Ðîçä³ë 14. ÒÅÏËÎÎÁÌ²Í ÏÐÈ ÊÎÍÄÅÍÑÀÖ²¯ ÏÀÐÈ ÍÀ ÑÒÐÓÌÅͲ вÄÈÍÈ

 

14.1. Òåïëîâèé áàëàíñ ñòðóìåíÿ

 

ϳä ÷àñ òåõí³÷íèõ ðîçðàõóíê³â íåîáõ³äíî âèçíà÷èòè ñåðºäíüîìàñîâó òåìïåðàòóðó â çàäàíîìó ïåðåð³ç³ ñòðóìåíÿ ³ ê³ëüê³ñòü ïåðåäàíî¿ òåïëîòè íà ðîçðàõóíêîâ³é ä³ëÿíö³. Óñ³ ö³ âåëè÷èíè âçàºìîçâ’ÿçàí³ ì³æ ñîáîþ.

Ïðè êîíäåíñàö³¿ íàñè÷åíî¿ ïàðè íà ä³ëÿíö³ ñòðóìåíÿ â³ä õ = 0 äî õ = ð³âíÿííÿ òåïëîâîãî áàëàíñó ìîæíà çàïèñàòè â íàñòóïíîìó âèä³:

(14.1)

äå Gn – âèòðàòè ñêîíäåíñîâàíî¿ ïàðè íà ä³ëÿíö³ â³ä õ = 0 äî õ = ; Gp – ïî÷àòêîâ³ âèòðàòè ð³äèíè; Ò0 ³ Ò – ñåðåäí³ â ïåðåð³ç³ òåìïåðàòóðè ð³äèíè â³äïîâ³äíî ïðè õ = 0 ³ õ = .

Ìàêñèìàëüíî ìîæëèâ³ âèòðàòè ñêîíäåíñîâàíî¿ ïàðè Gn âèçíà÷àþòüñÿ ç (14.1) ï³ñëÿ ï³äñòàíîâêè Ò = Òí:

(14.2)

Ç ð³âíÿíü (14.1) ³ (14.2) âèÿâëÿºòüñÿ çâ’ÿçîê ì³æ â³äíîñíîþ ê³ëüê³ñòþ ïàðè, ÿêà ñêîíäåíñóâàëàñÿ íà ä³ëÿíö³ ³ â³äíîñíèì íàãð³âàííÿì ñòðóìåíÿ (Ò Ò0)/(Òí Ò0):

(14.3)

äå

Çà óìîâè íåçíà÷íèõ íåäîãð³â³â ñòðóìåíÿ äî òåìïåðàòóðè íàñè÷åííÿ ³ âåëèêèõ Ê ìîæíà ââàæàòè, ùî

(14.4)

Çíà÷åííÿ ñåðåäíüîãî çà äîâæèíîþ êîåô³ö³ºíòà òåïëîâ³ääà÷³ çðó÷íî âèçíà÷èòè çà äîïîìîãîþ áàëàíñîâîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ

(14.5)

äå Q – òåïëîâèé ïîò³ê, íåîáõ³äíèé äëÿ íàãð³âàííÿ õîëîäíî¿ ð³äèíè â³ä òåìïåðàòóðè Ò0 äî Ò.

Ñòðóìåíÿ íå çàëèøàºòüñÿ íåçì³ííîþ âçäîâæ òå÷³¿. ¯¿ çì³íà ìîæå áóòè îáóìîâëåíà ïðèñêîðåííÿì ÷è ñïîâ³ëüíåííÿì ñòðóìåíÿ, õâèëå óòâîðåííÿì, çðèâîì êðàïåëü. Ó ðîçðàõóíêàõ çðó÷íî âèêîðèñòîâóâàòè óìîâíó ïîâåðõíþ ñòðóìåíÿ, ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ ðîçì³ðîì ñîïëà. Äëÿ öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà óìîâíà ðîçðàõóíêîâà ïîâåðõíÿ áóäå F = πd, äå d – ä³àìåòð ñîïëà. Ââåäåííÿ äî ðîçðàõóíêó óìîâíî¿ ïîâåðõí³ ñòðóìåíÿ íàäຠ³ êîåô³ö³ºíòó òåïëîâ³ääà÷³ óìîâíèé, ðîçðàõóíêîâèé õàðàêòåð.

Ïðîñò³ ð³øåííÿ ïîêàçóþòü, ùî ñåðåäíÿ çà ïåðåð³çîì òåìïåðàòóðà ñòðóìåíÿ çì³íþºòüñÿ âçäîâæ ïîòîêó çà åêñïîíåíö³àëüíèì çàêîíîì. Öÿ îáñòàâèíà ó ðîçãëÿäóâàíèõ óìîâàõ ïðèâîäèòü äî òîãî, ùî ñåðåäíüî ³íòåãðàëüíèé òåìïåðàòóðíèé íàï³ð íà ðîçðàõóíêîâ³é ä³ëÿíö³ ìîæå âèçíà÷àòèñÿ ÿê ñåðåäíüîëîãàðèôì³÷íèé:

(14.6)

Ç ð³âíÿíü (14.3), (14.5) ³ (14.6) ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî

ñë³äóº

(14.7)

Çàïèñóþ÷è öå ð³âíÿííÿ â áåçðîçì³ðíîìó âèãëÿä³, îòðèìàºìî:

(14.8)

Ó öüîìó ð³âíÿíí³

Ââåäåìî ïîçíà÷åííÿ

äå Θ – â³äíîñíèé íàãð³â ñòðóìåíÿ. Âèêîðèñòàâøè ö³ ïîçíà÷åííÿ, ð³âíÿííÿ (14.8) ìîæíà ïåðåïèñàòè â íàñòóïíîìó âèä³:

(14.9)

ßêùî íåäîãð³â äî òåìïåðàòóðè íàñè÷åííÿ (1 – Θ) íå äóæå âåëèêèé ³ Ê>>1, òî

.

 

14.2. Ëàì³íàðíèé ñòðóì³íü

 

Òåïëîîáì³í ïðè êîíäåíñàö³¿ ïàðè íà ëàì³íàðíîìó ñòðóìåí³ ð³äèíè ò³º¿ æ ïðèðîäè ðîçãëÿäàâñÿ Ñ.Ñ.Êóòàòåëàäçå. Íàâåäåìî öå ð³øåííÿ ç äåÿêèìè çì³íàìè.

Ââàæàþ÷è, ùî ñòðóì³íü ð³äèíè ç ïî÷àòêîâîþ òåìïåðàòóðîþ Ò0 ³ øâèäê³ñòþ w0 âèò³êຠç êðóãëîãî îòâîðó ðàä³óñîì R0 ó ïðîñò³ð, çàïîâíåíèé íàñè÷åíîþ ïàðîþ ò³º¿ æ ð³äèíè ç òåìïåðàòóðîþ Òí. ijàìåòð ñîïëà ìàëèé ó ïîð³âíÿíí³ ç äîâæèíîþ ñòðóìåíÿ, îñòàííÿ çáåð³ãຠöèë³íäðè÷íó ôîðìó ïîïåðå÷íîãî ïåðåð³çó íà âñ³é äîâæèí³ òå÷³¿. Òåðòÿì íà ì³æôàçí³é ïîâåðõí³ íåõòóºìî. Ó íàçâàíèõ óìîâàõ ðàä³àëüíà ñêëàäîâà ãðà䳺íòà òåìïåðàòóðè ïîâèííà áóòè íàáàãàòî á³ëüøîþ îñüîâî¿. Çì³íó øâèäêîñò³ ïî ðàä³óñó íå âðàõîâóºìî.

Ó â³äïîâ³äíîñò³ ç ïðèéíÿòèìè óìîâàìè òåìïåðàòóðíå ïîëå îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿì:

(14.11)

äå J = Òí – Ò – íàäëèøêîâà òåìïåðàòóðà ð³äèíè; ξ – ïîòî÷íèé ðàä³óñ.

Ç âèçíà÷åííÿ øâèäêîñò³ ñë³äóº, ùî

dx = wxdτ. (14.12)

Çì³íîþ øâèäêîñò³ wx, ÿêà çã³äíî ïðèéíÿòèõ óìîâ ïðèéìàºòüñÿ ÿê ñåðåäíÿ çà ïåðåð³çîì ñòðóìåíÿ, ìîæíà çíåõòóâàòè, ÿêùî ïî÷àòêîâà øâèäê³ñòü ñòðóìåíÿ äîñòàòíüî âåëèêà. Ó öüîìó âèïàäêó ñèëè òÿæ³ííÿ íå çì³íþþòü ñóòòºâî âåëè÷èíó wx ³ âîíà íà âñ³é ïðîòÿæíîñò³ òå÷³¿ ïðàêòè÷íî äîð³âíþº w0.

Ç âèêîðèñòàííÿì ð³âíÿííÿ (14.12), çàëåæí³ñòü (14.11) ìîæíà çàïèñàòè òàê:

(14.13)

гâíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ (14.13) íåë³í³éíå, ÿêùî êîåô³ö³ºíò òåìïåðàòóðîïðîâ³äíîñò³ çì³íþºòüñÿ ïî äîâæèí³ ñòðóìåíÿ, òîáòî à = à(τ).

