3.2. Нестаціонарні процеси теплопровідності в необмеженій пластині

 

Розглянемо задачу, коли тепло прямує до теплової рівноваги. При цьому задана пластина товщиною 2δ, розміри у напрямку осей у і z необмежені (рис.3.4).

 

Рис.3.4. Схема до розрахунку нагрівання плоскої пластини

Фізичні умови визначають значення коефіцієнта теплопровідності матеріалу пластини (λ = const), теплоємності (С = const), густини ρ, внутрішні теплові джерела відсутні. Пластина, яка мала в початковий момент часу однакову температуру t0 занурюється в потік рідини зі сталою температурою tр, відмінною від t0.

Граничні умови визначені усталеними й однаковими значеннями коефіцієнтів тепловіддачі α на обох поверхнях пластини.

У зв'язку з тим, що лінійні розміри поверхні пластини великі у порівнянні з її товщиною, зміна температури буде відбуватися тільки у напрямку, перпендикулярному до поверхні пластини, тобто температурне поле буде одномірним. Крім цього, із-за симетричності граничних умов відносно середньої площини температурне поле в довільний момент часу буде також симетричним відносно цієї площини. Для розглядуваної задачі початок координат зручно розміщати в центрі пластини, як показано на рис.3.4, спрямувавши ось Ох по нормалі до осі пластини. Для зручності наступних розрахунків відлік температури ведеться від температури навколишнього середовища J = tp – t.

Тоді диференціальне рівняння теплопровідності (3.1) запишеться так:

(3.53)

тому що

(3.54)

Умови однозначності приймають вигляд:

  •  початкові умови при τ = 0 J = J0 = tp  t0;  при τ→∞   J0; (3.55)
  •  граничні умови (3.56)

    Останнє рівняння можна замінити більш простою умовою симетрії температурного поля:

    дJ/дх = 0 при х = 0. (3.57)

    Розв’язуємо поставлену задачу методом розділу змінних, подаючи шукану функцію J у вигляді добутку двох функцій φ(х) і Т(τ), кожна з яких залежить тільки від одного аргументу

    J = φ(х)Т(τ). (3.58)

    Підставляючи (3.58) в (3.53), отримаємо

    (3.59)

    чи розділяючи перемінні,

    (3.60)

    Тому що ліва частина рівняння (3.60) не залежить від координати х, а права – від часу τ, то загальне значення і правої і лівої частин не повинно залежати ні від х, ні від τ:

    (3.61)

    З умови (3.55) виходить, що при нагріванні пластини дJ/дτ ≤ 0 (це значить, що дТ/дτ <0), тоді константа в рівнянні (3.61) повинна бути від’ємною. (У випадку охолодження пластини при tp > t0 вивід відносно знаку константи буде таким самим).

    Позначимо константу через (–k2) і, розв’язуючи рівняння (3.61), отримаємо:

    (3.62)

    (3.63)

    де С1, С2, С3 – сталі інтегрування, які так само як і значення сталої k, знаходяться з початкових і граничних умов.

    Використовуючи умови симетрії (3.57) маємо

    (3.64)

    Виконавши диференціювання (3.63) з урахуванням (3.64), знаходимо С2=0, тоді

    (3.65)

    Вираз для поля надлишкової температури має вигляд

    (3.66)

    де С = С1С3.

    Використовуючи граничну умову (3.56) у виді

    (3.67)

    отримуємо при підстановці рівняння (3.66) і похідної дJ/дх при значенні х = ?

    (3.68)

    чи після скорочення лівої і правої частини рівняння, отримуємо трансцендентальне рівняння для визначення сталої k:

    (3.69)

    чи

    (3.70)

    Позначивши  = n і αδ/λ =Ві  (число Біо), отримаємо:

    п/Ві = ctg(n). (3.71)

    Рис.3.5. Розв’язок рівняння (3.71)

     Рівняння (3.71) називається характери-тичним рівнянням; його можна розв’язати графічним способом, знаходячи точки перетину прямої у1 = п/Ві з котангенсоїдами у2 = ctg(п). На рис.3.5 наведена схема графічного розв’язку рівняння (3.71). Як видно з рисунка, рівняння (3.71) має безліч рішень пi; ці значення називаються власними числами задачі. Величини власних чисел залежать від порядкового номера і і числа Ві. Характер цієї залежності наведено на рис.3.6.

