(2.14)

(2.15)

2.3. Температурне поле в тілі з теплопровідністю, яка залежить від температури, і з постійно діючим внутрішнім джерелом теплоти, питома потужність якого – довільна функція координати

У цьому випадку загальний розв’язок диференціального рівняння теплопровідності (2.5) записується в наступному вигляді:

(2.16)

Якщо теплопровідність – функція температури виду

(2.17)

де λ₀ – теплопровідність при t = 0 °С; а, b, c – дослідні сталі, а тепловіддача на поверхні визначається граничними умовами І роду. Тоді загальний розв’язок (2.16) можна записати так:

(2.18)

де

Сталі інтегрування в (2.18) визначаються з граничних умов

ζ = ζ₁ і t = t_cт1; ζ = ζ₂ і і t = t_cт2. (2.20)

Пропускаючи нескладні проміжні викладки, отримаємо в підсумку

(2.21)

Після диференціювання по ζ формули (2.21) і підставляючи далі похідну в узагальнюючий закон Фур’є:

(2.22)

отримаємо

(2.23)

Для більш складних граничних умов роздільне визначення сталих інтегрування С₁ і С₂ в загальному розв’язку (2.16) дуже ємне і з цієї причини отримати в явному вигляді формули типу (2.21) і (2.23) не удається. Введемо до розгляду перетворення Кірхгофа, яке визначається формулою

(2.24)

де λ_сер – середнє значення теплопровідності; и – змінна, яка залежить від температури.

Для граничних умовах І роду можна (2.24) інтегрувати, внаслідок чого отримаємо:

(2.25)

Далі, з урахуванням (2.24) початкову функцію (2.16) можна записати так:

(2.26)

Розв’язок (2.26) при граничних умовах І роду визначається формулою (2.12) при α₁→ ∞ α₂→ ∞  і з заміною в ній λ на λ_сер, тобто

(2.27)

Після диференціювання (2.27) по ζ і приймаючи до уваги, що перетворення Кірхгофа (2.24) тотожне густині теплового потоку, взятого зі зворотним знаком, отримаємо

(2.28)

де А визначається згідно (2.9) з заміною λ на λ_сер.

Формула (2.28) дозволяє розраховувати густину теплового потоку практично при любій заданій залежності коефіцієнта теплопровідності від температури, тому що величина середньої теплопровідності λ_сер, яка входить до неї визначається формулою (2.25).

Наприклад, формули (2.21) і (2.23) для необмеженого порожнистого циліндра з внутрішнім R₁ і зовнішнім R₂ радіусами, якщо питома потужність постійно діючого внутрішнього джерела теплоти в ньому постійна і рівна q_V, а коефіцієнт теплопровідності – лінійна функція температури

λ = λ_о(1+аt), (2.29)

будуть мати вигляд

(2.30)

а для лінійного теплового потоку

(2.31)

де – число подібності Померанцева.

2.4. Температурне поле в тілі з постійно діючим внутрішнім джерелом теплоти, питома потужність якого – функція температури виду qV = w0(1 + bt)

У цьому випадку диференціальне рівняння теплопровідності (2.5) запишеться так:

(2.32)

де w₀ – питома потужність постійно діючого внутрішнього джерела теплоти при t = 0 °С; b – дослідна стала величина. При

(2.33)

де (2.32) перетворюється до виразу

(2.34)

який представляє собою неоднорідне рівняння Бесселя. Його загальний розв’язок можна виразити початковою функцією виду

(2.35)

чи з урахуванням підстановки (2.33) – функцією

(2.36)

де – функції Бесселя І і ІІ роду, порядку (п –1)/2, аргументу

Наприклад, для кулі (п = 2 і ζ  = r) формула (2.36) приймає вигляд

(2.37)

За допомогою співвідношень

(2.38)

(2.37) перетворюється далі до наступного вигляду:

(2.39)

де А і В – сталі інтегрування.

Припустимо, що на поверхні порожнистої кулі тепловіддача характеризується граничними умовами І роду: рівняння (2.20) при ζ₁ = R₁ і ζ₂ = R₂. У цьому випадку сталі інтегрування А і В можна визначити з системи

(2.40)

Розв’язуємо систему (2.40) відносно А і В і підставимо знайдені вирази в (2.39) і отримаємо формулу температурного поля в порожнистій кулі

(2.41)

Розподіл температур, який розраховується за (2.41), має одну особливість, а саме: температура може обертатися тут в нескінченність при

(2.42)

Із (2.42) виходить, що

(2.43)

де т =0, 1, 2, 3,...