Ïîçíà÷èâøè

dτa = à(τ)dτ, (14.14)

òîä³

(14.15)

Âíàñë³äîê öüîãî ð³âíÿííÿ (14.13) ïåðåòâîðþºòüñÿ äî âèãëÿäó:

(14.16)

Çàïèøåìî öå ð³âíÿííÿ ó áåçðîçì³ðíîìó âèãëÿä³, äëÿ ÷îãî ââåäåìî çì³íí³

Îòðèìàºìî:

(14.17)

Öå ð³âíÿííÿ ìîæíà ðîçâ’ÿçàòè ìåòîäîì ðîçä³ëîì çì³ííèõ. гøåííÿ ìàºìî ó âèãëÿä³ äîáóòêó äâîõ ôóíêö³é:

Θ = φ(Fo)ψ(Ξ).

Çâ³äñè ñë³äóº, ùî

ϳäñòàâèìî ö³ çíà÷åííÿ ïîõ³äíèõ â (14.17) ³ îòðèìàºìî äâà çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿííÿ

ð³øåííÿ ÿêèõ â³äïîâ³äíî áóäå:

äå J0 – ôóíêö³ÿ Áåññåëÿ ïåðøîãî ðîäó íóëüîâîãî ïîðÿäêó â³ä àðãóìåíòó εΞ; Y0 – ôóíêö³ÿ Áåññåëÿ äðóãîãî ðîäó íóëüîâîãî ïîðÿäêó â³ä òîãî æ àðãóìåíòó.

Ïðè εΞ → 0 ìàºìî Y0 → ∞. Òîìó ùî òåìïåðàòóðà íà îñ³ ñòðóìåíÿ íå ìîæå áóòè áåçê³íå÷íî âåëèêîþ, òî íåîáõ³äíî ââàæàòè, ùî À3 = 0. Òîä³

³ ÷àñòèííå ð³øåííÿ ð³âíÿííÿ òåïëîïðîâ³äíîñò³ (14.17) íàáóâຠâèãëÿäó:

Ñòàë³ âåëè÷èíè À ³ ε âèçíà÷àþòüñÿ â³äïîâ³äíî ç ïî÷àòêîâî¿ ³ ãðàíè÷íî¿ óìîâ. Ïðè Ξ = 1 Θ  = 0 ³ ç îñòàííüîãî âèðàçó âèõîäèòü õàðàêòåðèñòè÷íå ð³âíÿííÿ

J0(ε) = 0.

Ôóíêö³ÿ J0(ε) ìຠáåçìåæíó ìíîæèíó êîðí³â:

Îòæå, ìàºìî áåçìåæíó ìíîæèíó ÷àñòèííèõ ð³øåíü:

Ç ïî÷àòêîâî¿ óìîâè Θ(0, Ξ)  = 1 ñë³äóº, ùî

Ó öüîìó âèïàäêó

äå J1 – ôóíêö³ÿ Áåññåëÿ ïåðøîãî ðîäó ïåðøîãî ïîðÿäêó.

гøåííÿ äëÿ òåìïåðàòóðíîãî ïîëÿ â ñòðóìåí³ áóäå:

(14.18)

гâíÿííÿ (14.18) îòðèìàíî ïðè ãðàíè÷í³é óìîâ³ ïåðøîãî ðîäó, çã³äíî ç ÿêèì ïðè âñ³õ õ > 0 (τ >0) íà ïîâåðõí³ ñòðóìåíÿ ï³äòðèìóºòüñÿ ïîñò³éíà òåìïåðàòóðà Òí (÷è Θ = 0). Öÿ óìîâà â³äïîâ³äຠíåõòóâàííþ ì³æôàçíèì òåðì³÷íèì îïîðîì.

Ïðè òåõí³÷íèõ ðîçðàõóíêàõ ïåâíèé ³íòåðåñ ïðåäñòàâëÿº ñåðåäíÿ â äàíîìó ïîïåðå÷íîìó ïåðåð³ç³ òåìïåðàòóðà ñòðóìåíÿ. Ñåðåäíÿ òåìïåðàòóðà íà ä³ëÿíö³ â³ä Ξ = 0 äî Ξ ó ïåðåð³ç³, ùî âèçíà÷àºòüñÿ êîîðäèíàòîþ õ = :

²íòåãðóþ÷è öåé âèðàç ïî âñüîìó ïåðåð³çó, òîáòî â³ä Ξ = 0 äî Ξ= 1, îòðèìàºìî:

(14.19)

äå Ò – ñåðåäíüîìàñîâà òåìïåðàòóðà ñòðóìåíÿ ó ïåðåð³ç³ õ = .

Äëÿ ëàì³íàðíîãî ñòðóìåíÿ ïðè à = const ³ wx = w0 = const ÷èñëî Ôóð’º ìîæíà ïðåäñòàâèòè íàñòóïíèì ÷èíîì:

(14.20)

äå Ðå = w0d/a; d = 2R0.

Âèêîðèñòîâóþ÷è (14.8) ó ôîðì³

ìîæíà ëåãêî ïåðåéòè â³ä ñåðåäíüî¿ ó äàíîìó ïåðåð³ç³ õ = òåìïåðàòóðè ñòðóìåíÿ äî ñåðåäíüî¿ òåïëîâ³ääà÷³ íà ä³ëÿíö³ õ Î (0, ).

Ç íàáëèæåíîãî òåîðåòè÷íîãî ð³øåííÿ, ïðåäñòàâëåíîãî ôîðìóëîþ (14.19), âèõîäèòü, ùî

Âðàõîâóþ÷è ð³âíÿííÿ (14.8), îòðèìàºìî:

Ïîñòàíîâêà çàäà÷³, ÿêà â³äïîâ³äຠôîðìóë³ (14.19), ââàæàº, ùî ïîâçäîâæíÿ ñêëàäîâà øâèäêîñò³ wx íå çì³íþºòüñÿ í³ çà ïåðåð³çîì, í³ çà äîâæèíîþ ñòðóìåíÿ ³ äîð³âíþº ïî÷àòêîâ³é øâèäêîñò³ âèò³êàííÿ w0. Ó ä³éñíîñò³ ñîïëî ìຠê³íöåâó äîâæèíó ³ ïîò³ê ïðîõîäèòü ÷àñòêîâó ñòàá³ë³çàö³þ. Íà âèõîä³ ³ç ñîïëà äèíàì³÷í³ ãðàíè÷í³ óìîâè çì³íþþòüñÿ, ùî ïîâèííî ïðèâåñòè äî çì³íè ðîçïîä³ëó ñòðóìåíÿ ïî ïåðåð³çó ñòðóìåíÿ. Êð³ì öüîãî, ïðè ìàëèõ øâèäêîñòÿõ âèò³êàííÿ ìîæå âïëèâàòè ïðèñêîðåííÿ ñòðóìåíÿ ï³ä 䳺þ ñèëè òÿæ³ííÿ.

Çì³íà ðîçïîä³ëó øâèäêîñò³ ïîâèííà ïðèâåñòè äî ïîÿâè â ð³äèí³ â’ÿçêèõ ñèë íàâ³òü áåç ïîì³òíî¿ âçàºìî䳿 ñòðóìåíÿ ç ïàðîþ. Ïåðåë³ê áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ íåîáõ³äíî äîïîâíèòè ÷èñëîì Ðåéíîëüäñà Re = w0d/νp ³ â³äíîñíîþ äîâæèíîþ ñîïëà Lc = c/d. Êîìá³íóþ÷è â³äïîâ³äíèì ÷èíîì çì³íí³, ð³âíÿííÿ ïîä³áíîñò³ ìîæíà çàïèñàòè â íàñòóïíîìó âèä³:

Ó á³ëüø çàãàëüíîìó âèïàäêó íåîáõ³äíî òàêîæ âðàõîâóâàòè çì³íí³ñòü ô³çè÷íèõ ïàðàìåòð³â ³ êàï³ëÿðíî¿ ñèëè.

Áóëè ïðîâåäåí³ äîñë³äè íà âîä³ ç ïî÷àòêîâîþ òåìïåðàòóðîþ Ò0 = 293...302 Ê, ÿêà âèò³êàëà ç öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà ä³àìåòðîì d = 6 ìì â íàñè÷åíó âîäÿíó ïàðó ç Òí ≈ 388 Ê. Ñåðåäíüîìàñîâà øâèäê³ñòü âîäè íà âèõîä³ ³ç ñîïëà ñòàíîâèëà 0,115...0,257 ì/ñ, ö³é øâèäêîñò³ â³äïîâ³äàëè ÷èñëà Ðåéíîëüäñà Re = w0d/νp =       = 706...1544. ×èñëà Ê ³ Prð â äîñë³äàõ ìàéæå íå çì³íþâàëèñÿ ³ áóëè â³äïîâ³äíî ð³âíèìè 5,5...6,1 ³ 5,5...7,0. Äîñë³äè âèêîíóâàëèñÿ ïðè âèò³êàíí³ âîäè ç êðóãëîãî ñîïëà ç³ çãëàäæåíîþ âõ³äíîþ êðîìêîþ ³ äîâæèíîþ 3 ìì (óìîâíî Lc1= c/d = 0,5) ³ öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà Lc2 = 50.

