Тепловий баланс струменя

Розділ 14. ТЕПЛООБМІН ПРИ КОНДЕНСАЦІЇ ПАРИ НА СТРУМЕНІ РІДИНИ

14.1. Тепловий баланс струменя

Під час технічних розрахунків необхідно визначити серєдньомасову температуру в заданому перерізі струменя і кількість переданої теплоти на розрахунковій ділянці. Усі ці величини взаємозв’язані між собою.

При конденсації насиченої пари на ділянці струменя від х = 0 до х = ℓ рівняння теплового балансу можна записати в наступному виді:

(14.1)

де G_nℓ – витрати сконденсованої пари на ділянці від х = 0 до х = ℓ; G_p – початкові витрати рідини; Т₀ і Тℓ – середні в перерізі температури рідини відповідно при х = 0 і х = ℓ .

Максимально можливі витрати сконденсованої пари G_n визначаються з (14.1) після підстановки Т = Т_н:

(14.2)

З рівнянь (14.1) і (14.2) виявляється зв’язок між відносною кількістю пари, яка сконденсувалася на ділянці ℓ і відносним нагріванням струменя (Тℓ– Т₀)/(Т_н– Т₀):

(14.3)

де

За умови незначних недогрівів струменя до температури насичення і великих К можна вважати, що

(14.4)

Значення середнього за довжиною коефіцієнта тепловіддачі зручно визначити за допомогою балансового співвідношення

(14.5)

де Q – тепловий потік, необхідний для нагрівання холодної рідини від температури Т₀ до Тℓ.

Струменя не залишається незмінною вздовж течії. Її зміна може бути обумовлена прискоренням чи сповільненням струменя, хвиле утворенням, зривом крапель. У розрахунках зручно використовувати умовну поверхню струменя, яка визначається розміром сопла. Для циліндричного сопла умовна розрахункова поверхня буде F = πdℓ, де d – діаметр сопла. Введення до розрахунку умовної поверхні струменя надає і коефіцієнту тепловіддачі умовний, розрахунковий характер.

Прості рішення показують, що середня за перерізом температура струменя змінюється вздовж потоку за експоненціальним законом. Ця обставина у розглядуваних умовах приводить до того, що середньо інтегральний температурний напір на розрахунковій ділянці може визначатися як середньологарифмічний:

(14.6)

З рівнянь (14.3), (14.5) і (14.6) з урахуванням того, що

слідує

(14.7)

Записуючи це рівняння в безрозмірному вигляді, отримаємо:

(14.8)

У цьому рівнянні

Введемо позначення

де Θ – відносний нагрів струменя. Використавши ці позначення, рівняння (14.8) можна переписати в наступному виді:

(14.9)

Якщо недогрів до температури насичення (1 – Θ) не дуже великий і К>>1, то

14.2. Ламінарний струмінь

Теплообмін при конденсації пари на ламінарному струмені рідини тієї ж природи розглядався С.С.Кутателадзе. Наведемо це рішення з деякими змінами.

Вважаючи, що струмінь рідини з початковою температурою Т₀ і швидкістю w₀ витікає з круглого отвору радіусом R₀ у простір, заповнений насиченою парою тієї ж рідини з температурою Т_н. Діаметр сопла малий у порівнянні з довжиною струменя, остання зберігає циліндричну форму поперечного перерізу на всій довжині течії. Тертям на міжфазній поверхні нехтуємо. У названих умовах радіальна складова градієнта температури повинна бути набагато більшою осьової. Зміну швидкості по радіусу не враховуємо.

У відповідності з прийнятими умовами температурне поле описується рівнянням:

(14.11)

де J = Т_н – Т – надлишкова температура рідини; ξ – поточний радіус.

З визначення швидкості слідує, що

dx = w_xdτ. (14.12)

Зміною швидкості w_x, яка згідно прийнятих умов приймається як середня за перерізом струменя, можна знехтувати, якщо початкова швидкість струменя достатньо велика. У цьому випадку сили тяжіння не змінюють суттєво величину w_x і вона на всій протяжності течії практично дорівнює w₀.

З використанням рівняння (14.12), залежність (14.11) можна записати так:

(14.13)

Рівняння теплопровідності (14.13) нелінійне, якщо коефіцієнт температуропровідності змінюється по довжині струменя, тобто а = а(τ).

