Останнє рівняння можна замінити більш простою умовою симетрії температурного поля:

дJ/дх = 0 при х = 0. (3.57)

Розв’язуємо поставлену задачу методом розділу змінних, подаючи шукану функцію J у вигляді добутку двох функцій φ(х) і Т(τ), кожна з яких залежить тільки від одного аргументу

J = φ(х)Т(τ). (3.58)

Підставляючи (3.58) в (3.53), отримаємо

(3.59)

чи розділяючи перемінні,

(3.60)

Тому що ліва частина рівняння (3.60) не залежить від координати х, а права – від часу τ, то загальне значення і правої і лівої частин не повинно залежати ні від х, ні від τ:

(3.61)

З умови (3.55) виходить, що при нагріванні пластини дJ/дτ ≤ 0 (це значить, що дТ/дτ <0), тоді константа в рівнянні (3.61) повинна бути від’ємною. (У випадку охолодження пластини при t_p > t₀ вивід відносно знаку константи буде таким самим).

Позначимо константу через (–k²) і, розв’язуючи рівняння (3.61), отримаємо:

(3.62)

(3.63)

де С₁, С₂, С₃ – сталі інтегрування, які так само як і значення сталої k, знаходяться з початкових і граничних умов.

Використовуючи умови симетрії (3.57) маємо

(3.64)

Виконавши диференціювання (3.63) з урахуванням (3.64), знаходимо С₂=0, тоді

(3.65)

Вираз для поля надлишкової температури має вигляд

(3.66)

де С = С₁С₃.

Використовуючи граничну умову (3.56) у виді

(3.67)

отримуємо при підстановці рівняння (3.66) і похідної дJ/дх при значенні х = ?

(3.68)

чи після скорочення лівої і правої частини рівняння, отримуємо трансцендентальне рівняння для визначення сталої k:

(3.69)

чи

(3.70)

Позначивши kδ = n і αδ/λ =Ві  (число Біо), отримаємо:

п/Ві = ctg(n). (3.71)

Рис.3.5. Розв’язок рівняння (3.71)

 Рівняння (3.71) називається характери-тичним рівнянням; його можна розв’язати графічним способом, знаходячи точки перетину прямої у₁ = п/Ві з котангенсоїдами у₂ = ctg(п). На рис.3.5 наведена схема графічного розв’язку рівняння (3.71). Як видно з рисунка, рівняння (3.71) має безліч рішень п_i; ці значення називаються власними числами задачі. Величини власних чисел залежать від порядкового номера і і числа Ві. Характер цієї залежності наведено на рис.3.6.

Рис.3.6. До визначення власних чисел п_і

При Ві→∞  пряма у₁ = п/Ві співпадає з віссю абсцис і корні рівняння (3.71) мають значення:

При Ві→0  пряма у₁ = п/Ві співпадає з віссю ординат і власні числа стають рівними:

де і = 1, 2, 3.

Таким чином, виходячи з рівняння (3.66) кожне значення власного числа п_і приводиться до окремого рішення:

(3.72)

Загальний розв’язок диференціального рівняння (3.53) визначається сумою окремих рішень:

(3.73)

Функція J задовольняє граничні умови, тому що їм відповідають усі члени ряду. Сталі С_і визначаються з початкових умов (3.55):

(3.74)

це значить, що С_і є коефіцієнтами Фур’є функції J₀ при розкладанні її за косинусами в інтервалі від –δ до +δ.

Для визначення коефіцієнтів С_і права і ліва частини рівняння (3.74) множаться на cos(n_jx/δ)dx і інтегруються від –δ до +δ, а j приймає всі цілі значення, включаючи і число і:

(3.75)

Неважко показати (властивість ортогональності), що

(3.76)

Внаслідок цього вираз для визначення С_і набуває наступного виду:

(3.77)

Підставляючи отримане рівняння (3.77) в (3.73), отримаємо кінцевий вираз для температурного поля симетричної однорідної пластини, яка нагрівається:

(3.78)

Беручи до уваги, що аτ/δ² = Fo – число Фур’є, запишемо вираз для безрозмірного перепаду температури:

(3.79)

У більшості практичних задач необхідно визначати температуру в характерних точках тіл. Так, для пластини найбільший інтерес представляє визначення температури чи на поверхні х = ±δ, чи в середній площині х = 0. Для цих випадків безрозмірна координата х( = х/δ приймає значення чи 1, чи 0. Вираз є функцією тільки п_і, тобто функцією порядкового номера і числа Ві. Тому що п_і – числа, величина яких зростає з порядковим номером, то наступні члени ряду відіграють все меншу роль зі зростанням п_і [варто пам’ятати, що cos (n_i х( ) – величина обмежена, а ехр(–п_і²Fo) – величина, що швидко зменшується].