Ðèñ.14.1. Ïîð³âíÿííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ç ðîçðàõóíêîì çà ôîðìóëîþ (14.19). Âîäà ³ âîäÿíà ïàðà, ñîïëî

6 ìì, ñ/d = 0,5; 1 – ap/w0d = 2·10–4; 2 – 10–4;

? – Re = 946; r1058; s1199;£ – 1349;          Î1498; È1516; – 1544

 

Íà ðèñ.14.1 íàâîäèòüñÿ ñï³âñòàâëåííÿ ðîçðàõóíê³â çà ôîðìóëîþ (14.8) ³ (14.19) ç äîñë³äíèìè äàíèìè îòðèìàíèìè íà ñîïë³ Lc1. Ðîçðàõóíêîâà êðèâà 1 â³äïîâ³äຠìàêñèìàëüíîìó çíà÷åííþ ïàðàìåòðà ap/w0d, ÿêå ìàëî ì³ñöå â äîñë³äàõ ³ ð³âíîìó 2·10–4, êðèâà 2 – ì³í³ìàëüíîìó ³ ð³âíîìó 10–4.

Ïðè çàãàëüí³é â³äïîâ³äíîñò³ äîñë³äíèõ ³ ðîçðàõóíêîâèõ çíà÷åíü ñåðåäí³õ ÷èñåë Ñòåíòîðà ð³çíèöÿ ì³æ íèìè âñå æ òàêè âåëèêà, îñîáëèâî ïðè ìàëèõ ³ âåëèêèõ â³äíîñíèõ äîâæèíàõ ñòðóìåíÿ L = /d. Äîñë³äí³ òî÷êè ñèñòåìàòè÷íî ðîçøàðîâóþòüñÿ çà ÷èñëàìè Ðåéíîëüäñà: ÷èì á³ëüøå Re, òèì ìåíøå ñåðåäíº çíà÷åííÿ St ïðè ³íøèõ ð³âíèõ óìîâàõ. Àíàë³ç çàëåæíîñò³ ïðè ð³çíèõ ô³êñîâàíèõ äîâæèíàõ ñòðóìåíÿ L ³ ñîïåë Lc1 ïîêàçóº, ùî

Ç óðàõóâàííÿì öüîãî íà ðèñ.14.2 äîñë³äí³ äàí³ íàâåäåí³ ó âèãëÿä³ çàëåæíîñò³ Ïðè L = /d = 4,5...12 äîñë³äí³ äàí³ ìîæíà àïðîêñèìóâàòè çàëåæí³ñòþ:

(14.21)

äå à = 0,24 äëÿ ñîïëà Lc1; à = 0,185 äëÿ ñîïëà Lc2.

Ïðè îïðàöþâàíí³ äîñë³äíèõ äàíèõ ó áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ ô³çè÷í³ ïàðàìåòðè ð³äèíè, ÿê³ âõîäÿòü ó ð³âíÿííÿ (14.21), âèáèðàþòüñÿ çà Ò0; âèêëþ÷åííÿ ñòîñóºòüñÿ òåïëîòè ôàçîâîãî ïåðåõîäó, ùî âèáèðàºòüñÿ çà Òí.

Ðèñ.14.2. Òåïëîâ³ääà÷à ïðè êîíäåíñàö³¿ íàñè÷åíî¿ âîäÿíî¿ ïàðè íà ëàì³íàðíîìó ñòðóìåí³ âîäè ïðè d = 6 ìì: ˜Lc1; Lc2

ßê ñë³äóº ç ðèñ.14.2, âåëè÷èíà Lc äîñòàòíüî ïîì³òíî âïëèâຠíà ³íòåíñèâí³ñòü òåïëîîáì³íó. Äîâãå ñîïëî ïðèçâîäèòü äî çìåíøåííÿ òåïëîâ³ääà÷³ ïðèáëèçíî íà 30% ó ïîð³âíÿíí³ ç êîðîòêèì.

Ó íàâåäåíîìó òåîðåòè÷íîìó ð³øåíí³ íå âðàõîâóºòüñÿ ì³æôàçíà âçàºìîä³ÿ íà ãðàíèö³ ð³äèíè ç ïàðîþ. Ðîçãëÿíåìî çàäà÷ó ç óðàõóâàííÿì öüîãî åôåêòó íà ïðèêëàä³ ëàì³íàðíîãî ïëîñêîãî ñòðóìåíÿ ç ð³âíîì³ðíèì ïî÷àòêîâèì ðîçïîä³ëîì øâèäêîñò³ ³ òåìïåðàòóðè, ð³âíèõ â³äïîâ³äíî w0 ³ Ò0. Ñòðóì³íü âèò³êຠâ ïðîñò³ð ç íåðóõîìîþ íàñè÷åíîþ ïàðîþ ç òåìïåðàòóðîþ Òí. Âíàñë³äîê ïðèòîêó ìàñè êîíäåíñàòó ð³äèíà çàãàëüìîâóºòüñÿ ³ ïîâåðõíÿ ðîçä³ëó ôàç òðîõè â³äõèëÿºòüñÿ â³ä ïëîùèíè ó = 0 ³ íàáóâຠïîëîæåííÿ ó1(õ) (ðèñ.14.3).

Ðèñ.14.3. Äî ïîñòàíîâêè çàäà÷³ ïðî êîíäåíñàö³þ ïàðè íà ïëîñêîìó ëàì³íàðíîìó ñòðóìåí³ ð³äèíè

Íàïðóãà òåðòÿ íà ì³æôàçí³é ãðàíèö³ ó1(õ) ïðèéìàºòüñÿ ó ïðèïóùåíí³ ³ñíóâàííÿ ç áîêó ïàðîâî¿ ôàçè ïåâíîãî àñèìåòðè÷íîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó ç ð³âíîì³ðíèì â³äñìîêòóâàííÿì. Ó öüîìó âèïàäêó ð³âíÿííÿ çáåðåæåííÿ ê³ëüêîñò³ ðóõó ó ïðîåêö³¿ íà ïëîùèíó xz çã³äíî § 11.1 ìîæå áóòè çàïèñàíå ó íàñòóïíîìó âèä³:

(14.22)

äå wx – íîðìàëüíà äî ïîâåðõí³ ó1(õ) ñêëàäîâà øâèäêîñò³ ð³äèíè; dω – åëåìåíò ïîâåðõí³ ó1(õ). Íà ïîâåðõí³ ðîçðèâó ïðèïóñêàºòüñÿ ð³âí³ñòü äîòè÷íèõ ñêëàäîâèõ ïàðè ³ ð³äèíè. Íà áåçìåæí³é â³äñòàí³ â³ä ñòðóìåíÿ ïîâçäîâæíÿ øâèäê³ñòü ïàðè äîð³âíþº íóëþ, òîáòî ïîãðàíè÷íèé øàð ó ïàð³ óòâîðþºòüñÿ âíàñë³äîê éîãî çàòÿãóâàííÿ ðóõîìèì ñòðóìåíåì.

Óìîâè òåïëîâî¿ âçàºìî䳿 çàäàâàëèñÿ áåç óðàõóâàííÿ ì³æôàçíîãî òåðì³÷íîãî îïîðó, òîáòî ââàæàëàñÿ ð³âí³ñòü òåìïåðàòóð ïàðè ³ ð³äèíè íà ïîâåðõí³ ðîçðèâó ó1(õ). Òåïëîâèé ïîò³ê íà ö³é ïîâåðõí³ îáóìîâëåíèé ò³ëüêè âèä³ëåííÿì òåïëîòè ôàçîâîãî ïåðåõîäó.

Ïðè ïðèéíÿòèõ óìîâàõ ìàòåìàòè÷íå ôîðìóëþâàííÿ çàäà÷³ äëÿ ð³äèíè â íàáëèæåíí³ ïîãðàíè÷íîãî øàðó áóäå òàêèì:

(14.23)

(14.24)

(14.25)

(14.26)

(14.27)

(14.28)

(14.29)

(14.30)

(14.31)

äå J = ÒíÒ.

Ââåäåìî ôóíêö³¿ òîêó, ÿê³ çàäîâîëüíÿþòü ð³âíÿííÿ íåðîçðèâíîñò³ ïîòîêó (14.24), ó íàñòóïí³é ôîðì³:

³ çì³íí³ âåëè÷èíè

òîä³ çàäà÷ó â ÷àñòèííèõ ïîõ³äíèõ (14.23)...(14.31) ìîæíà ïðèâåñòè äî ñèñòåìè çâè÷àéíèõ äèôåðåíö³àëüíèõ ð³âíÿíü ç êðàéîâèìè óìîâàìè:

(14.32)

(14.33)

(14.34)

(14.35)

(14.36)

(14.37)

(14.38)

(14.39)

äå Ê = r/cpJ0; çíà÷åííÿ η = η1 â³äïîâ³äຠì³æ ôàçí³é ïîâåðõí³ ó1.