Позначивши

dτ_a = а(τ)dτ, (14.14)

тоді

(14.15)

Внаслідок цього рівняння (14.13) перетворюється до вигляду:

(14.16)

Запишемо це рівняння у безрозмірному вигляді, для чого введемо змінні

Отримаємо:

(14.17)

Це рівняння можна розв’язати методом розділом змінних. Рішення маємо у вигляді добутку двох функцій:

Θ = φ(Fo)ψ(Ξ).

Звідси слідує, що

Підставимо ці значення похідних в (14.17) і отримаємо два звичайних диференціальних рівняння

рішення яких відповідно буде:

де J₀ – функція Бесселя першого роду нульового порядку від аргументу εΞ; Y₀ – функція Бесселя другого роду нульового порядку від того ж аргументу.

При εΞ → 0 маємо Y₀ → ∞. Тому що температура на осі струменя не може бути безкінечно великою, то необхідно вважати, що А₃ = 0. Тоді

і частинне рішення рівняння теплопровідності (14.17) набуває вигляду:

Сталі величини А і ε визначаються відповідно з початкової і граничної умов. При Ξ = 1 Θ = 0 і з останнього виразу виходить характеристичне рівняння

J₀(ε) = 0.

Функція J₀(ε) має безмежну множину корнів:

Отже, маємо безмежну множину частинних рішень:

З початкової умови Θ(0, Ξ) = 1 слідує, що

У цьому випадку

де J₁ – функція Бесселя першого роду першого порядку.

Рішення для температурного поля в струмені буде:

(14.18)

Рівняння (14.18) отримано при граничній умові першого роду, згідно з яким при всіх х > 0 (τ >0) на поверхні струменя підтримується постійна температура Т_н (чи Θ = 0). Ця умова відповідає нехтуванню міжфазним термічним опором.

При технічних розрахунках певний інтерес представляє середня в даному поперечному перерізі температура струменя. Середня температура на ділянці від Ξ = 0 до Ξ у перерізі, що визначається координатою х = ℓ:

Інтегруючи цей вираз по всьому перерізу, тобто від Ξ = 0 до Ξ= 1, отримаємо:

(14.19)

де Т_ℓ – середньомасова температура струменя у перерізі х = _ℓ.

Для ламінарного струменя при а = const і w_x = w₀ = const число Фур’є можна представити наступним чином:

(14.20)

де Ре = w₀d/a; d = 2R₀.

Використовуючи (14.8) у формі

можна легко перейти від середньої у даному перерізі х = _ℓ температури струменя до середньої тепловіддачі на ділянці х О (0, _ℓ).

З наближеного теоретичного рішення, представленого формулою (14.19), виходить, що

Враховуючи рівняння (14.8), отримаємо:

Постановка задачі, яка відповідає формулі (14.19), вважає, що повздовжня складова швидкості w_x не змінюється ні за перерізом, ні за довжиною струменя і дорівнює початковій швидкості витікання w₀. У дійсності сопло має кінцеву довжину і потік проходить часткову стабілізацію. На виході із сопла динамічні граничні умови змінюються, що повинно привести до зміни розподілу струменя по перерізу струменя. Крім цього, при малих швидкостях витікання може впливати прискорення струменя під дією сили тяжіння.

Зміна розподілу швидкості повинна привести до появи в рідині в’язких сил навіть без помітної взаємодії струменя з парою. Перелік безрозмірних змінних необхідно доповнити числом Рейнольдса Re = w₀d/ν_p і відносною довжиною сопла L_c = ℓ_c/d. Комбінуючи відповідним чином змінні, рівняння подібності можна записати в наступному виді:

У більш загальному випадку необхідно також враховувати змінність фізичних параметрів і капілярної сили.

Були проведені досліди на воді з початковою температурою Т₀ = 293...302 К, яка витікала з циліндричного сопла діаметром d = 6 мм в насичену водяну пару з Т_н ≈ 388 К. Середньомасова швидкість води на виході із сопла становила 0,115...0,257 м/с, цій швидкості відповідали числа Рейнольдса Re = w₀d/ν_p = = 706...1544. Числа К і Pr_р в дослідах майже не змінювалися і були відповідно рівними 5,5...6,1 і 5,5...7,0. Досліди виконувалися при витіканні води з круглого сопла зі згладженою вхідною кромкою і довжиною 3 мм (умовно L_c₁= ℓ_c/d = 0,5) і циліндричного сопла L_c₂ = 50.