Дослідження показують, що при Fo ≥ 0,3 ряд (3.79) стає швидкозбіжним і може з достатньою точністю замінений першим членом ряду:

(3.80)

Для осі пластини (х( = 0) маємо

(3.81)

для зовнішньої поверхні (х( = 0) маємо

(3.82)

де N(Bi) і Р(Ві) – функції, що залежать тільки від числа Біо.

Рис.3.7. Залежність безрозмірного перепаду температур від чисел Фур’є і Біо

для поверхні пластини

Таким чином, при заданих координатах безрозмірний перепад температур є функцією тільки двох чисел: Ві і Fo. Виконуючи логарифмування рівнянь (3.81) і (3.82), отримуємо вирази:

 (3.83)

Рівняння (3.83) зручно представити в напівлогарифмічних координатах (рис 3.7 і 3.8) По осі ординат відкладені натуральні логарифми величини чи , а по осі абсцис – число Фур’є.

Рис.3.8.Залежність безрозмірного перепаду температур від чисел Фур’є і Біо

для середини пластини

Число Біо використовується як параметр. Користуючись графіками, можна виконувати наступні розрахунки:

З рівняння (3.79) виходить, що температурне поле в пластині має для довільного моменту часу вид симетричної кривої [cos (n_i х( ) – парна функція]. Мінімум кривої знаходиться на осі пластини.

Для довільного моменту часу дотичні до температурних кривих в точках х( = ±1 проходять через одні і ті ж симетрично розташовані точки ±N (рис.3.9). Ці точки називаються направляючими і знаходяться від поверхні пластини на відносній відстані х( = 1/Ві. Для доведення цього твердження перетворимо граничні умови (3.67)

до безрозмірного виду, помноживши обидві частини рівності на ?/J₀

(3.84)

Тоді рівняння (3.84) запишеться так:

(3.85)

Рис.3.9. Зміна температурного поля необмеженої пластини

Згідно схеми рис.3.9,

 (3.86)

З порівняння рівнянь (3.85) і (3.86) виходить

(3.87)

Підставляючи в рівняння (3.87) розмірні величини, знайдемо, що

(3.88)

тобто відстань точки N від поверхні пластини визначається умовами однозначності, і дотичні до всіх температурних кривих в точці перетину їх з поверхнею пластини за незмінних умов однозначності завжди проходять через точку N.

3.3. Кількість теплоти, що сприймається пластиною під час нагрівання

Кількість теплоти, що надходить в пластину з обох сторін за час від τ = 0 до τ = ∞, дорівнює зміні ентальпії за цей проміжок часу (температура пластини у всіх точках досягає температури рідини):

(3.89)

де t₀ – температура пластини в початковий момент часу.

За довільний проміжок часу від 0 до τ₁ ентальпія змінюється на

(3.90)

де  – середній безрозмірний перепад температури в момент часу τ₁, t_сер1 – середня температура по товщині пластини в момент часу τ₁.

Величину τ_сер у відповідності до теореми про середнє можна визначити з виразу

(3.91)

Підставляючи значення ? з рівняння (3.79), після інтегрування матимемо:

(3.92)

де N_i – коефіцієнт, що залежить від Ві.

Рис.3.10. До визначення величини N_i

При значеннях числа Fo ? 0,3 (3.92) стає швидкозбіжним і для розв’язку практичних задач обмежуються першим членом ряду:

(3.93)

Значення коефіцієнта N_i приведені на рис.3.10.

3.4. Вплив чисел Біо і Фур’є на температурне поле в пластині

При великих значеннях чисел Біо (Ві→ ∞) власні числа приймають значення  (див. рис.3.6):  при цьому 

За цих умов рівняння (3.79) приймає наступний вид:

З цього виразу виходить, що для поверхні пластини (х( = 1)

(3.94)

Розподіл температури в інших точках пластини залежить від співвідношення внутрішнього і зовнішнього термічних опорів. якщо ?/? >> 1/?, то температура поверхні з самого початку процесу стає рівною температурі гріючої рідини t_р, тоді граничні умови ІІІ роду переходять в умови І роду. При ?/? << 1/? мають місце малі значення числа Біо (Ві ? 0). За цієї умови п₁? 0; п₂? ?;...; п_і? (і – 1)? і тоді з рівняння (3.77) слідує, що:

і тобто температура за товщиною пластини в довільний момент часу оказується однаковою і постійною.