Ïîëå øâèäêîñòåé ó íîâèõ çì³ííèõ âèðàæàºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè:

Ìàòåìàòè÷íèé îïèñ çàäà÷³ ì³ñòèòü äîäàòêîâèé ïàðàìåòð Ê, ÿêèé â ïðàêòè÷íî âàæëèâèõ âèïàäêàõ êîíäåíñàö³¿ âîäÿíî¿ ïàðè ìຠâåëèêå çíà÷åííÿ, òîáòî 1/Ê << 1. Ó çâ'ÿçêó ç öèì ð³øåííÿ øóêàºòüñÿ ó âèãëÿä³ àñèìïòîòè÷íîãî ðÿäó çà ñòåïåíÿìè ìàëîãî ïàðàìåòðà N=1/Ê. Îáìåæèìîñÿ â ïåðøîìó íàáëèæåíí³ äâîìà ÷ëåíàìè öüîãî ðÿäó, òîä³ îòðèìàºìî:

(14.40)

Íàñòóïí³ ðîçðàõóíêè çâîäÿòüñÿ äî ï³äñòàíîâêè (14.40) ó ð³âíÿííÿ (14.32)...(14.39) ³ äî ïîð³âíÿííÿ êîåô³ö³ºíò³â ïðè îäíàêîâèõ ñòåïåíÿõ א. Îñê³ëüêè ãðàíè÷í³ óìîâè çàïèñàí³ äëÿ òðîõè äåôîðìîâàíî¿ ôàçîâî¿ ãðàíèö³ η1, òî ïåðåíåñåííÿ öèõ óìîâ íà íå ïîäðàçíåíó ãðàíèöþ çä³éñíþºòüñÿ øëÿõîì ðîçêëàäàííÿ ôóíêö³é â ðÿäè Òåéëîðà.

Íàçâàí³ îïåðàö³¿ ïðèâîäÿòü äî ïðîñòèõ êðàéîâèõ çàäà÷ äëÿ îñíîâíèõ (íå ïîäðàçíåíèõ) ÷ëåí³â àñèìïòîòè÷íèõ ïîñë³äîâíîñòåé f0 ³ g0:

ç ð³øåííÿìè

(14.41)

Ïåðøå ç íèõ â³äïîâ³äຠíå ïîäðàçíåíîìó ïàðàëåëüíîìó ïîòîêó ð³äèíè, äðóãå – ð³øåííÿ çàäà÷³ òåïëîïðîâ³äíîñò³ ïðè ïðîãð³âàíí³ íàïîëîâèíó îáìåæåíîãî ìàñèâó ïðè çàì³í³ ÷àñó ïðîãð³âàííÿ íà τ  = õ/w0.

Äëÿ ïîäðàçíåíü ïåðøîãî ïîðÿäêó f1 ³ g1 ç óðàõóâàííÿì (14.41) ï³ñëÿ ïðîñòèõ ïåðåòâîðåíü ìàºìî:

ç ð³øåííÿìè

(14.42)

(14.43)

(14.44)

äå g1(0) – áåçðîçì³ðíèé ãðà䳺íò òåìïåðàòóðíèõ ïîäðàçíåíü ïåðøîãî ïîðÿäêó, ÿêèé âèðàæàºòüñÿ ñï³ââ³äíîøåííÿìè:

(14.45)

(14.46)

Ôóíêö³¿ ³ïerfc x çâåäåí³ â òàáëèö³ ³ îçíà÷àþòü ï-êðàòíå ³íòåãðóâàííÿ:

Âèêîðèñòîâóþ÷è ð³âíÿííÿ (14.41) ³ (14.42)...(14.46), âèïèøåìî îñíîâí³ ðåçóëüòàòè îòðèìàíèõ ð³øåíü:

(14.47)

(14.48)

(14.49)

(14.50)

äå g1(η) âèçíà÷àºòüñÿ çà ñï³ââ³äíîøåííÿìè (14.45) ³ (14.46).

Î÷åâèäíî, îòðèìàí³ ðåçóëüòàòè ñïðàâåäëèâ³, ÿêùî îäíî÷àñíî ìàë³ ïàðàìåòðè א ³ א/Pr0,5.

²íòåíñèâí³ñòü òåïëîîáì³íó íà ïîâåðõí³ ñòðóìåíÿ ìîæíà õàðàêòåðèçóâàòè ì³ñöåâèì êîåô³ö³ºíòîì òåïëîâ³ääà÷³ αõ:

÷è ó áåçðîçì³ðíîìó âèä³ ç òî÷í³ñòþ äî âåëè÷èíè ïîðÿäêó N2:

ϳñëÿ ï³äñòàíîâêè g0(0) ³ g1(0) ó ôîðìóëè (14.41), (14.45) ³ (14.46) îòðèìàºìî:

(14.51)

Âåëè÷èíà

â³äïîâ³äຠð³øåííþ çàäà÷³ ïðî òåïëîïðîâ³äí³ñòü íàïîëîâèíó îáìåæåíîãî ìàñèâó ïðè çàäàí³ íà éîãî ïîâåðõí³ ïîñò³éíî¿ íàäëèøêîâî¿ òåìïåðàòóðè J0 (òîáòî ðîçâ’ÿçêó “íå ïîäðàçíåíî¿” çàäà÷³).

Ðîçðàõîâàí³ ïî ôîðìóë³ (14.46) çíà÷åííÿ ôóíêö³¿ φ(Pr) íàñòóïí³:

Pr 0 1 2 4 6 8 10

φ(Pr) 1,27 0,95 0,88 0,84 0,80 0,78 0,77

ßê âèäíî ç ôîðìóëè (14.51), óðàõóâàííÿ ïîäðàçíåíü, ÿê³ âíîñÿòüñÿ ïðîöåñîì êîíäåíñàö³¿, ïðèçâîäèòü äî çìåíøåííÿ ³íòåíñèâíîñò³ òåïëîîáì³íó, àëå öå çìåíøåííÿ ïîð³âíÿííî íåâåëèêå. Çìåíøåííÿ îáóìîâëåíå íàäõîäæåííÿì ìàñè êîíäåíñàòó ³ ãàëüìóâàííÿì ð³äèíè âíàñë³äîê äèíàì³÷íî¿ âçàºìî䳿 ôàç.

Ãðàíè÷íèé âèïàäîê Pr → ∞ ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê ïðîöåñ êîíäåíñàö³¿ íà ñòðóìåí³ äóæå â’ÿçêî¿ ð³äèíè, êîëè ã³äðîäèíàì³÷í³ ïîäðàçíåííÿ äóæå ìàë³ ³ çìåíøåííÿ òåïëîâ³ääà÷³ îáóìîâëåíå ò³ëüêè äîäàòêîâèì òåðì³÷íèì îïîðîì øàðó îñàäæóâàíîãî êîíäåíñàòó. Öåé æå ðåçóëüòàò â³äïîâ³äຠêîíäåíñàö³¿ ñóïóòíüîãî ïîòîêó ïàðè ïðè ð³âíîñò³ øâèäêîñòåé ïàðè ³ ñòðóìåíÿ ð³äèíè.

 

14.3. Òóðáóëåíòíèé ñòðóì³íü

 

Äëÿ âèçíà÷åííÿ òåïëîîáì³íó òóðáóëåíòíîãî ñòðóìåíÿ âèð³øàëüíèì º çíàííÿ ïåðåíîñíèõ âëàñòèâîñòåé îñòàííüî¿. Òóðáóëåíòí³ õàðàêòåðèñòèêè â îñíîâíîìó âèâ÷åí³ ñòîñîâíî ñòðóìåí³â ç òå÷³ºþ áåç ïîâåðõíåâèõ ðîçðèâ³â. óäðîäèíàì³êà òóðáóëåíòíèõ ñòðóìåí³â ç ïîâåðõíåþ ðîçðèâó âèâ÷åíà ùå íåäîñòàòíüî, ùî áåçóìîâíî ïðîÿâëÿºòüñÿ ïðè äîñë³äæåíí³ òåïëîîáì³íó. Âèêîðèñòàííÿ ñï³ââ³äíîøåíü äëÿ îäíîð³äíèõ ñåðåäîâèù ÷àñòî º íåìèíó÷èìè, àëå íå çàâæäè ïåðåêîíëèâèìè, ÿêùî ìîâà éäå ïðî ñòðóìåí³ ç ôàçîâîþ ãðàíèöåþ. Îäíå ³ç ãîëîâíèõ ïèòàíü, ÿêå âèìàãຠïîÿñíåíü, º çâ’ÿçîê òóðáóëåíòíèõ ïåðåíîñíèõ âëàñòèâîñòåé ñòðóìåíÿ ç òóðáóëåíòíèìè ïîäðàçíåííÿìè ì³æôàçíî¿ ãðàíèö³, ÿê³ â ñâîþ ÷åðãó ïîâ’ÿçàí³ ç ¿¿ êàï³ëÿðíèìè ñèëàìè.