Рис.14.1. Порівняння дослідних даних з розрахунком за формулою (14.19). Вода і водяна пара, сопло

6 мм, ℓ_с/d = 0,5; 1 – a_p/w₀d = 2·10^–4; 2 – 10^–4;

? – Re = 946; r – 1058; s– 1199;£ – 1349; Î – 1498; È – 1516;� – 1544

На рис.14.1 наводиться співставлення розрахунків за формулою (14.8) і (14.19) з дослідними даними отриманими на соплі L_c₁. Розрахункова крива 1 відповідає максимальному значенню параметра a_p/w₀d, яке мало місце в дослідах і рівному 2·10^–4, крива 2 – мінімальному і рівному 10^–4.

При загальній відповідності дослідних і розрахункових значень середніх чисел Стентора різниця між ними все ж таки велика, особливо при малих і великих відносних довжинах струменя L= ℓ/d. Дослідні точки систематично розшаровуються за числами Рейнольдса: чим більше Re, тим менше середнє значення St при інших рівних умовах. Аналіз залежності при різних фіксованих довжинах струменя L і сопел L_c₁ показує, що

З урахуванням цього на рис.14.2 дослідні дані наведені у вигляді залежності При L= ℓ/d = 4,5...12 дослідні дані можна апроксимувати залежністю:

(14.21)

де а = 0,24 для сопла L_c₁; а = 0,185 для сопла L_c₂.

При опрацюванні дослідних даних у безрозмірних змінних фізичні параметри рідини, які входять у рівняння (14.21), вибираються за Т₀; виключення стосується теплоти фазового переходу, що вибирається за Т_н.

Рис.14.2. Тепловіддача при конденсації насиченої водяної пари на ламінарному струмені води при d = 6 мм: – L_c₁; ™ – L_c₂

Як слідує з рис.14.2, величина L_c достатньо помітно впливає на інтенсивність теплообміну. Довге сопло призводить до зменшення тепловіддачі приблизно на 30% у порівнянні з коротким.

У наведеному теоретичному рішенні не враховується міжфазна взаємодія на границі рідини з парою. Розглянемо задачу з урахуванням цього ефекту на прикладі ламінарного плоского струменя з рівномірним початковим розподілом швидкості і температури, рівних відповідно w₀ і Т₀. Струмінь витікає в простір з нерухомою насиченою парою з температурою Т_н. Внаслідок притоку маси конденсату рідина загальмовується і поверхня розділу фаз трохи відхиляється від площини у = 0 і набуває положення у₁(х) (рис.14.3).

Рис.14.3. До постановки задачі про конденсацію пари на плоскому ламінарному струмені рідини

Напруга тертя на міжфазній границі у₁(х) приймається у припущенні існування з боку парової фази певного асиметричного пограничного шару з рівномірним відсмоктуванням. У цьому випадку рівняння збереження кількості руху у проекції на площину xz згідно § 11.1 може бути записане у наступному виді:

(14.22)

де w_x – нормальна до поверхні у₁(х) складова швидкості рідини; dω – елемент поверхні у₁(х). На поверхні розриву припускається рівність дотичних складових пари і рідини. На безмежній відстані від струменя повздовжня швидкість пари дорівнює нулю, тобто пограничний шар у парі утворюється внаслідок його затягування рухомим струменем.

Умови теплової взаємодії задавалися без урахування міжфазного термічного опору, тобто вважалася рівність температур пари і рідини на поверхні розриву у₁(х). Тепловий потік на цій поверхні обумовлений тільки виділенням теплоти фазового переходу.

При прийнятих умовах математичне формулювання задачі для рідини в наближенні пограничного шару буде таким:

(14.23)

(14.24)

(14.25)

(14.26)

(14.27)

(14.28)

(14.29)

(14.30)

(14.31)

де J = Т_н – Т.

Введемо функції току, які задовольняють рівняння нерозривності потоку (14.24), у наступній формі:

і змінні величини

тоді задачу в частинних похідних (14.23)...(14.31) можна привести до системи звичайних диференціальних рівнянь з крайовими умовами:

(14.32)

(14.33)

(14.34)

(14.35)

(14.36)

(14.37)

(14.38)

(14.39)

де К = r/c_pJ₀; значення η = η₁ відповідає між фазній поверхні у₁.