    Рис.3.6. До визначення власних чисел пі

    При Ві→∞  пряма у1 = п/Ві співпадає з віссю абсцис і корні рівняння (3.71) мають значення:

     

    При Ві→0  пряма у1 = п/Ві співпадає з віссю ординат і власні числа стають рівними:

    де і = 1, 2, 3.

    Таким чином, виходячи з рівняння (3.66) кожне значення власного числа пі приводиться до окремого рішення:

    (3.72)

    Загальний розв’язок диференціального рівняння (3.53) визначається сумою окремих рішень:

    (3.73)

    Функція J задовольняє граничні умови, тому що їм відповідають усі члени ряду. Сталі Сі визначаються з початкових умов (3.55):

    (3.74)

    це значить, що Сі є коефіцієнтами Фур’є функції J0 при розкладанні її за косинусами в інтервалі від –δ до +δ.

    Для визначення коефіцієнтів Сі права і ліва частини рівняння (3.74) множаться на cos(njx)dx і інтегруються від –δ до +δ, а j приймає всі цілі значення, включаючи і число і:

    (3.75)

    Неважко показати (властивість ортогональності), що

    (3.76)

    Внаслідок цього вираз для визначення Сі набуває наступного виду:

    (3.77)

    Підставляючи отримане рівняння (3.77) в (3.73), отримаємо кінцевий вираз для температурного поля симетричної однорідної пластини, яка нагрівається:

    (3.78)

    Беручи до уваги, що аτ/δ2 = Fo  число Фурє, запишемо вираз для безрозмірного перепаду температури:

    (3.79)

    У більшості практичних задач необхідно визначати температуру в характерних точках тіл. Так, для пластини найбільший інтерес представляє визначення температури чи на поверхні х = ±δ, чи в середній площині х = 0. Для цих випадків безрозмірна координата х( = х/δ приймає значення чи 1, чи 0. Вираз є функцією тільки пі, тобто функцією порядкового номера і числа Ві. Тому що пі – числа, величина яких зростає з порядковим номером, то наступні члени ряду відіграють все меншу роль зі зростанням пі [варто пам’ятати, що cos (ni х( ) – величина обмежена, а ехр(–пі2Fo) – величина, що швидко зменшується].

    Дослідження показують, що при Fo 0,3 ряд (3.79) стає швидкозбіжним і може з достатньою точністю замінений першим членом ряду:

    (3.80)

    Для осі пластини (х( = 0) маємо

    (3.81)

    для зовнішньої поверхні (х( = 0) маємо

    (3.82)

    де N(Bi) і Р(Ві) – функції, що залежать тільки від числа Біо.

    Рис.3.7. Залежність безрозмірного перепаду температур від чисел Фур’є і Біо

    для поверхні пластини

    Таким чином, при заданих координатах безрозмірний перепад температур є функцією тільки двох чисел: Ві і Fo. Виконуючи логарифмування рівнянь (3.81) і (3.82), отримуємо вирази:

     (3.83)

    Рівняння (3.83) зручно представити в напівлогарифмічних координатах (рис 3.7 і 3.8) По осі ординат відкладені натуральні логарифми величини чи , а по осі абсцис – число Фур’є.

    Рис.3.8.Залежність безрозмірного перепаду температур від чисел Фур’є і Біо

    для середини пластини

    Число Біо використовується як параметр. Користуючись графіками, можна виконувати наступні розрахунки:

  •   при заданій тривалості нагрівання пластини (задане число Fo) і інтенсивності тепловіддачі з її поверхні (відоме число Ві) визначаються  і ;
  •   при заданих чи і Ві визначається тривалість нагріву, тобто Fo;
  •   при заданих Fo і чи визначається інтенсивність тепловіддачі з поверхні пластини, тобто Ві.