ßêùî âèõîäèòè ç â³äñóòíîñò³ ì³æôàçíîãî òåðòÿ ³ îñîáëèâîñòåé âèò³êàííÿ ç ñîïëà, òî ìîæíà ââàæàòè, ùî øâèäê³ñòü ³ ïåðåíîñí³ òóðáóëåíòí³ êîåô³ö³ºíòè íåçì³íí³ çà ïåðåð³çîì ñòðóìåíÿ. Ïîçáàâëåííÿ â’ÿçêî¿ îáëàñò³ íà çîâí³øí³é ãðàíèö³ ïîòîêó äîñÿãàºòüñÿ ïîòóæíèì ìåõàí³çìîì òóðáóëåíòíîñò³, ÿêèé ìຠì³ñöå íà ãðàíèö³ â’ÿçêîãî ï³äøàðó ç òóðáóëåíòíèì ÿäðîì ó âèïàäêó îìèâàííÿ òâåðäî¿ ñò³íêè. Ïðè òàêîìó ï³äõîä³ ³ãíîðóºòüñÿ âïëèâ êàï³ëÿðíîñò³.

Âèò³êàííÿ ñòðóìåíÿ ç ïîâåðõíåþ ðîçðèâó ìîæå â³äáóâàòèñÿ ïðè ð³çíèõ óìîâàõ. Ñòðóì³íü ìîæå âèò³êàòè ç äîâãèõ öèë³íäðè÷íèõ êàíàë³â ç õàðàêòåðèñòèêàìè, ÿê³ ïðèòàìàíí³ òóðáóëåíòíîìó ðóõó ð³äèíè â òðóá³, âèò³êàííÿ ìîæå â³äáóâàòèñÿ ç íå ïîäðàçíåíîãî îá’ºìó êð³çü îòâ³ð â òîíê³é ñò³íö³. Ó çàëåæíîñò³ â³ä óìîâ âèò³êàííÿ ðîçâèòîê òóðáóëåíòíîñò³ ïî äîâæèí³ ñòðóìåíÿ ìîæå áóòè ð³çíèì. Öÿ çì³íà ìîæå áóòè ð³çíîþ â çàëåæíîñò³ â³ä îñîáëèâîñòåé ì³æôàçíî¿ âçàºìî䳿.

Îö³íêó êîåô³ö³ºíòà òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè á³ëÿ ïîâåðõíåâîãî øàðó ñòðóìåíÿ âèêîíàí³ À.Ï.Ñîëîäîâèì. Ðîçãëÿíåìî îñíîâí³ îòðèìàí³ íèì ðåçóëüòàòè.

Åíåðã³ÿ òóðáóëåíòíèõ ïóëüñàö³é âèçíà÷àºòüñÿ ð³âíÿííÿì:

(14.52)

äå wx, wó, wz, – ïóëüñàö³éí³ ñêëàäîâ³ øâèäêîñò³.

Çã³äíî Ïðàíäòëÿ çì³íà òóðáóëåíòíî¿ åíåð㳿 äëÿ ïëîñêîãî ïîòîêó âèçíà÷àºòüñÿ ç ð³âíÿííÿ:

(14.53)

Ïåðøèé äîäàíîê ïðàâî¿ ÷àñòèíè ð³âíÿííÿ âèçíà÷ຠçàòóõàííÿ (äèñèïàö³þ) òóðáóëåíòíî¿ åíåð㳿, äðóãèé – â³äòâîðåííÿ òóðáóëåíòíîñò³ (ðîáîòà îñåðåäíåíîãî ðóõó ïðîòè òóðáóëåíòíî¿ íàïðóãè) ³ òðåò³é – ãðà䳺íòíó äèôóç³þ òóðáóëåíòíî¿ åíåð㳿.

Äëÿ ñòàëèõ c, k, k1 ðåêîìåíäóþòüñÿ â³äïîâ³äí³ çíà÷åííÿ: 0,18; 0,56; 0,38. Âåëè÷èíà ò – ìàñøòàá òóðáóëåíòíîñò³, ïðîïîðö³éíèé äîâæèí³ çì³øóâàííÿ. ʳíåìàòè÷íèé êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó ê³ëüêîñò³ ðóõó (ê³íåìàòè÷íèé êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíî¿ â’ÿçêîñò³) âèçíà÷àºòüñÿ ó ö³é ìîäåë³ ÿê

(14.54)

Ìîæíà ââàæàòè, ùî ïðè ïåâíèõ óìîâàõ õâèëüîâ³ ïîäðàçíåííÿ ì³æôàçíî¿ ïîâåðõí³, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü òóðáóëåíòíîìó ðóõó â ñòðóìåí³, ïðèâîäÿòü äî çá³ëüøåííÿ äèíàì³÷íî¿ âçàºìî䳿 ôàç âíàñë³äîê ÷îãî äî çá³ëüøåííÿ ð³âíÿ òóðáóëåíòíîñò³. Íà â³äì³íó â³ä òå÷³¿ á³ëÿ òâåðäî¿ ïîâåðõí³, êîëè ò ââàæàºòüñÿ ð³âíèì íóëþ íà ñò³íö³, ïðè ñòðóìèíí³é òå÷³¿ á³ëÿ ïîâåðõí³ ðîçä³ëó ôàç ò â³äì³ííå â³ä íóëÿ ³ çàëåæèòü â³ä ïîâåðõíåâîãî íàòÿãó ð³äèíè.

Ââàæàþ÷è âåëè÷èíó ò á³ëÿ ïîâåðõí³ ð³äèíè ð³âíîþ ÷è ïðîïîðö³éíîþ àìïë³òóä³ õâèëüîâîãî ðóõó h, à â ÿäð³ ñòðóìåíÿ – ïðîïîðö³éí³é ä³àìåòðó ñòðóìåíÿ, ÿê öå ïðèéíÿòî äëÿ â³ëüíèõ ñòðóìåí³â áåç ïîâåðõí³ ðîçðèâó. Òîä³ äëÿ øàðó á³ëÿ ïîâåðõí³ çã³äíî (14.54) îòðèìàºìî:

(14.55)

äå Prò = εs/εq – òóðáóëåíòíå ÷èñëî Ïðàíäòëÿ, ÿêå íà â³ääàë³ â³ä ñò³íêè áëèçüêå äî îäèíèö³.

Ïðèïóùåííÿ ïðî ñòàë³ñòü ò â ÿäð³ ñòðóìåíÿ ïîâèííî ïîðóøóâàòèñÿ, ÿêùî âåëè÷èíà àìïë³òóäè h ïîðÿäêó ä³àìåòðà ñòðóìåíÿ d. Ó öüîìó âèïàäêó ïîâèííî ìàòè ì³ñöå ïîâíå ðóéíóâàííÿ ñòðóìåíÿ, ÿêå ïðèâîäèòü äî ¿¿ ïîâíîãî äèñïåðãóâàííÿ. Òåïëîîáì³í äèñïåðãîâàíîãî ñòðóìåíÿ ï³äïîðÿäêîâóºòüñÿ ³íøèì çàêîíîì³ðíîñòÿì.

Ó â³äïîâ³äíîñò³ ç (14.55) ê³íåìàòè÷íèé êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè ìîæå çì³íþâàòèñÿ âçäîâæ ïîòîêó, ÿêùî çì³íþþòüñÿ âèçíà÷àëüí³ éîãî âåëè÷èíè. Ðîçãëÿíåìî ðîçâèòîê ïîâåðõíåâî¿ òóðáóëåíòíîñò³ âçäîâæ ñòðóìåíÿ, ââàæàþ÷è, ùî ä³ÿ ïàðîâî¿ ôàçè íà ïðîô³ëü õâèë³ ïðîïîðö³éíà äèíàì³÷íîìó íàïîðó ³ íå çàëåæèòü â³ä êîíô³ãóðàö³¿ âèñòóïó. Ñèëà îïîðó, ÿêà ïðèõîäèòüñÿ íà îäíó òóðáóëåíòíó êîì³ðêó, ïðîïîðö³éíà âåëè÷èí³

äå w – â³äíîñíà øâèäê³ñòü ñòðóìåíÿ; òh – ì³äåëåâèé ïåðåð³ç âèñòóïó.

Òîìó ùî êîíöåíòðàö³ÿ êîì³ðîê íà ïîâåðõí³ ñòðóìåíÿ ç ðîçðàõóíêó íà îäèíèöþ ¿¿ äîâæèíè ïðîïîðö³éíà d/F, òî ñèëà îïîðó íà îäèíèöþ äîâæèíè ïðîïîðö³éíà

Òîä³ ðîáîòà õâèëüîâîãî îïîðó Wõâ çà îäèíèöþ ÷àñó, â³äíåñåíà äî îäèíèö³ äîâæèíè ñòðóìåíÿ, ñòàíîâèòü:

Öÿ ðîáîòà ó ðîçãëÿäóâàí³é ìîäåë³ éäå íà çá³ëüøåííÿ åíåð㳿 òóðáóëåíòíîãî ðóõó.  ðîçðàõóíêó íà îäèíèöþ ìàñè ð³äèíè çá³ëüøåííÿ òóðáóëåíòíî¿ åíåð㳿 ñêëàäຠâåëè÷èíó ïîðÿäêó

Ó öüîìó ðàç³ áàëàíñ åíåð㳿 òóðáóëåíòíîãî ðóõó (14.53) ìîæíà çàïèñàòè

(14.56)

äå const âåëè÷èíà ïîðÿäêó îäèíèö³.