Поле швидкостей у нових змінних виражається співвідношеннями:

Математичний опис задачі містить додатковий параметр К, який в практично важливих випадках конденсації водяної пари має велике значення, тобто 1/К << 1. У зв'язку з цим рішення шукається у вигляді асимптотичного ряду за степенями малого параметра N=1/К. Обмежимося в першому наближенні двома членами цього ряду, тоді отримаємо:

(14.40)

Наступні розрахунки зводяться до підстановки (14.40) у рівняння (14.32)...(14.39) і до порівняння коефіцієнтів при однакових степенях א. Оскільки граничні умови записані для трохи деформованої фазової границі η₁, то перенесення цих умов на не подразнену границю здійснюється шляхом розкладання функцій в ряди Тейлора.

Названі операції приводять до простих крайових задач для основних (не подразнених) членів асимптотичних послідовностей f₀і g₀:

з рішеннями

(14.41)

Перше з них відповідає не подразненому паралельному потоку рідини, друге – рішення задачі теплопровідності при прогріванні наполовину обмеженого масиву при заміні часу прогрівання на τ = х/w₀.

Для подразнень першого порядку f₁ і g₁ з урахуванням (14.41) після простих перетворень маємо:

з рішеннями

(14.42)

(14.43)

(14.44)

де g′₁(0) – безрозмірний градієнт температурних подразнень першого порядку, який виражається співвідношеннями:

(14.45)

(14.46)

Функції і^пerfc x зведені в таблиці і означають п-кратне інтегрування:

Використовуючи рівняння (14.41) і (14.42)...(14.46), випишемо основні результати отриманих рішень:

(14.47)

(14.48)

(14.49)

(14.50)

де g₁(η) визначається за співвідношеннями (14.45) і (14.46).

Очевидно, отримані результати справедливі, якщо одночасно малі параметри א і א/Pr^0,5.

Інтенсивність теплообміну на поверхні струменя можна характеризувати місцевим коефіцієнтом тепловіддачі α_х:

чи у безрозмірному виді з точністю до величини порядку N²:

Після підстановки g′₀(0) і g′₁(0) у формули (14.41), (14.45) і (14.46) отримаємо:

(14.51)

Величина

відповідає рішенню задачі про теплопровідність наполовину обмеженого масиву при задані на його поверхні постійної надлишкової температури J₀ (тобто розв’язку “не подразненої” задачі).

Розраховані по формулі (14.46) значення функції φ(Pr) наступні:

Pr 0 1 2 4 6 8 10

φ(Pr) 1,27 0,95 0,88 0,84 0,80 0,78 0,77

Як видно з формули (14.51), урахування подразнень, які вносяться процесом конденсації, призводить до зменшення інтенсивності теплообміну, але це зменшення порівнянно невелике. Зменшення обумовлене надходженням маси конденсату і гальмуванням рідини внаслідок динамічної взаємодії фаз.

Граничний випадок Pr → ∞ можна тлумачити як процес конденсації на струмені дуже в’язкої рідини, коли гідродинамічні подразнення дуже малі і зменшення тепловіддачі обумовлене тільки додатковим термічним опором шару осаджуваного конденсату. Цей же результат відповідає конденсації супутнього потоку пари при рівності швидкостей пари і струменя рідини.

14.3. Турбулентний струмінь

Для визначення теплообміну турбулентного струменя вирішальним є знання переносних властивостей останньої. Турбулентні характеристики в основному вивчені стосовно струменів з течією без поверхневих розривів. Гідродинаміка турбулентних струменів з поверхнею розриву вивчена ще недостатньо, що безумовно проявляється при дослідженні теплообміну. Використання співвідношень для однорідних середовищ часто є неминучими, але не завжди переконливими, якщо мова йде про струмені з фазовою границею. Одне із головних питань, яке вимагає пояснень, є зв’язок турбулентних переносних властивостей струменя з турбулентними подразненнями міжфазної границі, які в свою чергу пов’язані з її капілярними силами.

