2.6. Ребристі поверхні

 

Із закону Фур’є (1.2) виходить, що чим більша поверхня F знімання теплоти, тим більша кількість теплоти пройде через неї і розвіється в навколишньому середовищі. Цей факт часто використовується при вирішені питань охолодження електронних приладів, в холодильних установках та ін.

Рис.2.6. Конструкції ребер

Поверхня тіла збільшується за допомогою ребер, наприклад прямих (рис.2.6, а) чи кільцевих (рис.2.6, б) довільної конфігурації. Зазвичай, найбільш ефективне оребреня визначається формою, розмірами, вартістю та ін. кожної конкретної установки і вибираються індивідуально.

Рис.2.7. Пряме ребро довільного профілю

Розглянемо пряме ребро довільного профілю (рис.2.7). Вважаємо, що розподіл температури за товщиною ребра рівномірний (температура змінюється тільки за координатою х). У цьому випадку кількість теплоти, яка проходить через переріз ребра розраховується за законом Фур’є. Для розгляду умов

(2.58)

вважаємо, що f(x) становить половину товщини ребра в перерізі a'b'c'd'.

При стаціонарному режимі така ж кількість теплоти буде віддаватися в навколишнє середовище конвекцією. Якщо вважати, що елементарна поверхня становить 2Ldx, теплові втрати конвекцією можуть визначатися за законом Ньютона-Ріхмана:

(2.59)

Додаючи (2.58) і (2.59), отримаємо диференціальне рівняння, яке характеризує теплообмін в прямому ребрі довільного профілю,

звідки

(2.60)

Рис.2.8. Пряме ребро прямокутного профілю

Пряме ребро прямокутного профілю (рис.2.8). У цьому випадку f(x) = δ і, як наслідок, (2.60) спрощується:

  (2.61)

де – комплекс.

Загальний розв’язок (2.61) виражається початковою функцією типу

(2.62)

Якщо знехтувати тепловіддачею з поверхні вершини ребра (х = δ) и вважати температуру основи ребра (х = 0) рівною tосн, отримаємо, пропустивши проміжні викладки,

(2.63)

Формула (2.63) характеризує температурне поле в ребрі прямокутного профілю при розглянутих граничних умовах.

Показником робочої характеристики ребра є його ефективність. Під цим поняттям слід розуміти відношення повного теплового потоку, який передається через ребро, до того теплового потоку, який передавався б через ребро у випадку, коли б вся поверхня ребра знаходилась би при температурі tосн.

Повний тепловий потік, який проходить крізь ребро і той, що розвіюється з його поверхні, визначається з урахуванням (2.63) за формулою

 (2.64)

Тепловий потік, який розвіювався б з поверхні ребра, якби воно знаходилось при постійній температурі tосн, визначається виразом

(2.65)

Розділивши (2.64) на (2.65), отримаємо формулу для ефективності ребра прямокутного профілю

(2.66)

де ξ – коефіцієнт ефективності ребра прямокутної форми.

Ефективність ребра, як це слідує з (2.66), змінюється від 0 до 1; значення ξ  = 1 відповідає ідеальному випадку, коли температура всієї поверхні ребра дорівнює температурі його основи. Це свідчить про максимальне теплове знімання з поверхні ребра.

За величиною ефективності ребра зручно судити про вплив довжини ребра, теплопровідності, коефіцієнта тепловіддачі та ін. на інтенсивність використання тепла. Так, наприклад, при т = 1 ефективність ребра становить ξ  = 0,716, а при значенні т = 0,5 становитиме вже 0,924. Зменшити параметр т , а значить, і підвищити ефективність ребра можна, наприклад, за рахунок збільшення теплопровідності, зменшення коефіцієнта тепловіддачі, зменшення довжини ребра і збільшення його товщини.