?

Рис.3.11. Зміна температурного поля в необмеженій пластині при великих числах Біо

Рис.3.12. Зміна температурного поля в необмеженій пластині при малих числах Біо ?

При Ві > 0, але значно менше одиниці, tg п₁ ≈ п₁ і з трансцендентного рівняння п₁/Ві = 1/tg п₁ слідує, що п₁ ≈ Ві^0,5. Тому при Ві << 1

(3.95)

зміна поля температури відбувається в основному в часі.

На рис.3.11 і 3.12 представлений характер зміни температурного поля для різних випадків зміни числа Ві. Виконані розрахунки показують, що зміна температурного поля, подані на рис.3.11, має місце при Ві ≥ 100, а умова Ві <<1 виконується практично при Ві ≤ 0,1 (рис.3.12).

Вплив числа Фур’є (Fo) проявляється на полі температур наступним чином: при зменшенні Fo збіжність ряду в рівнянні (3.79) покращується. Як уже говорилося, для значення Fo ? 0,3 ряд можна замінити його першим членом (3.80):

(3.96)

Область виродження формули (3.79) і (3.80) називається регулярним температурним режимом, при цьому поле перепаду температур залишається подібним самому собі у всі послідуючі моменти часу. Такий процес називається автомодельним у часі.

3.5. Теплопровідність у тілах, утворених перерізом пластин

Такі тіла, як прямокутні бруски, паралелепіпеди, можна розглядати як результат перерізу двох чи трьох взаємно перпендикулярних пластин, які мають такі самі умови однозначності, що і відповідні їм поверхні розглядуваного тіла.

Розглянемо температурне поле прямокутного бруска, який складається з однорідного ізотропного матеріалу. Брус являє собою переріз двох необмежених пластин. Нестаціонарне поле надлишкових температур при нагріванні бруса підпорядковується рівнянню Фур’є

(3.97)

де J = t_p – t.

Початкові і граничні умови для пластин приймаються однаковими для

–δ_х ≤ х ≤ +δ_х;

                                                  –δ_у ≤ у ≤ +δ_у;

                                     J = J₀ = t_p – t₀  при τ = 0;

 (3.98)

                                  λдJ/дх+αJ = 0   при х = δх;

 (3.99)

                           дJ/дх = 0  при х = 0,  –δ_у ≤ у ≤ +δ_у;

 (3.100)

Докажемо, що безрозмірний перепад температур бруса дорівнює добутку безрозмірних перепадів температур в пластинах:

                                                       Θ = Θ_х · Θ_у (3.101)

де

(3.102)

(3.103)

Перепишемо вираз (3.101) в такому виді:

J = J_хJу/J₀. (3.104)

Підставляючи останнє рівняння (3.104) в (3.97), отримаємо

(3.105)

Рівність нулю всього виразу слідує з рівності нулю виразів в дужках, тому

J_х і J_у є розв’язками відповідних диференціальних рівнянь для пластини:

                     J_хJ_у/J₀ = 0 при τ → ∞, тому що J_х→ 0 і J_у→ 0 при  τ → ∞;

при  (3.106)

при (3.107)

 при х = 0; (3.108)

 при у = 0. (3.109)

Останнє справедливо, оскільки похідні дорівнюють нулю внаслідок симетрії температурного поля у кожній окремо розглядуваній пластині.

Таким чином, вираз (3.101) задовольняє диференціальне рівняння, початкові і граничні умови и, як наслідок, є розв’язком задачі.

Рис.3.13. Схема до розрахунку температурного поля паралелепіпеда

Аналогічний результат можна отримати при розгляді температурного поля паралелепіпеда (рис.3.13), для якого безрозмірний перепад запишеться так:

При визначенні температури в характерних точках – центра паралелепіпеда, центра граней – можна використати наведені раніше графіки (див. рис.3.7 і 3.8) для знаходження ?_х, ?_у, ?_z.

Наведений приклад розв’язку задачі для тіл кінцевих розмірів можна застосувати і для визначення температурного поля в циліндрі кінцевої довжини, який являє собою тіло, отримане внаслідок перерізу необмежених циліндра і пластини.