Якщо виходити з відсутності міжфазного тертя і особливостей витікання з сопла, то можна вважати, що швидкість і переносні турбулентні коефіцієнти незмінні за перерізом струменя. Позбавлення в’язкої області на зовнішній границі потоку досягається потужним механізмом турбулентності, який має місце на границі в’язкого підшару з турбулентним ядром у випадку омивання твердої стінки. При такому підході ігнорується вплив капілярності.

Витікання струменя з поверхнею розриву може відбуватися при різних умовах. Струмінь може витікати з довгих циліндричних каналів з характеристиками, які притаманні турбулентному руху рідини в трубі, витікання може відбуватися з не подразненого об’єму крізь отвір в тонкій стінці. У залежності від умов витікання розвиток турбулентності по довжині струменя може бути різним. Ця зміна може бути різною в залежності від особливостей міжфазної взаємодії.

Оцінку коефіцієнта турбулентного переносу теплоти біля поверхневого шару струменя виконані А.П.Солодовим. Розглянемо основні отримані ним результати.

Енергія турбулентних пульсацій визначається рівнянням:

(14.52)

де w′_x, w′_у, w′_z, – пульсаційні складові швидкості.

Згідно Прандтля зміна турбулентної енергії для плоского потоку визначається з рівняння:

(14.53)

Перший доданок правої частини рівняння визначає затухання (дисипацію) турбулентної енергії, другий – відтворення турбулентності (робота осередненого руху проти турбулентної напруги) і третій – градієнтну дифузію турбулентної енергії.

Для сталих c, k, k₁ рекомендуються відповідні значення: 0,18; 0,56; 0,38. Величина ℓ_т – масштаб турбулентності, пропорційний довжині змішування. Кінематичний коефіцієнт турбулентного переносу кількості руху (кінематичний коефіцієнт турбулентної в’язкості) визначається у цій моделі як

(14.54)

Можна вважати, що при певних умовах хвильові подразнення міжфазної поверхні, які відповідають турбулентному руху в струмені, приводять до збільшення динамічної взаємодії фаз внаслідок чого до збільшення рівня турбулентності. На відміну від течії біля твердої поверхні, коли ℓ_т вважається рівним нулю на стінці, при струминній течії біля поверхні розділу фаз ℓ_т відмінне від нуля і залежить від поверхневого натягу рідини.

Вважаючи величину ℓ_т біля поверхні рідини рівною чи пропорційною амплітуді хвильового руху h, а в ядрі струменя – пропорційній діаметру струменя, як це прийнято для вільних струменів без поверхні розриву. Тоді для шару біля поверхні згідно (14.54) отримаємо:

(14.55)

де Pr_т = ε_s/ε_q – турбулентне число Прандтля, яке на віддалі від стінки близьке до одиниці.

Припущення про сталість ℓ_т в ядрі струменя повинно порушуватися, якщо величина амплітуди h порядку діаметра струменя d. У цьому випадку повинно мати місце повне руйнування струменя, яке приводить до її повного диспергування. Теплообмін диспергованого струменя підпорядковується іншим закономірностям.

У відповідності з (14.55) кінематичний коефіцієнт турбулентного переносу теплоти може змінюватися вздовж потоку, якщо змінюються визначальні його величини. Розглянемо розвиток поверхневої турбулентності вздовж струменя, вважаючи, що дія парової фази на профіль хвилі пропорційна динамічному напору і не залежить від конфігурації виступу. Сила опору, яка приходиться на одну турбулентну комірку, пропорційна величині

де w – відносна швидкість струменя; ℓ_тh – міделевий переріз виступу.

Тому що концентрація комірок на поверхні струменя з розрахунку на одиницю її довжини пропорційна d/F, то сила опору на одиницю довжини пропорційна

Тоді робота хвильового опору W_хв за одиницю часу, віднесена до одиниці довжини струменя, становить:

Ця робота у розглядуваній моделі йде на збільшення енергії турбулентного руху. В розрахунку на одиницю маси рідини збільшення турбулентної енергії складає величину порядку

У цьому разі баланс енергії турбулентного руху (14.53) можна записати

(14.56)

де const величина порядку одиниці.