 

Рис.2.9. Пряме ребро трикутного профілю

Пряме ребро трикутного профілю (рис.2.9). Для ребра цієї форми f(x) = (x/)δ  тоді (2.60) набуває вигляду

(2.67)

Диференціальне рівняння (2.67) представляє собою одну із форм модифікованого рівняння Бесселя. Його загальним розв’язком може служити початкова функція виду

(2.68)

де – модифіковані функції Бесселя нульового порядку, І і ІІ роду, аргументу 

Вважаючи, як і для прямого ребра прямокутного профілю, температуру в основі (х = ) рівною tосн і нехтуючи тепловіддачею з торця (х = 0), можна (2.68) привести до кінцевого вигляду

(2.69)

Повний тепловий потік, який проходить крізь ребро трикутного профілю, розраховується по формулі

(2.70)

де І0(2т) – модифікована функція І роду 1-го порядку аргументу 2т [під час розрахунку інтеграла використовують рекурентну формулу .

Знаючи (2.70) можна вирахувати ефективність ребра трикутного профілю:

(2.71)

де Qосн визначається за (2.65).

Рис.2.10. Порівняння ефективності прямих ребер:1 – прямокутний і 2 – трикутний профілі

При однакових коефіцієнтах тепловіддачі, теплопровідності, товщині і висоті прямокутне ребро ефективніше ребра трикутного профілю (рис.2.10). Але варто мати на увазі, що трикутне ребро при однаковій с прямокутним ребром висотою і товщині основи менш метало ємне, а значить дешевше. При визначенні ефективності ребра з цієї точки зору трикутному ребру необхідно віддати переваги.

 

Рис.2.11. Кругле ребро прямокутного профілю

Кругле ребро прямокутного профілю (рис.2.11).

Аналіз виконуємо так само, як і для прямого ребра. Рівняння (2.58) для цього випадку буде

(2.72)

а (2.59) можна записати так:

(2.73)

Додаючи (2.72) і (2.73), отримаємо диференціальне рівняння теплопровідності для круглого ребра прямокутного перерізу у наступній формі:

(2.74)

Рівняння (2.74) є модифіковане рівняння Бесселя тому

 (2.75)

Сталі інтегрування С1 і С2 визначаємо, виходячи з тих самих граничних умов, які використовувалися під час аналізу прямих ребер. Це приводить у кінцевому підсумку до залежності:

 (2.76)

Дисипований (розсіяний) з поверхні кільцевого ребра тепловий потік визначається, як і вище, за законом Ньютона-Ріхмана, який в даному випадку має вигляд:

 (2.77)

Щоб взяти інтеграл в (2.77), необхідно використати рекурентну формулу [див. пояснення до (2.70)]. При цьому в підсумку отримаємо:

(2.78)

Тепловий потік, дисипований з поверхні кільцевого ребра, коли температура його скрізь дорівнює tосн, розраховується за формулою (2.77) з заміною t на tосн:

(2.79)

Таким чином, ефективність кільцевого ребра прямокутного профілю

. (2.80)

Рис.2.12. Вплив параметра тR1 на ефективність кругового ребра прямокутного профілю

Формула (2.80) представлена на рис.2.12. Як видно, зменшення параметра тR1 (що рівносильне збільшенню теплопровідності, товщині ребра, зменшенню радіуса труби і коефіцієнта тепловіддачі) тягне за собою збільшення ефективності.

 

2.7. Двомірне температурне поле

 

Двомірне температурне поле може виникати у тілах обмежених чи плоскими, чи сумісно циліндричними і плоскими поверхнями, іншими словами в плоских напівобмежених стінках, пластинах, напівобмежених і обмежених суцільних і порожнистих циліндрах.

Диференціальне рівняння, яке відповідає цьому випадку, можна отримати з (1.16) з урахуванням (2.5)

  (2.81)

де п = 0 для напівобмежених плоских тіл і пластин, п = 1 для напівобмежених і обмежених суцільних і порожнистих циліндрів.