Îö³íèìî âåëè÷èíó h/ò. Åíåðãåòè÷í³ äàí³ äîçâîëÿþòü âèÿâèòè çâ’ÿçîê ì³æ õàðàêòåðèñòèêàìè òóðáóëåíòíîñò³ ³ àìïë³òóäè h â³äõèëåííÿ ïîâåðõí³ â³ä öåíòðàëüíîãî ïîëîæåííÿ. Äîêè íå â³äáóâàºòüñÿ â³äðèâ êðàïåëü, ê³íåòè÷íà åíåðã³ÿ êîì³ðêè ρð3òÅ äîð³âíþº ïî ïîðÿäêó çá³ëüøåííÿ ïîâåðõíåâî¿ åíåð㳿 σïðF, äå F – çá³ëüøåííÿ ïîâåðõí³ ðîçä³ëó ôàç. Âåëè÷èíó F ìîæíà îö³íèòè íàñòóïíèì ÷èíîì. Ïðè ìàëèõ àìïë³òóäàõ, äîêè îá’ºì âèñòóïó ìåíøèé îá’ºìó òóðáóëåíòíî¿ êîì³ðêè 3ò, F ~ hm.

Ïðè á³ëüøèõ â³äõèëåííÿõ, êîëè îá’ºì âèñòóïó â³äïîâ³äຠîá’ºìó òóðáóëåíòíî¿ êîì³ðêè, îòðèìóºìî 3ò ~ ha2 ³ F ~ ha, äå à – ðîçì³ð îñíîâè âèêèäó. Òîä³ ïðè h ò   ρð3òÅ ~ σhm; ïðè h > ò   ρð3òÅ ~ σha.

Îòîòîæíþþ÷è ò ç äîâæèíîþ â³äïîâ³äíèõ ïîâåðõíåâèõ ïîäðàçíåíü, îòðèìóºìî äëÿ â³äíîøåííÿ àìïë³òóäè äî äîâæèíè õâèë³ íàñòóïí³ îö³íêè: ïðè ïðè .

Çðîáëåíà îö³íêà ñïðàâåäëèâà ïðè óìîâ³, ùî ρï << ρp.

Ó ïåðøîìó íàáëèæåíí³ áóäåìî ââàæàòè, ùî õàðàêòåðèñòèêè òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó íå çì³íþþòüñÿ çà ïåðåð³çîì ñòðóìåíÿ ³ âèçíà÷àþòüñÿ çíà÷åííÿìè, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü øàðó á³ëÿ ïîâåðõí³ ð³äèíè.

Ââàæàºìî, ùî â ð³âíÿíí³ (14.56)

Çã³äíî ͳêóðàäçå ñ = 0,07; êîåô³ö³ºíò ñh ìຠçíà÷åííÿ ïîðÿäêó îäèíèö³.

Ââåäåìî τ = õ/w, îòðèìàºìî ç (14.56)

(14.57)

Ïî÷àòêîâîþ óìîâîþ äëÿ äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ (14.57) º Å(õ=0) = Å0, äå Å0 âèçíà÷àºòüñÿ óìîâàìè òå÷³¿ ó ñîïë³.

Ââåäåìî áåçðîçì³ðí³ çì³íí³

гâíÿííÿ áàëàíñó åíåð㳿 òóðáóëåíòíîãî ðóõó (14.57) ìîæíà òîä³ çàïèñàòè ó íàñòóïíîìó âèä³:

(14.58)

Ïî÷àòêîâà óìîâà: Å̃(0) = 1. Ó ð³âíÿíí³ (14.58)

(14.59)

äå ïî÷àòêîâà ñòóï³íü òóðáóë³çàö³¿ . (14.60)

Ðîçâ’ÿçêîì ð³âíÿííÿ (14.58) áóäå: (14.61)

Ç îñòàííüîãî ð³âíÿííÿ ñë³äóº, ùî â³äíîñíà âåëè÷èíà åíåð㳿 òóðáóëåíòíîãî ðóõó çá³ëüøóºòüñÿ ïðè À > 1 ³ çìåíøóºòüñÿ ïðè A < 1, ïðÿìóþ÷è äî àñèìïòîòè÷íîãî çíà÷åííÿ Å̃= À.

Çã³äíî âèðàçó (14.55) ìîæíà ââåñòè íàñòóïí³ ñï³ââ³äíîøåííÿ:

Àíàëîã³÷íî ç (14.20) äëÿ òóðáóëåíòíîãî ñòðóìåíÿ ÷èñëî Ôðóäà ìîæíà ïðåäñòàâèòè íàñòóïíèì ÷èíîì:

(14.62)

Ââàæàþ÷è, ùî , òîä³ ìîæíà íàïèñàòè

(14.63)

Òîìó ùî Å̃ = Å̃(Õ, À), äå , òî

Òîä³ ÷èñëî Ôóð’º ñòàíîâèòèìå:

(14.64)

äå ³

Ìíîæíèê , ÿêèé âõîäèòü ó ôîðìóëó (14.64), âðàõîâóþ÷è ðàí³øå ïðèéíÿò³ ïîçíà÷åííÿ ³ âèçíà÷åííÿ ìîæíà íàâåñòè íàñòóïíèì ÷èíîì:

Ñòàë³ âåëè÷èíè, ÿê³ âõîäÿòü ó öå ð³âíÿííÿ âèçíà÷àþòüñÿ äîñë³äíèì øëÿõîì. ³äì³òèìî, ùî êîåô³ö³ºíò  ïðîïîðö³éíèé êâàäðàòó ïî÷àòêîâîãî ñòóïåíÿ òóðáóëåíòíîñò³ Å0/w2, ÷èñëó Âåáåðà We = ρnw2d/σ  ³ â³äíîøåííþ ãóñòèí ð³äêî¿ ³ ïàðîâî¿ ôàç.

Âåëè÷èíà ïî÷àòêîâîãî ñòóïåíÿ òóðáóëåíòíîñò³ ïîâèííà çàëåæàòè â³ä ã³äðîäèíàì³÷íèõ ³ ãåîìåòðè÷íèõ ïàðàìåòð³â ñîïëà. Òàê äëÿ öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà

(14.65)

äå Re0 = w0dc/νp0 – ÷èñëî Ðåéíîëüäñà äëÿ ñîïëà; ñ/dñ  – â³äíîñíà äîâæèíà ñîïëà.

Ââàæàþ÷è, ùî ïîëå îñåðåäíåíî¿ øâèäêîñò³ îäíîð³äíå çà ðàä³óñîì ñòðóìåíÿ, çàäà÷ó ïðî òåïëîîáì³í ìîæíà çâåñòè äî ðîçâ’ÿçêó äèôåðåíö³àëüíîãî ð³âíÿííÿ

(14.66)

ïðè ãðàíè÷íèõ óìîâàõ:

Òóò äèâ. òàêîæ § 14.2.

Äîâæèíó çì³øóâàííÿ, à çíà÷èòü ³ εq íåîáõ³äíî ðîçð³çíÿòè á³ëÿ ïîâåðõí³ ñòðóìåíÿ ³ íà éîãî îñ³. Ó ïåðøîìó íàáëèæåíí³ ââàæàºìî, ùî àå º ïîñò³éíîþ âåëè÷èíîþ â äàíîìó ïåðåð³ç³, à εq äîð³âíþº éîãî çíà÷åííþ á³ëÿ ïîâåðõí³. ßê ïîêàçàíî â § 14.2, ó âèïàäêó ñòàëîñò³ àå ó ïåðåð³ç³ ñòðóìåíÿ â³äíîñíèé ï³ä³ãð³â ìîæíà ðîçðàõîâóâàòè çà ð³âíÿííÿì (14.19)

äå Òí – òåìïåðàòóðà íàñè÷åíî¿ ïàðè; Ò0 ³ Ò – â³äïîâ³äíî ïî÷àòêîâà ³ ñåðåäíÿ â ïåðåð³ç³ õ = òåìïåðàòóðà ð³äèíè.

×èñëî Ôóð’º ó íàâåäåí³é ôîðìóë³ âèçíà÷àºòüñÿ çà ð³âíÿííÿì (4.42). ßêùî εq – ïîñò³éíà âåëè÷èíà, ùî íå çì³íþºòüñÿ í³ â ïåðåð³ç³, í³ ïî äîâæèí³ òðóáè, òî

(14.67)

äå çã³äíî Ñ.Ñ.Êóòàòåëàäçå ε* = 5·10–4 .

Ïðè öüîìó åêâ³âàëåíòíèé êîåô³ö³ºíò òåìïåðàòóðîïðîâ³äíîñò³ ââàæàºòüñÿ ð³âíèì

àå = à + ε*wxRx, (14.68)

äå w = wx(x) ³ Rx = Rx(x). Çì³íà wx ³ Rx âçäîâæ ñòðóìåíÿ ââàæàºòüñÿ îáóìîâëåíîþ ò³ëüêè ïðèñêîðåííÿì ñòðóìåíÿ, ïðèºäíàíà ìàñà íå âðàõîâóºòüñÿ.