Оцінимо величину h/ℓ_т. Енергетичні дані дозволяють виявити зв’язок між характеристиками турбулентності і амплітуди h відхилення поверхні від центрального положення. Доки не відбувається відрив крапель, кінетична енергія комірки ρ_рℓ³_тЕ дорівнює по порядку збільшення поверхневої енергії σ_прF, де F – збільшення поверхні розділу фаз. Величину F можна оцінити наступним чином. При малих амплітудах, доки об’єм виступу менший об’єму турбулентної комірки ℓ³_т, F ~ hℓ_m.

При більших відхиленнях, коли об’єм виступу відповідає об’єму турбулентної комірки, отримуємо ℓ³_т ~ ha² і F ~ ha, де а – розмір основи викиду. Тоді при h ≤ ℓ_т ρ_рℓ³_тЕ ~ σhℓ_m; при h > ℓ_т ρ_рℓ³_тЕ ~ σha.

Ототожнюючи ℓ_т з довжиною відповідних поверхневих подразнень, отримуємо для відношення амплітуди до довжини хвилі наступні оцінки: при при .

Зроблена оцінка справедлива при умові, що ρ_п << ρ_p.

У першому наближенні будемо вважати, що характеристики турбулентного переносу не змінюються за перерізом струменя і визначаються значеннями, які відповідають шару біля поверхні рідини.

Вважаємо, що в рівнянні (14.56)

Згідно Нікурадзе с_ℓ = 0,07; коефіцієнт с_h має значення порядку одиниці.

Введемо τ = х/w, отримаємо з (14.56)

(14.57)

Початковою умовою для диференціального рівняння (14.57) є Е(х=0) = Е₀, де Е₀визначається умовами течії у соплі.

Введемо безрозмірні змінні

Рівняння балансу енергії турбулентного руху (14.57) можна тоді записати у наступному виді:

(14.58)

Початкова умова: Е̃(0) = 1. У рівнянні (14.58)

(14.59)

де початкова ступінь турбулізації . (14.60)

Розв’язком рівняння (14.58) буде: (14.61)

З останнього рівняння слідує, що відносна величина енергії турбулентного руху збільшується при А > 1 і зменшується при A < 1, прямуючи до асимптотичного значення Е̃_∞= А.

Згідно виразу (14.55) можна ввести наступні співвідношення:

Аналогічно з (14.20) для турбулентного струменя число Фруда можна представити наступним чином:

(14.62)

Вважаючи, що , тоді можна написати

(14.63)

Тому що Е̃ = Е̃(Х, А), де , то

Тоді число Фур’є становитиме:

(14.64)

де і

Множник , який входить у формулу (14.64), враховуючи раніше прийняті позначення і визначення можна навести наступним чином:

Сталі величини, які входять у це рівняння визначаються дослідним шляхом. Відмітимо, що коефіцієнт В пропорційний квадрату початкового ступеня турбулентності Е₀/w², числу Вебера We = ρ_nw²d/σ і відношенню густин рідкої і парової фаз.

Величина початкового ступеня турбулентності повинна залежати від гідродинамічних і геометричних параметрів сопла. Так для циліндричного сопла

(14.65)

де Re₀ = w₀d_c/ν_p₀ – число Рейнольдса для сопла; ℓ_с/d_с – відносна довжина сопла.

Вважаючи, що поле осередненої швидкості однорідне за радіусом струменя, задачу про теплообмін можна звести до розв’язку диференціального рівняння

(14.66)

при граничних умовах:

Тут див. також § 14.2.

Довжину змішування, а значить і ε_q необхідно розрізняти біля поверхні струменя і на його осі. У першому наближенні вважаємо, що а_е є постійною величиною в даному перерізі, а ε_q дорівнює його значенню біля поверхні. Як показано в § 14.2, у випадку сталості а_е у перерізі струменя відносний підігрів можна розраховувати за рівнянням (14.19)

де Т_н – температура насиченої пари; Т₀ і Т_ℓ – відповідно початкова і середня в перерізі х = ℓ температура рідини.

Число Фур’є у наведеній формулі визначається за рівнянням (4.42). Якщо ε_q – постійна величина, що не змінюється ні в перерізі, ні по довжині труби, то

(14.67)

де згідно С.С.Кутателадзе ε_* = 5·10^–4 .

При цьому еквівалентний коефіцієнт температуропровідності вважається рівним

а_е = а + ε_*w_xR_x, (14.68)

де w = w_x(x) і R_x = R_x(x). Зміна w_x і R_x вздовж струменя вважається обумовленою тільки прискоренням струменя, приєднана маса не враховується.