Шукаємо загальне рішення (2.81) у наступній формі (метод розділу змінних – метод Фур’є)

t =EZ, (2.82)

де Е – функція, яка залежить тільки від ζ; Z – функція, яка залежить тільки від z.

Підстановка (2.82) в (2.81) дає

(2.83)

У лівій і правій частинах (2.83) знаходяться функції, які залежать від незалежних між собою змінних. На цій підставі рівність в (2.83) може бути льки у тому випадку, якщо ліва і права частини цього співвідношення дорівнюють якій-небудь одній і тій же сталій. Позначимо її через р2. Тоді замість (2.83)отримаємо два диференціальних рівняння:

(2.84)

і

(2.85)

Диференціальне рівняння (2.84) представляє собою одну із форм модифікованого рівняння Бесселя. Його загальне рішення можна виразити функцією

(2.86)

Загальний розв’язок диференціального рівняння (2.85) – початкова функція виду

 (2.87)

Таким чином, загальний розв’язок диференціального рівняння теплопровідності (2.81) такий:

(2.88)

Нехай температура на боковій поверхні обмеженого суцільного циліндра з радіусом R і довжиною постійна і рівна tп, а на торцевих поверхнях (z=0 і z=) дорівнює нулю. З умови рівності нулю температури на торцях циліндра отримаємо С4=0 і

р = πт/, (2.89)

де т = 0, 1, 2, 3,... .

Крім цього, С2 = 0, тому що температура на осі циліндра кінцева величина, а модифікована функція Бесселя K0(pr) прямує до нескінченності при r0 (для циліндра при п = 1 ζ = r).

Рівняння (2.89) має множину корнів. Отже, розв’язок диференціального рівняння теплопровідності (2.81) для циліндра буде функцією виду

 (2.90)

де Ат – стала величина.

Якщо перепишемо R = r ряд (2.90) в розгорнутій формі, далі помножимо праву і ліву частини отриманого при цьому виразу на sin (πmz/) і проінтегруємо його від 0 до , отримаємо:

 

(2.91)

В теорії рядів Фур’є показано, що

Отже, ряд (2.91) спрощується до

(2.92)

Із (2.92) знаходимо Ат:

(2.93)

Підставляючи (2.93) в (2.90), отримаємо

(2.94)

чи у кінцевому вигляді

(2.95)

 

Рис.2.13.Розподіл температури в суцільному обмеженому циліндрі за нульової температури торців

На рис.2.13 представлене поле температур на осі обмеженого суцільного циліндра, побудоване по (2.94).

Розглянемо випадок коли на торці (z = 0) обмеженого суцільного циліндра температура рівна tm1, а на іншому торці (z = ) і поверхні (r=R) – нулю. У цьому разі при поділі виразу (2.83) на два диференціальних рівняння сталу зручно позначати через р2. Тоді розв’язок (2.81) для циліндра записується так:

(2.95)

З умови обмеження температури при r=отримуємо С2=0, а з умови рівності нулю температури на торці (z = ) С3 = –С4е2р. Таким чином, (2.95) спрощується до

(2.96)

де А – стала інтегрування.

Рівності нулю температури на боковій поверхні (2.96) можна задовольнити, якщо параметр р визначати з рівняння (табл.2.1 при →∞) J0(pR)= 0.