При т = 0 (w₀ = 0) отримаємо у формулі температурного поля (2.41) невизначеність типу нуль на нуль. Цей випадок повинен відповідати розподілу температури в порожнистій кулі без внутрішнього джерела теплоти. При т = 1 отримаємо

(2.44)

Якщо питома потужність постійно діючого внутрішнього джерела теплоти перевищить w_0,max, тепловий потік з поверхні кулі при заданих t_ст1 і t_ст2 не можна буде відвести і відбудеться руйнування матеріалу. На цей момент необхідно звертати увагу і при аналізі температурного поля необмеженої плоскої стінки і необмеженого циліндра.

2.5. Температурне поле в складовій системі з постійними внутрішніми джерелами теплоти

Під складовою системою розуміємо тіло, яке складається із щільно приєднаних між собою чи необмежених плоских стінок, чи необмежених плоских циліндрів, чи порожнистих кульових поверхонь. У загальному випадку товщини і коефіцієнти теплопровідності тіл, з яких складається система, можуть відрізнятися один від іншого.

Рис.2.4. Складова плоска стінка

На рис.2.4 наведена складова (багатошарова) плоска система, яка складається із k необмежених плоских стінок з різною товщиною і різними коефіцієнтами теплопровідності: у кожній пластині постійно діє внутрішнє джерело теплоти з постійною питомою потужністю.

Температурне поле в складовій системі повинно характеризуватися системою початкових функцій виду

(2.45)

де А₁, В₁, А₂, В₂, ... , А_k, В_k – сталі інтегрування; q_V1, q_V2, q_V3, …, q_Vk – усталені питомі потужності внутрішніх джерел теплоти.

Якщо на поверхні складової системи тепловіддача визначається граничними умовами ІІІ роду, систему рівнянь для знаходження 2k сталих інтегрування в (2.45) можна скласти наступним чином.

Два рівняння отримуються з умови теплообміну на зовнішніх поверхнях складової системи і мають вигляд:

(2.46)

Для k – 1 рівнянь визначаються з умови стиковки за температурою в площині контакту. Вигляд цих рівнянь наступний:

(2.47)

Інші k – 1 рівнянь складаються з умови стиковки по густині теплового потоку. Вони записуються так:

(2.48)

Умови (2.47) і (2.48) виконуються при ідеальному тепловому контакті поверхонь. У реальних умовах можуть виникати додаткові контактні термічні опори, величини яких залежать від технологічних і конструкторських факторів.

Розв’язок системи рівнянь (2.46)...(2.48) відносно сталих інтегрування дуже громіздке і нами не розглядається. Кінцевий результат для температури в j-му тілі складової системи такий:

(2.49)

де

(2.50)

де К – коефіцієнт теплопередачі системи; т = 2, 3, 4, ... , k;

(2.51)

(2.52)

При q_V1 = q_V2 = q_V3 = … = 0 формула (2.49) суттєво спрощується:

(2.53)

Як видно, формула (2.53) представляє собою рівняння прямої лінії у відрізках. Через це поточну температуру в складовій системі без внутрішніх джерел теплоти можна визначати графічним шляхом (рис.2.5)

Рис.2.5. Графічне визначення температури у складовій стінці

Для цього по горизонтальній осі в довільному масштабі відкладаємо відрізок

який в теорії теплообміну називається термічним опором. З кінців цього відрізку ставимо перпендикуляри, на яких в масштабі R_заг, наносяться температури t_o1 і t_o2. Пряма, яка з’єднує кінці відрізків температур t_o1 і t_o2, представляє собою температурне поле в складовій системі.

Температура в довільній точці внутрішньої площини j-го тіла визначається так. Із початку відрізка R_заг відкладається відрізок

який, за своєю суттю є термічним опором складової системи до перерізу, що визначається поточною координатою ζ. З кінця відрізку R_j ставимо перпендикуляр до перетину з прямою температури. Величина цього перпендикуляра в масштабі вертикальної осі є шуканою температурою.

Диференціювання по ζ (2.53) і підстановка похідної в узагальнюючий закон Фур’є (2.22), дозволяє отримати формулу для густини теплового потоку, який проходить крізь складову систему, внутрішні джерела теплоти в якій відсутні:

(2.54)

Як окремий випадок, із (2.54) отримуємо наступні формули:

(2.55)

(2.56)

(2.57)