    З рівняння (3.79) виходить, що температурне поле в пластині має для довільного моменту часу вид симетричної кривої [cos (ni х( ) – парна функція]. Мінімум кривої знаходиться на осі пластини.

    Для довільного моменту часу дотичні до температурних кривих в точках х( = ±1 проходять через одні і ті ж симетрично розташовані точки ±N (рис.3.9). Ці точки називаються направляючими і знаходяться від поверхні пластини на відносній відстані х( = 1/Ві. Для доведення цього твердження перетворимо граничні умови (3.67)

     

    до безрозмірного виду, помноживши обидві частини рівності на ?/J0

    (3.84)

    Тоді рівняння (3.84) запишеться так:

    (3.85)

     

    Рис.3.9. Зміна температурного поля необмеженої пластини

    Згідно схеми рис.3.9,

     (3.86)

    З порівняння рівнянь (3.85) і (3.86) виходить

    (3.87)

    Підставляючи в рівняння (3.87) розмірні величини, знайдемо, що

    (3.88)

    тобто відстань точки N від поверхні пластини визначається умовами однозначності, і дотичні до всіх температурних кривих в точці перетину їх з поверхнею пластини за незмінних умов однозначності завжди проходять через точку N.

     

    3.3. Кількість теплоти, що сприймається пластиною під час нагрівання

     

    Кількість теплоти, що надходить в пластину з обох сторін за час від τ = 0 до τ = ∞, дорівнює зміні ентальпії за цей проміжок часу (температура пластини у всіх точках досягає температури рідини):

    (3.89)

    де t0 – температура пластини в початковий момент часу.

    За довільний проміжок часу від 0 до τ1 ентальпія змінюється на

    (3.90)

    де  – середній безрозмірний перепад температури в момент часу τ1, tсер1 – середня температура по товщині пластини в момент часу τ1.

    Величину τсер у відповідності до теореми про середнє можна визначити з виразу

    (3.91)

    Підставляючи значення ? з рівняння (3.79), після інтегрування матимемо:

    (3.92)

    де Ni – коефіцієнт, що залежить від Ві.

    Рис.3.10. До визначення величини Ni

    При значеннях числа Fo ? 0,3 (3.92) стає швидкозбіжним і для розв’язку практичних задач обмежуються першим членом ряду:

    (3.93)

    Значення коефіцієнта Ni приведені на рис.3.10.

     

    3.4. Вплив чисел Біо і Фур’є на температурне поле в пластині

     

    При великих значеннях чисел Біо (Ві→ ∞) власні числа приймають значення  (див. рис.3.6):  при цьому 

     

    За цих умов рівняння (3.79) приймає наступний вид:

    З цього виразу виходить, що для поверхні пластини (х( = 1)

    (3.94)

    Розподіл температури в інших точках пластини залежить від співвідношення внутрішнього і зовнішнього термічних опорів. якщо ?/? >> 1/?, то температура поверхні з самого початку процесу стає рівною температурі гріючої рідини tр, тоді граничні умови ІІІ роду переходять в умови І роду. При ?/? << 1/? мають місце малі значення числа Біо (Ві ? 0). За цієї умови п1? 0; п2? ?;...; пі? (і – 1)? і тоді з рівняння (3.77) слідує, що:

     

    і тобто температура за товщиною пластини в довільний момент часу оказується однаковою і постійною.

    ?

    Рис.3.11. Зміна температурного поля в необмеженій пластині при великих числах Біо

    Рис.3.12. Зміна температурного поля в необмеженій пластині при малих числах Біо ?

    При Ві > 0, але значно менше одиниці, tg п1 п1 і з трансцендентного рівняння п1/Ві = 1/tg п1 слідує, що п1 ≈ Ві0,5. Тому при Ві << 1

    (3.95)

    зміна поля температури відбувається в основному в часі.

