відповідає певне значення температури насичення. Таким чином, полю концентрацій відповідає поле температур і умова ізотермічності процесу виконується, строго кажучи, тільки у граничному випадку малих змін концентрацій.

Зміна концентрацій і температури в об’ємі парогазової суміші призводить до зміни її густини, внаслідок чого може виникнути вільний рух. Порівняння рішення (12.15) з дослідними даними, отриманими в умовах близьких до умов теоретичної задачі, показує, що припущення про ізотермічність процесу і постійності густини суміші виправдовуються при

де ρ і ρ₀ – відповідно густини суміші, які відповідають R_ℓ і R_m. Якщо Ar ≥ 50, то

(12.17)

де Nu_D0 – дифузійне число Нуссельта, яке розраховується по формулі (12.15).

Співвідношення (12.8), (12.11), (12.14) і (12.15) можуть бути основою для побудови відповідних розрахункових формул і аналізу дослідних даних.

12.2. Конденсація на вертикальній стінці

Розглянемо конденсацію пари з паро-газового потоку суміші, що рухається зверху вниз по вертикальній плоскій стінці незмінній температурі Т_с (рис.12.1). Пара вважається насиченою (задовольняється локальна термічна рівновага). Задані швидкість, температура і концентрація газу у спокійному потоці w₀, T₀, m_г₀. Значення цих величин на поверхні рідкої плівки w_гр, T_гр, m_г.гр. завідому невідомі і підлягають визначенню. Сформульована таким чином задача є спряженою. Наведемо її математичне формулювання в наближені пограничного шару.

Рис.12.2. До постановки задачі про конденсацію пари з паро-газової суміші

Паро-газова суміш:

(12.18)

(12.19)

(12.20)

(12.21)

Вважається, що швидкість паро-газової суміші не дуже велика, тому випущені члени, які враховують дисипацію механічної енергії і стисливість. Ураховується концентраційна дифузія, іншими видами дифузії нехтуємо. Фізичні параметри паро-газової суміші індексами не позначаються.

Для рідкої фази систему рівнянь запишемо у наближенні Нуссельта:

(12.22)

(12.23)

Граничні умови:

(12.24)

Умови спряження (у = δ):

(12.25)

Окрім цього, вважається можливим використання рівняння стану для суміші:

р = ρRT. (12.26)

Систему рівнянь замикає рівняння балансу тепла, складене для рідкої плівки, яке визначає її товщину:

(12.27)

У цьому рівнянні враховується крім теплоти фазового переходу переохолодження конденсату і конвективна тепловіддача від паро-газової суміші до плівки рідини.

Записана система рівнянь не зводиться до системи звичайних диференціальних рівнянь. На сьогоднішній день її розв’язок можливий тільки числовими методами.

Такі розрахунки виконані для випадку конденсації водяної пари з паро-газової суміші. Характерні параметри мали наступні значення: Т₀ = 383, 338,5 і 311 К; Т₀ – Т_с = 2,8, 11 і 22,2 К; w₀ = 0,03, 0,3 і 3 м/с; т_г₀ = 0, 0,001 і 0,1. Результати розрахунку наводяться у вигляді залежності відносного теплового потоку q_c/q_c.N від х, т_г₀, w₀, Т₀ і (Т₀ – Т_с) [де q_c.N – густина теплового потоку на стінці, яка визначається за класичною теорією Нуссельта для температурного напору (Т₀ – Т_с), вважаючи що відсутнє тертя пари, а змінні фізичні параметри рідини розраховувалися за визначальною температурою Т_визн = Т₀ + 0,33(Т₀ – – Т_с)]. Деякі результати розрахунків наведено на рис.12.3а...г. При аналізі графіків необхідно мати на увазі, що характер зменшення тепловіддачі при збільшенні х обумовлений не тільки потовщенням плівки, що має місце при конденсації чистої нерухомої пари.

а) б) в)

г)

Рис.12.3. Теплообмін при конденсації пари з паро-газової суміші (суцільні криві побудовані для трьох значень масової концентрації повітря: т_г =0,001, 0,01, 0,1; штрих крапка – відсутнє тертя, w₀ = 0; штрихова крива – чиста пара, т_г₀= 0): а – w₀ = 3 м/c, Т₀ = 373 К, ΔТ = 22,2 К;

б – w₀ = 0,3 м/c, Т₀ = 373 К, ΔТ = 2,8 К; в – w₀ = 0,3 м/c,

Т₀ = 373 К, ΔТ = 11 К; г – w₀ = 0,3 м/c, Т₀ = 373 К, ΔТ =

22,2К

На рисунках наводиться результуючий ефект, обумовлений також впливом швидкості суміші на дифузійний термічний опір і на величину тертя на поверхні плівки. Жаль, що відсутні узагальнюючі розрахункові залежності, що затрудняє аналіз отриманого матеріалу і його практичне використання. Зробимо певні висновки якісного характеру.