Таблиця 2.1. Корні характеристичного рівняння pRJ1(pR) – BiJ0(pR) = 0

Bi

p1R

p2R

p3R

p4R

p5R

p6R

0,000

0,005

0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,26

0,30

0,40

0,50

0,0000

0,1000

0,1413

0,1995

0,2814

0,3438

0,3960

0,4417

0,4827

0,5201

0,5546

0,5868

0,6170

0,6456

0,6984

0,7465

0,8516

0,9408

3,8317

3,8331

3,8344

3,8369

3,8421

3,8473

3,8525

3,8577

3,8629

3,8681

3,8773

3,8784

3,8835

3,8887

3,8989

3,9091

3,9344

3,9594

7,0156

7,0163

7,0171

7,0184

7,0213

7,0241

7,0270

7,0298

7,0327

7,0356

7,0384

7,0412

7,0440

7,0469

7,0526

7,0582

7,0723

7,0864

10,1735

10,1740

10,1745

10,1754

10,1774

10,1794

10,1813

10,1833

10,1853

10,1873

10,1892

10,1912

10,1931

10,1951

10,1990

10,2029

10,2127

10,2225

13,3237

13,3241

13,3245

13,3252

13,3267

13,3282

13,3297

13,3312

13,3327

13,3342

13,3358

13,3372

13,3387

13,3402

13,3432

13,3462

13,3537

13,3611

16,4706

16,4710

16,4713

16,4718

16,4731

16,4743

16,4755

16,4767

16,4780

16,4792

16,4804

16,4816

16,4828

16,4810

16,4865

16,4888

16,4949

16,5010

Продовження таблиці 2.1

Bi

p1R

p2R

p3R

p4R

p5R

p6R

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,5

5,00

10,00

25,00

50,00

100,00

1,0184

1,0873

1,1490

1,2048

1,2558

1,3456

1,4225

1,4892

1,5477

1,5994

1,7061

1,9898

2,1795

2,3108

2,3572

2,3809

2,4048

3,9841

4,0085

4,0325

4,0562

4,0795

4,1250

4,1689

4,2112

4,2519

4,2910

4,3819

4,7131

5,0332

5,3068

5,4112

5,4652

5,5201

7,1004

7,1143

7,1282

7,1421

7,1558

7,1831

7,2100

7,2366

7,2627

7,2884

7,3508

7,6177

7,9569

8,3262

8,4840

8,5678

8,6537

10,2322

10,2419

10,2516

10,2613

10,2710

10,2903

10,3094

10,3284

10,3472

10,3658

10,4118

10,6223

10,9363

11,3567

11,5621

11,6747

11,7915

13,3686

13,3761

13,3835

13,3910

13,3984

13,4133

13,4280

13,4427

13,4574

13,4719

13,5080

13,6786

13,9580

14,3997

14,6433

14,7834

14,9309

16,5070

16,5131

16,5191

16,5251

16,5312

16,5432

16,5553

16,5672

16,5792

16,5910

16,6206

16,7630

17,0099

17,4522

17,7272

17,8931

18,0711

Тому що J0(pR) = 0 має множину корнів, то

(2.97)

Розгорнемо ряд (2.97) при z = 0, далі помножимо ліву і праву частину його на rJ0(pmr) і проінтегруємо від 0 до R. Отримаємо внаслідок цього

 

(2.98)

При розрахунку параметра р з J0(pr) = 0 виходить, що

 

Ряд (2.98) внаслідок цього спрощується до

(2.99)

В цьому рівнянні згідно пояснень до (2.70), якщо р визначається з rJ0(pr) = 0. Із (2.99) знаходимо сталу інтегрування Ат:

(2.100)

Підставляючи (2.100) в (2.97), отримаємо формулу температурного поля в кінцевому вигляді:

(2.101)

Якщо, наприклад, температури на боковій поверхні і торцях суцільного циліндра будуть відрізнятися від нуля, розв’язок диференціального рівняння теплопровідності (2.81) необхідно шукати у вигляді суми:

t = u + υ + w,

де u – розв’язок задачі при u = tn (r = R), u = 0 (z = 0) і u = 0 (z = ); υ – розв’язок задачі при υ = 0 (r = R), υ = tт1 (z = 0) і υ = 0 (z = ) (аналіз яких виконаний вище); w – розв’язок задачі при w = 0 (r = R), w = 0 (z = 0) і w = tm2 (z = ).