    На рис.3.11 і 3.12 представлений характер зміни температурного поля для різних випадків зміни числа Ві. Виконані розрахунки показують, що зміна температурного поля, подані на рис.3.11, має місце при Ві 100, а умова Ві <<1 виконується практично при Ві 0,1 (рис.3.12).

    Вплив числа Фур’є (Fo) проявляється на полі температур наступним чином: при зменшенні Fo збіжність ряду в рівнянні (3.79) покращується. Як уже говорилося, для значення Fo ? 0,3 ряд можна замінити його першим членом (3.80):

    (3.96)

    Область виродження формули (3.79) і (3.80) називається регулярним температурним режимом, при цьому поле перепаду температур залишається подібним самому собі у всі послідуючі моменти часу. Такий процес називається автомодельним у часі.

     

    3.5. Теплопровідність у тілах, утворених перерізом пластин

     

    Такі тіла, як прямокутні бруски, паралелепіпеди, можна розглядати як результат перерізу двох чи трьох взаємно перпендикулярних пластин, які мають такі самі умови однозначності, що і відповідні їм поверхні розглядуваного тіла.

    Розглянемо температурне поле прямокутного бруска, який складається з однорідного ізотропного матеріалу. Брус являє собою переріз двох необмежених пластин. Нестаціонарне поле надлишкових температур при нагріванні бруса підпорядковується рівнянню Фур’є

    (3.97)

    де J = tp – t.

    Початкові і граничні умови для пластин приймаються однаковими для

    δх ≤ х ≤ +δх;

                                                      δу ≤ у ≤ +δу;

                                         J = J0 = tpt0  при τ = 0;

                                         J = 0              при τ → ∞;                                     

     (3.98)

                                      λдJ/дх+αJ = 0   при х = δх;

                                      λдJ/ду+αJ = 0   при у = δу;                                    

     (3.99)

                               дJ/дх = 0  при х = 0,  δу ≤ у ≤ +δу;

                               дJ/ду = 0  при у = 0, –δх ≤ х ≤ +δх.

     (3.100)

    Докажемо, що безрозмірний перепад температур бруса дорівнює добутку безрозмірних перепадів температур в пластинах:

                                                           Θ = Θх · Θу (3.101)

    де

    (3.102)

    (3.103)

    Перепишемо вираз (3.101) в такому виді:

    J = JхJу/J0. (3.104)

    Підставляючи останнє рівняння (3.104) в (3.97), отримаємо

    (3.105)

    Рівність нулю всього виразу слідує з рівності нулю виразів в дужках, тому

    Jх і Jу є розв’язками відповідних диференціальних рівнянь для пластини:

                         JхJу/J0 = 0 при τ → ∞, тому що Jх→ 0 і Jу→ 0 при  τ → ∞;

     

    при  (3.106)

    при (3.107)

     при х = 0; (3.108)

     при у = 0. (3.109)

    Останнє справедливо, оскільки похідні дорівнюють нулю внаслідок симетрії температурного поля у кожній окремо розглядуваній пластині.

    Таким чином, вираз (3.101) задовольняє диференціальне рівняння, початкові і граничні умови и, як наслідок, є розв’язком задачі.

    Рис.3.13. Схема до розрахунку температурного поля паралелепіпеда

    Аналогічний результат можна отримати при розгляді температурного поля паралелепіпеда (рис.3.13), для якого безрозмірний перепад запишеться так:

     

    При визначенні температури в характерних точках – центра паралелепіпеда, центра граней – можна використати наведені раніше графіки (див. рис.3.7 і 3.8) для знаходження ?х, ?у, ?z.

    Наведений приклад розв’язку задачі для тіл кінцевих розмірів можна застосувати і для визначення температурного поля в циліндрі кінцевої довжини, який являє собою тіло, отримане внаслідок перерізу необмежених циліндра і пластини.

  •