Розвиток пограничного шару в суміші визначається двома основними обставинами – сильним відсмоктуванням на поверхні фазових перетворень і змінною конвекцією. Для останньої має значення співвідношення швидкостей w₀ і w_гр, а також вільна конвекція, яка виникає внаслідок зміни густини поперек пограничного шару.

Якщо відносна швидкість (w₀ – w_гр) велика і j_гр → 0, то дифузійне число Нуссельта наближається до значення, яке визначається формулою

де Re_nx = w₀x/ν; Pr_D = ν/D.

При заданих Т₀, (Т₀ – Т_с) і т_г₀ відношення q_c/q_c.N збільшується з ростом w₀ і зменшується зі збільшенням х (див. рис.12.3). При невеликих значеннях w₀ ці ефекти менш виражені, особливо при високій концентрації газу, внаслідок зміни характеру конвекції в паровому пограничному шарі (перехід від вимушеного до вільного руху). Вплив температури Т₀ проявляється через густину суміші.

Складність задач конвективного масообміну примушує шукати наближені і більш прості методи розрахунків.

12.3. Аналогія процесів теплообміну і масообміну

Запишемо математичні формулювання задач про окремо протікаючи стаціонарних процесах теплообміну і масообміну при повздовжньому омиванні плоскої поверхні. Формулювання наведемо у наближенні пограничного шару, вважаючи течію без градієнтною, фізичні параметри постійні і швидкості помірні.

Для теплообміну запишемо рівняння енергії, руху і нерозривності потоку, призначивши найпростіші граничні умови:

(12.28)

Дифузійний процес у формулюванні задачі не врахований, що для неізотермічного середовища строго виконується, якщо середовище є однокомпонентним.

Для масообміну сформулюємо задачу, вважаючи середовище двохкомпонентним (і = 1, 2) і стінку проникливою для одного з компонентів (наприклад для першого). Течію вважаємо ізотермічною. В іншому умови не відрізняються від раніше наведених умов для теплообміну. Тоді маємо:

(12.29)

Порівнюючи математичні формулювання (12.28) і (12.29), можна сказати, що вони ідентичні у всьому, крім завдання умови для нормальної компоненти швидкості при у = 0. Для теплової задачі із-за непроникливості стінки задано w_y(x, 0) = 0. Для дифузійної w_y(x, 0) = w_y₀, де у загальному випадку швидкість поперечного потоку w_y₀ може бути функцією х. Якщо покласти що w_y₀ → 0, то у першому наближенні вважати, що рішення задач (12.28) і (12.29) будуть ідентичними. З формальної точки зору однаково, яку з цих задач розв’язувати, якщо w_y₀ → 0. Поля температур і концентрацій будуть відрізнятися на сталу величину чи повністю співпадати при безрозмірному поданні D і α. У цій ідентичності і полягає аналогія (чи подібність) процесів теплообміну і масообміну.

Розглядаючи аналогію процесів теплообміну і масообміну, розрізняють окремі і сумісні процеси, які відбуваються переносі теплоти і маси. Теплообмін і масообмін при сумісному протіканні є більш складним і тому трудніше піддається вивченню і менш досліджений процес, ніж теплообмін, не ускладнений масообміном. Практичну цінність представляє можливість використання накопиченого в теорії теплообміну великої інформації про процеси в однофазному середовищі з непроникливою фазовою границею для розрахунку процесів, які ускладнені супутнім масообміном.

При конденсації міжфазна границя прониклива хоч би для одного з компонентів Виникає поперечний потік маси, тобто нормальна складова швидкості на поверхні розриву стає відмінною від нуля. Поява поперечного потоку змінює розподіл швидкості, концентрацій і температури у суміші, що відбивається на інтенсивності переносу теплоти і маси.

Можна вважати, що малий поперечний потік речовини не буде суттєво впливати на течію і теплообмін. Характеристики повздовжнього омивання тіла при цьому практично не змінюються. При досить великому поперечному потоці останній може перевищувати повздовжній. Процес при цьому якісно змінюється. Слабка повздовжня течія вздовж поверхні теплообміну може подавлятися поперечною і на кінець не впливати на характеристики переносу. Якщо вздовж фазової поверхні умови не змінюються, процес може відповідати розглянутому раніше в одномірній задачі (§ 12.1).