гâíÿííÿ ðóõó äëÿ â³ëüíî ïàäàþ÷îãî ñòðóìåíÿ çà ïðèéíÿòèõ â § 14.2 óìîâàõ çàïèñóºòüñÿ â íàñòóïíîìó âèä³:

²íòåãðóþ÷è ç óðàõóâàííÿì ãðàíè÷íî¿ óìîâè wx(0) = w0 ³ óìîâè íåðîçðèâíîñò³

îòðèìàºìî âèðàçè äëÿ ëîêàëüíî¿ øâèäêîñò³ ³ ëîêàëüíîãî ðàä³óñó öèë³íäðè÷íîãî ñòðóìåíÿ, ÿêèé â³ëüíî ïàäàº:

(14.69)

(14.70)

Ïðè âèò³êàíí³ ð³äèíè ç îòâîð³â ó òîíê³é ñò³íö³ ìຠì³ñöå ñòèñíåííÿ ïîòîêó. Öÿ îáñòàâèíà, ÿêà ïîâèííà âðàõîâóâàòèñÿ êîåô³ö³ºíòîì ñòèñíåííÿ, ïðîïóùåíà ó ð³âíÿííÿõ (14.69) ³ (14.70).

²ñíóº ð³øåííÿ, ÿêå â îñíîâíîìó â³äïîâ³äຠðàí³øå ñôîðìóëüîâàí³é êðàéîâ³é çàäà÷³. Âèíÿòêîì º ïðèéíÿòòÿ óìîâè, ùî ìîëåêóëÿðíà òåïëîïðîâ³äí³ñòü äóæå ìàëà â ïîð³âíÿíí³ ç òóðáóëåíòíèì ïåðåíîñîì. Ïðèéìàþ÷è, ùî λò =ρðñððε*wx(x)δ0 – äëÿ ïëîñêîãî ñòðóìåíÿ ³ λò =ρðñððε*Rx(x)δ0 – äëÿ ñèìåòðè÷íîãî â³äíîñíî îñ³ ñòðóìåíÿ; δ0 – ïî÷àòêîâå çíà÷åííÿ òîâùèíè ñòðóìåíÿ. Âíàñë³äîê ÷îãî λò = λò(õ)  ÿê äëÿ ñèìåòðè÷íîãî â³äíîñíî îñ³, òàê ³ äëÿ ïëîñêîãî ñòðóìåíÿ.

Óðàõóâàííÿ çàëåæíîñò³ ïîâåðõí³ ñòðóìåíþ â³ä ïîâçäîâæíüî¿ êîîðäèíàòè R = R(x) ïðè çàì³í³ çì³ííèõ ïðèâîäèòü äî ïîÿâè â ð³âíÿíí³ åíåð㳿 äîäàòêîâîãî ÷ëåíó Z(äΘ/äZ), ÿêèé íå âðàõîâóâàâñÿ â ³íøèõ ðîáîòàõ [òóò Z = ξ/R,              Θ=(Òí–Ò)/(Òí–Ò0)]. Íåâðàõóâàííÿ öüîãî äîäàíêó ïðèçâîäèòü äî ðåçóëüòàò³â, ÿê³ â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä á³ëüø ïîâíîãî ð³øåííÿ â ìåæàõ 15...20%.

Ñôîðìóëüîâàíà òàêèì ÷èíîì çàäà÷à ðîçâ’ÿçóºòüñÿ ìåòîäîì ïîäðàçíåíü ïî ìàëîìó ïàðàìåòðó. Ç òî÷í³ñòþ äî ÷ëåí³â ïåðøîãî ïîðÿäêó ïî αg = 2gR0/w02 îòðèìàíî

(14.71)

äå α = qc/(Òí – Ò0), òîáòî êîåô³ö³ºíò òåïëîâ³ääà÷³ â³äíåñåíèé äî ïî÷àòêîâîãî òåìïåðàòóðíîãî íàïîðó; Õ = õ/0; 0 – õàðàêòåðíèé ðîçì³ð δ0 ÷è R0; k = 0 – äëÿ ïëîñêîãî ñòðóìåíÿ; k = 1 – äëÿ ñèìåòðè÷íîãî â³äíîñíî îñ³ ñòðóìåíÿ. Ôóíêö³ÿ Θ(X, Z)  îïèñóºòüñÿ â³äïîâ³äíèì ð³øåííÿì òåî𳿠òåïëîïðîâ³äíîñò³.

гøåííÿ ñïðàâåäëèâå, ÿêùî òîáòî äëÿ ïî÷àòêîâî¿ ä³ëÿíêè ñòðóìåíÿ ÷è äëÿ âåëèêèõ w0.

Çàäà÷à ïðî òåïëîîáì³í ï³ä ÷àñ êîíäåíñàö³¿ ïàðè íà ïëîñêîìó òóðáóëåíòíîìó ñòðóìåí³ ðîçâ’ÿçóâàëàñÿ ç ïðèïóùåííÿì Ïðàíäòëÿ – Ãåðòëåðà, ùî íà ãðàíèö³ ðîçâèâàºòüñÿ òóðáóëåíòíèé øàð çì³øóâàííÿ. Ó çâ'ÿçêó ç îáìåæåí³ñòþ òåî𳿠âèêëèêàþòü ³íòåðåñ åêñïåðèìåíòàëüí³ äàí³.

Ó äîñë³äàõ õîëîäíà âîäà âèò³êàëà ÷åðåç ñîïëà ó âåëèêèé îá’ºì íàñè÷åíî¿ âîäÿíî¿ ïàðè. ijàìåòðè ñîïåë dc áóëè â³äïîâ³äíî 2,18; 3,10 ³ 6,07 ìì; ñ/dc  50. Âèñîòà êîíäåíñàòîðà 60 ìì ä³àìåòð 200 ìì. Ïàðà ð³âíîì³ðíî ïîäàâàëàñÿ çíèçó êîíäåíñàòîðà.

Âèòðàòíà øâèäê³ñòü âèò³êàííÿ âîäè ç ñîïëà çì³íþâàëàñÿ â ä³àïàçîí³ 2,1...11,9 ì/ñ. Òèñê íàñè÷åíî¿ ïàðè â êîíäåíñàòîð³ áóâ ó ìåæàõ 0,147...0,157 ÌÏà. Òåìïåðàòóðà ñòðóìåíÿ íà âõîä³ â êîíäåíñàòîð ñòàíîâèëà 18,8...89°Ñ. Âì³ñò ïîâ³òðÿ â ïàð³ íå ïåðåâèùóâàâ 0,02%. Ó äîñë³äàõ òåìïåðàòóðà ñòðóìåíÿ âèì³ðþâàëàñÿ â òðèíàäöÿòè ïåðåð³çàõ çà äîâæèíîþ ñòðóìåíÿ.

ßêùî ââàæàòè, ùî êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè íå çì³íþºòüñÿ í³ â ïåðåð³ç³, í³ ïî äîâæèí³ ñòðóìåíÿ, òî ÷èñëî Ôóð’º çã³äíî (14.67) ñòàíîâèòü:

à òåìïåðàòóðà â ïåâíîìó ïåðåð³ç³ òðóáè ìîæå îïèñóâàòèñÿ ð³âíÿííÿìè (14.19) ÷è (14.21). Çíàþ÷è Θ|, çà ôîðìóëàìè (14.8) ÷è (14.10) ìîæíà ëåãêî âèçíà÷èòè ÷èñëî Ñòåíòîðà ³ êîåô³ö³ºíò òåïëîâ³ääà÷³ íà ä³ëÿíö³ ñòðóìåíÿ â³ä õ = 0 äî õ = . Ïðè ñòàëîìó êîåô³ö³ºíò³ òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè ÷èñëî St áóäå ôóíêö³ºþ ò³ëüêè â³äíîñíî¿ äîâæèíè ñòðóìåíÿ.

Ðèñ.14.4. Ïîð³âíÿííÿ äîñë³äíèõ ³ ðîçðàõóíêîâèõ äàíèõ ïî òåïëîîáì³íó ïðè êîíäåíñàö³¿ âîäÿíî¿ ïàðè íà òóðáóëåíòíîìó ñòðóìåí³ âîäè: 1 – ε* = 10 ·104; 2 – 5·10–4; 3 – 2,5·10–4; 4 – ëàì³íàðíèé ñòðóì³íü, àð/w0d =10–5

Íà ðèñ.14.4 íàâåäåíî ïîð³âíÿííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ç ðîçðàõóíêîâèìè äëÿ ñîïëà dñ = 2,18 ìì. Êðèâ³ 1...3 îòðèìàí³ çã³äíî ð³âíÿíü (14.19), (14.67) ³ (14.10) ïðè çíà÷åííÿõ ε* гâíèõ, â³äïîâ³äíî10·10–4, 5·10–4 ³ 2,5·10–4. Êðèâà 4 â³äïîâ³äຠòåïëîâ³ääà÷³ ëàì³íàðíîãî íå ïîäðàçíåíîãî ñòðóìåíÿ.