Рівняння руху для вільно падаючого струменя за прийнятих в § 14.2 умовах записується в наступному виді:

Інтегруючи з урахуванням граничної умови w_x(0) = w₀ і умови нерозривності

отримаємо вирази для локальної швидкості і локального радіусу циліндричного струменя, який вільно падає:

(14.69)

(14.70)

При витіканні рідини з отворів у тонкій стінці має місце стиснення потоку. Ця обставина, яка повинна враховуватися коефіцієнтом стиснення, пропущена у рівняннях (14.69) і (14.70).

Існує рішення, яке в основному відповідає раніше сформульованій крайовій задачі. Винятком є прийняття умови, що молекулярна теплопровідність дуже мала в порівнянні з турбулентним переносом. Приймаючи, що λ_т =ρ_рс_ррε_*w_x(x)δ₀ – для плоского струменя і λ_т =ρ_рс_ррε_*R_x(x)δ₀ – для симетричного відносно осі струменя; δ₀ – початкове значення товщини струменя. Внаслідок чого λ_т = λ_т(х) як для симетричного відносно осі, так і для плоского струменя.

Урахування залежності поверхні струменю від повздовжньої координати R = R(x) при заміні змінних приводить до появи в рівнянні енергії додаткового члену Z(дΘ/дZ), який не враховувався в інших роботах [тут Z = ξ/R, Θ=(Т_н–Т)/(Т_н–Т₀)]. Неврахування цього доданку призводить до результатів, які відрізняються від більш повного рішення в межах 15...20%.

Сформульована таким чином задача розв’язується методом подразнень по малому параметру. З точністю до членів першого порядку по α_g = 2gR₀/w₀² отримано

(14.71)

де α = q_c/(Т_н – Т₀), тобто коефіцієнт тепловіддачі віднесений до початкового температурного напору; Х = х/ℓ₀; ℓ₀ – характерний розмір δ₀ чи R₀; k = 0 – для плоского струменя; k = 1 – для симетричного відносно осі струменя. Функція Θ(X, Z) описується відповідним рішенням теорії теплопровідності.

Рішення справедливе, якщо тобто для початкової ділянки струменя чи для великих w₀.

Задача про теплообмін під час конденсації пари на плоскому турбулентному струмені розв’язувалася з припущенням Прандтля – Гертлера, що на границі розвивається турбулентний шар змішування. У зв'язку з обмеженістю теорії викликають інтерес експериментальні дані.

У дослідах холодна вода витікала через сопла у великий об’єм насиченої водяної пари. Діаметри сопел d_c були відповідно 2,18; 3,10 і 6,07 мм; ℓ_с/d_c ≥ 50. Висота конденсатора 60 мм діаметр 200 мм. Пара рівномірно подавалася знизу конденсатора.

Витратна швидкість витікання води з сопла змінювалася в діапазоні 2,1...11,9 м/с. Тиск насиченої пари в конденсаторі був у межах 0,147...0,157 МПа. Температура струменя на вході в конденсатор становила 18,8...89°С. Вміст повітря в парі не перевищував 0,02%. У дослідах температура струменя вимірювалася в тринадцяти перерізах за довжиною струменя.

Якщо вважати, що коефіцієнт турбулентного переносу теплоти не змінюється ні в перерізі, ні по довжині струменя, то число Фур’є згідно (14.67) становить:

а температура в певному перерізі труби може описуватися рівняннями (14.19) чи (14.21). Знаючи Θ|_ℓ, за формулами (14.8) чи (14.10) можна легко визначити число Стентора і коефіцієнт тепловіддачі на ділянці струменя від х = 0 до х = ℓ. При сталому коефіцієнті турбулентного переносу теплоти число St буде функцією тільки відносної довжини струменя.

Рис.14.4. Порівняння дослідних і розрахункових даних по теплообміну при конденсації водяної пари на турбулентному струмені води: 1 – ε_* = 10 ·10^–⁴; 2 – 5·10^–4; 3 – 2,5·10^–4; 4 – ламінарний струмінь, а_р/w₀d =10^–5

На рис.14.4 наведено порівняння дослідних даних з розрахунковими для сопла d_с = 2,18 мм. Криві 1...3 отримані згідно рівнянь (14.19), (14.67) і (14.10) при значеннях ε_* Рівних, відповідно10·10^–4, 5·10^–4 і 2,5·10^–4. Крива 4 відповідає тепловіддачі ламінарного не подразненого струменя.