Підхід до вирішення двох відмічених задач різний. Тому необхідно установити границі переходу. При цьому область існування аналогії теплообміну і масообміну вважається область несуттєвого впливу поперечного потоку на теплоперенос. Виявленню меж існування аналогії присвячено ряд досліджень, в яких використані теоретичні і експериментальні результати, отримані для вимушеної і вільної конвекції при різних умовах омивання і для різних сумішів. Результати рішень і експериментів представлені у виді наступних залежностей для масо - і теплообміну:

(12.30)

(12.31)

де – числа Стентора відповідно для сумісного проходження процесів тепловіддачі і масовіддачі; St₀ і St_D0 – ті ж числа при відсутності впливу поперечного потоку маси на течію; х і т – відносні масові концентрації компонента в конденсаті і в суміші; індекс “1” стосується активного (високо киплячого) компоненту суміші (пара, якщо розглядається перо-газова суміш); індекс “гр”і ∞ – відповідно на границі розділу фаз і на віддалі від неї.

Фактори проникливості представляють собою відносні поперечні потоки маси. Значенню b відповідає відсутність поперечного потоку (j_гр = ρ_грw_гр = 0). При b → ∞ домінує поперечний потік.

↑Рис.12.4. Вплив поперечного потоку маси на тепловіддачу і масовіддачу – співставлення теоретичних рішень: 1 – ламінарний пограничний шар; 2 – турбулентний пограничний шар

Рис.12.5. Вплив поперечного потоку маси на тепловіддачу і масовіддачу – співставлення дослідних даних: 1 – конденсація (відсмоктування); 2 – випаровування (вдув) ↑

на рис. 12.4 і 12.5 наведені теоретичні і дослідні дані, опрацьовані у вигляді залежностей (12.30), (12.31). На рис.12.4 представлені теоретичні дослідження теплообміну і масообміну: для ламінарного і турбулентного пограничних шарів на пластині; для лобової твірної циліндра; при сумісній дії вільної і вимушеної конвекції у випадку ламінарного обтікання пластини; для комірчастої конвекції; для турбулентної течії у трубі; для вільної конвекції біля вертикальної пластини. Рішення отримані як для однокомпонентного середовища з відсмоктуванням, так і для двокомпонентних середовищ.

На рис.12.5 наведені результати експериментальних досліджень теплообміну і масообміну при конденсації водяної пари з двокомпонентних сумішів з гелієм, повітрям і фреоном-12, для сумішів парів (етанол – вода, етанол – пропаном, етанол – бутанол), а також дані з пористого відсмоктування і вдуванні. У дослідах мало місце поперечне омивання циліндра, вільна конвекція біля пластини, у кільцевому зазорі і біля горизонтального циліндра. Додатна залежність Ψ(b) відповідає конденсації (відсмоктуванню), від’ємна – випарюванню (вдуванню). При b_D_(m) ≤ 0,1 криві для конденсації і випаровування співпадають.

Залежності, наведені на рис.12.4 і 12.5, дозволяють з достатнім наближенням виявити область достовірності аналогії між роздільно протікаючи ми процесами тепло- і масообміну. Аналогії відповідає умова b_D_(m) ≤ 0,1. При b_D_(m) ≥ 4 4 відбувається виродження чисел Рейнольдса і Прандтля на процеси переносу і знаходить місце граничний випадок переважання поперечного потоку.

12.4. Тепломасообмін при конденсації в елементах теплообмінних пристроїв

З причини складності процесів конденсації з паро-газової суміші в інженерних розрахунках отримані дослідним шляхом дані. Наведемо деякі результати експериментальних досліджень масовіддачі при найбільш актуальних в енергетиці елементів теплообмінних пристроїв. Теплообмін при конденсації водяної пари у турбулентному потоці паро-газової суміші здійснювався в пористій трубі діаметром 10 мм і довжиною 175 мм рівномірно покритій рідиною, термічний опір якої малий із-за відсмоктування конденсату через пористу стінку.

У дослідах використовувалася суміш водяної пари з гелієм, повітрям і фреоном 12. Тиск паро-газової суміші складав р = 0,1...0,13 МПа; початковий вміст газу в суміші ε_г = р_г/р = 0,1...1,0; безрозмірна різниця парціальних тисків π_D = 0,02...0,4; швидкість паро-газової суміші була w = 2...25 м/с; число Рейнодьдса змінювалося в діапазоні Re = (2...25)·10³

Рис.12.6. Масовіддача при конденсації пари з паро-газової суміші в трубі: – водяна пара – повітря; p – водяна пара – гелій; ™ – водяна пара – фреон-12; r – водяна пара – повітря; О – калій – аргон

Дослідні дані опрацьовані у вигляді залежності між числами подіб-ності запропонова-ними Л.Д.Берманом. Результати опрацювання дослідних даних наведені на рис.12.6 у вигляді залежності:

де – дифузійне число Нуссельта, розраховане на основі наближеної аналогії роздільного протікання процесів теплообміну і масообміну,

Дослідні дані наведені на рис.12.6 апроксимуються залежністю:

(12.32)

де А = 0,71; п = –0,6; т = –0,4 (при 10^–1≤ ε_г/π_D≤1,0); А = 0,71; п = –0,9; т = –0,1 (при ε_г/π_D>1,0). В області ε_г/π_D = (1...3) досягається краще сходження дослідних даних, якщо до правої частини формули (12.32) добавити співмножник (R_n/R_г)^–0,1, де R_n і R_г – відповідно газові сталі пари і газу. При цьому А = 0,745.

Не менш практично важливою є задача про теплообмін при плівковій конденсації пари, яка рухається в паро-газовій суміші на одиничних трубах і трубних пучках. Під час дослідів пароповітряна суміш надходила до одиничної горизонтальної труби зверху. Тиск суміші змінювався від 0,0046 до 0,089 МПа; вміст повітря у водяній парі складав ε_г₀ = 0,01...0,56. Для середнього коефіцієнта масовіддачі запропоноване рівняння:

(12.33)

яке справедливе при Re = 350...4800. У формулі (12.33) число Рейнольдса складене за швидкістю набігаючого на трубу потоку суміші і зовнішнього діаметра труби. Фізичні параметри суміші приймаються за параметрами набігаючого потоку. Коефіцієнт в’язкості розраховується по рівнянню:

де μ_п і μ_г – відповідно динамічний коефіцієнт в’язкості пари і повітря.

Досліди по масообміну при обтіканні пучків труб, основні параметри яких наведено в § 11.6, проведені для низхідного потоку пароповітряної суміші. При цьому отримана наступна формула для середнього коефіцієнта масовіддачі при Re = 350...4800:

(12.34)

де, як і у формулі (12.33),

Число Рейнольдса розраховується за швидкістю пароповітряної суміші перед рядом труб; визначальним розміром є зовнішній діаметр труб; параметри суміші визначаються так само, як і для формули (12.33).

Множник а у формулі (12.34) залежить від номера ряду: для першого а = 0,53; для другого а = 0,74; для третього і наступних а = 0,82. Зміна коефіцієнта пропорціональності а по рядам свідчить про подразнення пароповітряного потоку при його проходженні через пучок, що приводить до збільшення коефіцієнта масовіддачі. У цій обставині можна вбачати певну аналогію з тепловіддачею пучків труб, які омиваються однокомпонентним середовищем.

Рядом авторів виконано експериментальне дослідження теплообміну при конденсації технічно чистої водяної пари з домішками повітря на пучці труб, який поперечно омивався, потоком суміші. Пучок збирався з десяти рядів труб діаметром 11 і 19 мм з розміщенням труб по вершинам рівностороннього трикутника. Повздовжній відносний крок становив s₂ = 1,09d.

Напрямок руху пари через пучок змінювався від низхідного (β = +90°) до висхідного (β = –90°). Труби розміщувалися як горизонтально (θ = 0°), так і з нахилом до горизонту (θ = 10°). Тиск пари і паро-газової суміші на вході складав р₀ =0,0089...0,108 МПа; вміст повітря ε_г₀ = 0,001...0,3; масова швидкість (ρw)_пг₀ змінювалася від 0,7 до 15 кг/(м²·с); середній температурний напір, розраховувався як різниця температур потоку на вході і температури стінки і становив 1...70 К.

Дослідні дані апроксимуються емпіричною залежністю:

(12.35)

де

Фізичні параметри пароповітряного потоку мають індекс “пг”, пари “п”, повітря “г” визначаються за станом на вході до пучка – індекс “0”; фізичні властивості конденсату “р”, а також теплота фазового переходу r віднесені до стану насичення “н” визначаються за парціальним тиском

Середній коефіцієнт тепловіддачі розраховується по формулі:

Швидкість w₀ розраховується по середньому вузькому поперечному перерізу пучка. Допоміжні функції апроксимовані наступними виразами:

(12.36)

(12.37)

(12.38)

(12.39)

Величина φ – для перших п’яти по ходу пари рядів труб зменшується приблизно від 0,25 до 0,1. Для всіх інших рядів φ = 0,1. Через F_* позначається відносна поверхня F/F_0*, де s₀ – середній переріз між трубами у пучці.

Для функції ψ запропонована наступна залежність:

–ψ = ψ_пг(β) + 0,03θ, (12.40)

де

Значення кутів θ і β підставляються в градусах, при цьому β – зі своїм знаком.

В області 0,5·10^–3 < Re ≤ 6·10^–3 залежність (12.35) можна записати в наступному вигляді:

(12.41)

З розглянутого матеріалу можна прийти до висновку, що невеликий нахил трубного пучка відносно горизонталі інтенсифікує конденсацію пари у пучці.