Ç àíàë³çó ðèñ.14.4 ìîæíà çðîáèòè íàñòóïí³ âèñíîâêè. Ïðè ñïðàâåäëèâîñò³ òåîð³¿, âåëè÷èíè ε* çíàõîäèëèñÿ â äîñë³äàõ ïðèáëèçíî â ìåæàõ (2...10)·10–4. Ìîæíà â³äì³òèòè á³ëüø êðóòå ïàä³ííÿ òåïëîâ³ääà÷³ ïî äîâæèí³ ñòðóìåíÿ, í³æ ïî çàëåæíîñò³ äëÿ ïîñò³éíîãî êîåô³ö³ºíòà òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè.

Ó çâ'ÿçêó ç âèêëàäåíèì ó öüîìó ïàðàãðàô³ çàëåæí³ñòü St = (/d) íå âè÷åðïóº âñ³ ôàêòîðè âïëèâó, àëå ó ïåðøîìó íàáëèæåíí³ ïðàâèëüíî ïîçíà÷ຠçàêîíîì³ðíîñò³ ïðîöåñó. Ïðèðîäíî âêëþ÷èòè äî ïåðåë³êó áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ, âàæëèâèõ äëÿ ðîçãëÿäóâàíî¿ çàäà÷³, ÷èñëî Âåáåðà

ÿêå õàðàêòåðèçóº ñï³ââ³äíîøåííÿ äèíàì³÷íîãî íàïîðó ðóõîìî¿ â³äíîñíî ñòðóìåíÿ ïàðè ç ãóñòèíîþ ρï ³ ñèë êàï³ëÿðíîãî òèñêó, ÷è ÷èñëî Âåáåðà ïîáóäîâàíîãî äëÿ ãóñòèíè ð³äèíè ρð. Îñòàííº ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê õàðàêòåðèñòèêó ñï³ââ³äíîøåííÿ åíåð㳿 ïóëüñàö³éíîãî ðóõó ³ ïîâåðõíåâî¿ åíåð㳿 , îñê³ëüêè íàáëèæåíî òóðáóëåíòíèé ìàñøòàá ò ³ ïóëüñàö³éíà ñêëàäîâà w ïðîïîðö³éí³ â³äïîâ³äíî ä³àìåòðó ñîïëà dc ³ øâèäêîñò³ âèò³êàííÿ w0.

Ïðè ðîçãëÿä³ ñòðóìèííî¿ òå÷³¿ íåîáõ³äíî, ùîá áóëî çàäàíå ïîëå îñåðåäíåíèõ øâèäêîñòåé ³ õàðàêòåðèñòèêè òóðáóëåíòíîñò³ íà âèõîä³ ³ç ñîïëà (³çîòåðì³÷íà òå÷³ÿ). Ó âèïàäêó âèò³êàííÿ ç öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà ö³ âåëè÷èíè çàëåæàòü â³ä Re0 ³ c/dc. ßêùî ñîïëî äîñòàòíüî äîâãå, òî äîñòàòíüîþ º çàëåæí³ñòü ò³ëüêè â³ä ÷èñëà Ðåéíîëüäñà Re0, îñê³ëüêè ïðè òóðáóëåíòí³é òå÷³¿ ïî÷àòêîâà ã³äðîäèíàì³÷íà ä³ëÿíêà íåâåëèêà ³ ìຠäîâæèíó ïðèáëèçíî ð³âíó 20d.

Ïåðåë³ê áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ äèêòóºòüñÿ ìàòåìàòè÷íèì ôîðìóëþâàííÿì êðàéîâî¿ çàäà÷³. Ñòîñîâíî ðîçãëÿäóâàíèõ äîñë³äíèõ äàíèõ (íàñè÷åíà ïàðà ïðè àòìîñôåðíîìó òèñêó, ïîì³ðí³ øâèäêîñò³ òå÷³¿, ÿê³ ïåðåâèùóþòü øâèäê³ñòü òå÷³¿ çà ðàõóíîê ñèë òÿæ³ííÿ) ìîæíà âèêîðèñòàòè íàñòóïíó ñèñòåìó áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ:

(14.72)

Íàâåäåìî ðåçóëüòàòè äîñë³ä³â ïî êîíäåíñàö³¿ âîäÿíî¿ ïàðè íà òóðáóëåíòíèõ ñòðóìåíÿõ âîäè. Âì³ñò ïîâ³òðÿ â ïàð³ íà âõîä³ äî äîñë³äíîãî êîíäåíñàòîðó íå ïåðåâèùóº 0,02%. ³äíîñíà äîâæèíà ñîïëà ñ/dc  50, ùî äîçâîëÿº ¿¿ âèêëþ÷èòè ç ïåðåë³êó íåîáõ³äíèõ áåçðîçì³ðíèõ çì³ííèõ. Ïðè îïðàöþâàíí³ äîñë³äíèõ äàíèõ çàëåæí³ñòü (14.72) ïîäàºòüñÿ ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâîãî îäíî÷ëåíà. Ïðè âèçíà÷åíí³ â³äïîâ³äíèõ ñòàëèõ âåëè÷èí âèêîðèñòàíèé ìåòîä ìíîæèííî¿ êîðåëÿö³¿. Ïðè âèáîð³ òåìïåðàòóðè âîäè íà âèõîä³ ç ñîïëà Ò0 ÿê âèçíà÷àëüíî¿ âåëè÷èíè (âèíÿòîê ñêëàäàëè r, σnp, ρn, ÿê³ âèáèðàëèñÿ çà òåìïåðàòóðîþ íàñè÷åííÿ) îòðèìàí³ íàñòóïí³ ð³âíÿííÿ:

(14.73)

(14.74)

ÿêèìè àïðîêñèìóþòüñÿ äîñë³äí³ äàí³ ç ñåðåäíüîþ êâàäðàòè÷íîþ ïîõèáêîþ â³äïîâ³äíî 14 ³ 15,2% â óñ³é îáëàñò³ âèì³ðÿíèõ ïàðàìåòð³â, ÿê³ ñòàíîâèëè:

Ïîð³âíÿëüíèé àíàë³ç òî÷íîñò³ àïðîêñèìàö³¿ äîñë³äíèõ äàíèõ ð³âíÿííÿìè (14.73) ³ (14.74) ïîêàçàâ, ùî ïåðøå ç íèõ äîö³ëüíî çàñòîñîâóâàòè ïðè We ≥ 2,7, à äðóãå ïðè We 2,7. Ö³ ãðàíè÷í³ çíà÷åííÿ ïîâ’ÿçàí³ ç³ ñò³éê³ñòþ öèë³íäðè÷íî¿ ïîâåðõí³ ðîçä³ëó ôàç. Ç òåî𳿠ñò³éêîñò³ ñë³äóº, ùî âåëè÷èíà

(òóò Zid – áåçðîçì³ðíèé ³íêðèìåíò êîëèâàííÿ) õàðàêòåðèçóº â³äñòàíü, íà ÿê³é â³äáóâàºòüñÿ ñóòòºâå çá³ëüøåííÿ àìïë³òóäè êîëèâàíü ïîâåðõí³, ìຠìàêñèìóì ïðè We 2. Ïðè ìàëèõ çíà÷åííÿõ ÷èñëà We òóðáóëåíòíèé ìàñøòàá îêàçóºòüñÿ ñóòòºâî ìåíøèì äîâæèíè õâèë³ íàéá³ëüø øâèäêîçðîñòàþ÷èõ ïîäðàçíåíü, ÿê³ â³äïîâ³äàþòü çà ïîâåðõíåâèé ðîçïàä.

Ðèñ.14.5. Òåïëîâ³ääà÷à ïðè êîíäåíñàö³¿ âîäÿíî¿ ïàðè íà ñóïóòíüîìó òóðáóëåíòíîìó ñòðóìåí³ âîäè

Äîñë³äè âèêîíàí³ ïðè ñóïóòíüîìó ðóñ³ íàñè÷åíî¿ âîäÿíî¿ ïàðè ç òèñêîì 0,196...0,245 ÌÏà ³ òóðáóëåíòíîãî ñòðóìåíÿ âîäè, ùî âèò³êàëà ç öèë³íäðè÷íîãî ñîïëà çâåðõó âíèç ïðè We = 2,7...7,4 (ðèñ.14.5). Àïðîêñèìàö³ÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ïðèâîäèòü äî ðîçðàõóíêîâî¿ çàëåæíîñò³:

(14.75)

Ôîðìóëà (14.75) îòðèìàíà ïðè

Ïðè ìàëèõ /dc òåïëîâ³ääà÷à ðîçðàõîâàíà çà ôîðìóëîþ (14.75) òðîõè âèùà, í³æ ïî (14.73). Ïðè âåëèêèõ çíà÷åííÿõ /dc ñóòòºâî¿ ð³çíèö³ íå ñïîñòåð³ãàºòüñÿ. Ô³çè÷í³ ïàðàìåòðè â ð³âíÿíí³ (14.75) âèáèðàëèñÿ àíàëîã³÷íî ôîðìóë³ (14.73).