З аналізу рис.14.4 можна зробити наступні висновки. При справедливості теорії, величини ε_* знаходилися в дослідах приблизно в межах (2...10)·10^–4. Можна відмітити більш круте падіння тепловіддачі по довжині струменя, ніж по залежності для постійного коефіцієнта турбулентного переносу теплоти.

У зв'язку з викладеним у цьому параграфі залежність St = (ℓ/d) не вичерпує всі фактори впливу, але у першому наближенні правильно позначає закономірності процесу. Природно включити до переліку безрозмірних змінних, важливих для розглядуваної задачі, число Вебера

яке характеризує співвідношення динамічного напору рухомої відносно струменя пари з густиною ρ_п і сил капілярного тиску, чи число Вебера побудованого для густини рідини ρ_р. Останнє можна тлумачити як характеристику співвідношення енергії пульсаційного руху і поверхневої енергії , оскільки наближено турбулентний масштаб ℓ_т і пульсаційна складова w′ пропорційні відповідно діаметру сопла d_c і швидкості витікання w₀.

При розгляді струминної течії необхідно, щоб було задане поле осереднених швидкостей і характеристики турбулентності на виході із сопла (ізотермічна течія). У випадку витікання з циліндричного сопла ці величини залежать від Re₀ і ℓ_c/d_c. Якщо сопло достатньо довге, то достатньою є залежність тільки від числа Рейнольдса Re₀, оскільки при турбулентній течії початкова гідродинамічна ділянка невелика і має довжину приблизно рівну 20d.

Перелік безрозмірних змінних диктується математичним формулюванням крайової задачі. Стосовно розглядуваних дослідних даних (насичена пара при атмосферному тиску, помірні швидкості течії, які перевищують швидкість течії за рахунок сил тяжіння) можна використати наступну систему безрозмірних змінних:

(14.72)

Наведемо результати дослідів по конденсації водяної пари на турбулентних струменях води. Вміст повітря в парі на вході до дослідного конденсатору не перевищує 0,02%. Відносна довжина сопла ℓ_с/d_c ≥ 50, що дозволяє її виключити з переліку необхідних безрозмірних змінних. При опрацюванні дослідних даних залежність (14.72) подається у вигляді степеневого одночлена. При визначенні відповідних сталих величин використаний метод множинної кореляції. При виборі температури води на виході з сопла Т₀ як визначальної величини (виняток складали r, σ_np, ρ_n, які вибиралися за температурою насичення) отримані наступні рівняння:

(14.73)

(14.74)

якими апроксимуються дослідні дані з середньою квадратичною похибкою відповідно 14 і 15,2% в усій області виміряних параметрів, які становили:

Порівняльний аналіз точності апроксимації дослідних даних рівняннями (14.73) і (14.74) показав, що перше з них доцільно застосовувати при We ≥ 2,7, а друге при We ≤2,7. Ці граничні значення пов’язані зі стійкістю циліндричної поверхні розділу фаз. З теорії стійкості слідує, що величина

(тут Z_id – безрозмірний інкримент коливання) характеризує відстань, на якій відбувається суттєве збільшення амплітуди коливань поверхні, має максимум при We ≈ 2. При малих значеннях числа We турбулентний масштаб оказується суттєво меншим довжини хвилі найбільш швидкозростаючих подразнень, які відповідають за поверхневий розпад.

Рис.14.5. Тепловіддача при конденсації водяної пари на супутньому турбулентному струмені води

Досліди виконані при супутньому русі насиченої водяної пари з тиском 0,196...0,245 МПа і турбулентного струменя води, що витікала з циліндричного сопла зверху вниз при We = 2,7...7,4 (рис.14.5). Апроксимація дослідних даних приводить до розрахункової залежності:

(14.75)

Формула (14.75) отримана при

При малих ℓ/d_c тепловіддача розрахована за формулою (14.75) трохи вища, ніж по (14.73). При великих значеннях ℓ/d_c суттєвої різниці не спостерігається. Фізичні параметри в рівнянні (14.75) вибиралися аналогічно формулі (14.73).