Рис.2.14. На половину обмежена плоска стінка

Нехай на одній з поверхонь (х = 0; 0  z < ) на половину обмеженої плоскої стінки (рис.2.14) теплообмін визначається граничними умовами ІІІ роду, 2-а поверхня (х = = ; 0  z < )  теплоізольована, а температура 3-ї поверхні (z = 0; 0  x  )  дорівнює нулю.

Розв’язок диференціального рівняння (2.81) можна записати для цього випадку (п = 0 і ζ = х) так:

(2.102)

а граничні умови виразити наступним чином:

(2.103,а)

(2.103,б)

(2.103,в)

(2.103,г)

З граничної умови (2.103,г) слідує, що С1 = 0, а підстановка цього рішення в (2.103,б) зводить його до виду:

 (2.104)

Якщо далі ввести (2.104) в рівняння (2.106,а), це дасть

 (2.105)

Із характеристичного рівняння (2.105) визначається параметр р. Розв’язок (2.105) наведено в табл.2.2.

Таблиця 2.2. Корні характеристичного рівняння (2.105)

Bi

p1

p2

p3

p4

p5

p6

0,000

0,005

0,01

0,02

0,04

0,06

0,08

0,10

0,12

0,14

0,16

0,18

0,20

0,22

0,26

0,30

0,40

0,50

0,60

0,70

0,80

0,90

1,00

1,20

1,40

1,60

1,80

2,00

2,5

5,00

10,00

25,00

50,00

100,00

0,0000

0,0707

0,0998

0,1410

0,1987

0,2425

0,2791

0,3111

0,3396

0,3657

0,3897

0,4119

0,4328

0,4525

0,4888

0,5218

0,5932

0,6533

0,7051

0,7506

0,7910

0,8274

0,8603

0,9179

0,9666

1,0084

1,0449

1,0769

1,1422

1,3138

1,4289

1,5105

1,5400

1,5552

1,5708

3,1416

3,1432

3,1448

3,1479

3,1543

3,1606

3,1668

3,1731

3,1793

3,1855

3,1917

3,1978

3,2032

3,2100

3,2221

3,2341

3,2636

3,2923

3,3204

3,3477

3,3744

3,4003

3,4256

3,4742

3,5201

3,5636

3,6047

3,6436

3,7318

4,0336

4,3058

4,5330

4,6202

4,6658

4,7124

6,2832

6,2840

6,2848

6,2864

6,2895

6,2927

6,2959

6,2991

6,3022

6,3054

6,3085

6,3117

6,3148

6,3180

6,3243

6,3305

6,3461

6,3616

6,3770

6,3923

6,4074

6,4224

6,4373

6,4669

6,4955

6,5237

6,5513

6,5783

6,6431

6,9096

7,2281

7,5603

7,7012

7,7764

7,8540

9,4248

9,4253

9,4258

9,4269

9,4290

9,4311

9,4333

9,4354

9,4375

9,4396

9,4417

9,4438

9,7759

9,4481

9,4523

9,4565

9,4670

9,4775

9,4879

9,4983

9,5087

9,5190

9,5293

9,5498

9,5700

9,5901

9,6099

9,6296

9,6776

9,8928

10,2003

10,5947

10,7832

10,8871

10,9956

12,5664

12,5668

12,5672

12,5680

12,5696

12,5711

12,5727

12,5743

12,5759

12,5775

12,5791

12,5807

12,5823

12,5839

12,5870

12,5902

12,5981

12,6060

12,6139

12,6218

12,6296

12,6375

12,6453

12,6609

12,6764

12,6918

12,7071

12,7223

12,7599

12,9352

13,2142

13,6378

13,8666

13,9981

14,1372

15,7080

15,7083

15,7086

15,7092

15,7105

15,7118

15,7131

15,7143

15,7156

15,7169

15,7181

15,7194

15,7207

15,7220

15,7245

15,7270

15,7334

15,7397

15,7460

15,7524

15,7587

15,7650

15,7713

15,7839

15,7964

15,8088

15,8213

15,8336

15,8643

16,0107

16,2594

16,6901

16,9519

17,1093

17,2788

З табл.2.2 видно, що характеристичне рівняння (2.105) має множину коренів, отже рішення для t повинно мати вигляд:

(2.106)

Сталу Вт в (2.106) знаходимо за аналогічною методикою, яка використовувалася при визначенні Ат у формулі (2.90). Виходячи з цього, пропускаючи проміжні викладки, запишемо

(2.107)

Тепер замінимо граничну умову (2.103,б) на граничну умову І роду:

t = 0 при x =   (0 z ≤ ∞). (2.108)

У цьому випадку розв’язок диференціального рівняння (2.81) при п = 0 і ζ = х необхідно шукати у наступному виді:

t = u + υ, (2.109)

де u повинно задовольняти диференціальне рівняння

d2u/dx2 = 0 (2.110)

і граничним умовам

(2.111)

а υ – диференціальне рівняння

д2υ/дх2 + д2υ/ду2 = 0 (2.112)

і граничним умовам

(2.113,а)

υ = 0           при х = ,  0  z < ∞; (2.113,б)

υ = – u        при z = 0   0  x ; (2.113,в)

дυz = 0    при  z =   0  x . (2.113,г)

Розв’язок диференціального рівняння (2.110) при граничних умовах (2.111) приводить до наступної формули:

(2.114)

Початкова функція від диференціального рівняння (2.112) має вигляд:

(2.115)

Із граничної умови (2.113,г) слідує, що С2 = 0, а підстановка (2.115) послідовно в рівняння (2.113,б) і (2.113,а) дає

Таблиця 2.3. Корні характеристичного рівняння (2.117)

Bi

p1

p2

p3

p4

p5

p6

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1,0

1,5

2,0

3,0

4,0

5,0

6,0

7,0

8,0

9,0

10,0

20,0

40,0

60,0

100,0

1,5708

1,6320

1,6887

1,7414

1,7906

1,8366

1,8798

1,9203

1,9586

1,9947

2,0288

2,1746

2,2889

2,4557

2,5704

2,6537

2,7165

2,7654

2,8044

2,8363

2,8628

2,9930

3,0651

3,0901

3,1105

3,1416

4,7124

4,7335

4,7544

4,7751

4,7956

4,8158

4,8358

4,8556

4,8751

4,8943

4,9132

5,0037

5,0870

5,2329

5,3540

5,4544

5,5378

5,6078

5,6669

5,7172

5,7606

5,9921

6,1311

6,1805

6,2211

6,2832

7,8540

7,8667

7,8794

7,8920

7,9046

7,9171

7,9295

7,9419

7,9542

7,9665

7,9787

8,0385

8,0962

8,2045

8,3029

8,3914

8,4703

8,5406

8,6031

8,6587

8,7083

9,0019

9,1987

9,2715

9,3317

9,4248

10,9956

11,0047

11,0137

11,0228

11,0318

11,0409

11,0498

11,0588

11,0677

11,0767

11,0856

11,1296

11,1727

11,2560

11,3349

11,4086

11,4773

11,5408

11,5994

11,6532

11,7027

12,0250

12,2688

12,3632

12,4426

12,5664

14,1372

14,1443

14,1513

14,1584

14,1654

14,1724

14,1795

14,1865

14,1935

14,2005

14,2075

14,2421

14,2764

14,3434

14,4080

14,4699

14,5288

14,5847

14,6374

14,6870

14,7335

15,0625

15,3417

15,4559

15,5537

15,7080

17,2788

17,2845

17,2903

17,2961

17,3019

17,3076

17,3134

17,3192

17,3249

17,3306

17,3364

17,3649

17,3932

17,4490

17,5034

17,5562

17,6072

17,6562

17,7032

17,7481

17,7908

18,1136

18,4180

18,5497

18,6650

18,8496

З (2.118) визначається стала Dm. Підставивши її в (2.115), отримаємо: