6.2. Вимушена конвекція при ламінарному режимі течії

6.2.1. Теплообмін і масообмін при обтіканні пластини потоком нестисливої рідини

Розглянемо на половину обмежену, яку в повздовжньому напрямку обтікає стаціонарний потік нестисливої рідини з постійними фізичними властивостями. Приймаємо температуру поверхні пластини постійною і рівною Т_ст. Вважаємо, що з поверхні пластини відбувається дифузія речовини, але інтенсивність дифузії така, що пластину можна вважати непроникливою. Концентрацію дифундованої речовини на стінці С_ст вважаємо постійною.

Рис.6.4. Схема обтікання пластини

Розмістимо початок координат у передній точці пластини (рис.6.4), ось х спрямуємо вздовж пластини. Тому що пластина дуже тонка і розташована вздовж потоку, то можна прийняти, що dp/dx = 0.

У цьому випадку диференціальні рівняння пограничного шару (6.2), (6.5), (6.7) і (6.19) (без урахування дисипації енергії і термодифузії):

(6.65)

граничні умови:

Аналіз рівнянь (6.65) дозволяє зразу виявити відповідність між розподілом швидкості, температури і концентрації у пограничному шарі при обтіканні пластини, якщо числа Pr = Le = Sc = 1. У цьому випадку рівняння динамічного, теплового і дифузійного пограничних шарів стають ідентичними, а це значить, що при малих швидкостях обтікання пластини потоком нестислої рідини і при наявності тепломасообміну розподіл швидкостей, температур і концентрацій в пограничному шарі подібні:

Цей результат має важливе практичне значення, тому що для більшості газів значення Pr, Le і Sc близькі до одиниці.

При течії нестисливої рідини з постійними фізичними властивостями поле швидкостей не залежить від температурного поля і поля концентрацій. Тому спочатку можна розв’язати рівняння руху, а отримані результати використати при вирішенні рівнянь енергії і дифузії.

У поставленій задачі обтікання безмежної пластини відсутня характерна довжина, тому можна вважати, що певним чином підібрані масштаби профілю повздовжньої швидкості подібні на різних відстанях від передньої кромки пластини. За масштабну величину для швидкості виберемо швидкість потенціальної течії wҐ, а за масштаб поперечної довжини – товщину пограничного шару d. Тоді умову подібності профілів швидкості можна записати у такому виді:

де h = у/d.

Функція j повинна бути одною і тою ж для всіх відстаней. Раніше, оцінюючи товщину пограничного шару, знайшли (6.37):

Тому за масштаб для у можна прийняти звідки

(6.66)

Введемо функцію току Y(х, у), яка задовольняє рівняння нерозривності, вважаючи що

(6.67)

Наслідуючи Блазіусу, знаходимо масштаб для функції току:

Введемо у цей вираз безрозмірні змінні j(h) і h, отримаємо

(6.68)

де f(h) – безрозмірна функція току.

З урахуванням цього

(6.69)

(6.70)

Підставляючи отримані вирази в рівняння руху і виконавши певні скорочення, знайдемо:

(6.71)

з граничними умовами: h = 0 f = 0, fў = 0; h = Ґ f ў= 1.

Рівняння (6.71) є звичайним нелінійним диференціальним рівнянням третього порядку. Рівняння можна розв’язати чи шляхом розкладання в ряд функції f(h), чи числовими методами. У табл.6.2 наведені значення функції f(h) і її похідних. Криві зміни швидкостей w_x і w_y, розрахованими за даними таблиці, наведені відповідно на рис.6.5 і 6.6.

Таблиця 6.2. Залежність функції f(h) і її похідних для пограничного шару на плоскій пластині, яка обтікає повздовжнім потоком

На рис.6.5 розрахункова крива порівнюється з експериментальними даними досліджень Нікурадзе. Результати розв’язку дозволяють отримати усі необхідні характеристики динамічного пограничного шару. Так, напруга на стінці становить:

(6.72)

З твбл.6.2 знаходимо fІ = 0,332, тоді дотична напруга на стінці буде:

(6.73)

а місцевий коефіцієнт тертя

  (6.74)

Рис.6.5. Розподіл швидкостей у ламінарному пограничному шарі на пластині:

o – за даними Нікурадзе; ––––– – розрахунок за Блазіусом

Рис.6.6. Поперечна швидкість в пограничному шарі

Рис.6.7. Місцевий коефіцієнт тертя С_f0 плоскої пластини, яка обтікає у повздовжньому напрямку:  – вимірювання дотичної напруги на стінці за профілем швидкості; · – прямі виміри дотичної напруги на стінці

На рис. 6.7 співставленні дослідні дані з тертя на плоскій пластині з розрахунковим по формулі (6.74).

Аналогічно можна розрахувати всі інші характеристики пограничного шару. Так, прийнявши за товщину пограничного шару ту відстань від стінки, на якій w_x = 0,99wҐ, з табл.6.2 знайдемо, що h ~ 5,0. Отже товщина пограничного шару становитиме:

Товщину витіснення можна визначити з наступного рівняння:

де значення h₁ відповідає довільному значенню точки, яка знаходиться за межами пограничного шару. З табл.6.2 знаходимо

= 1,73,

тому

(6.75)

Аналогічним чином визначаємо товщину втрати імпульсу:

(6.76)

З рівнянь (6.74), (6.76) можна знайти залежність коефіцієнта тертя від числа Рейнольдса, побудованого за товщиною втрат імпульсу:

(6.77)

Перейдемо тепер до розв’язку рівняння енергії. Підставимо значення w_x і w_y, які визначені з співвідношень (6.69) і (6.70), в рівняння енергії (6.65) і ввівши відношення різниці температур

(6.78)

отримаємо звичайне диференціальне рівняння

(6.79)

з граничними умовами: при h = 0 J = 0; при h = Ґ J = 1. (6.80)

Це рівняння можна інтегрувати шляхом розділення змінних:

Сталі інтегрування визначаються з граничних умов. З першої граничної умови (6.80) отримуємо С₂ = 0. З другої граничної умови слідує наступне

За цих умов:

(6.81)

Рівняння у такому вигляді вперше було отримане Польгаузеном. Відмічаючи, що в (6.71)

а

і що

отримаємо розв’язок рівняння (6.81) у кінцевому виді:

(6.82)

При Pr = 1 з (6.82) слідує

що відображає подібність розподілу безрозмірної температурної різниці J і швидкості в довільному перерізі пограничного шару.

Для визначення локального коефіцієнта тепловіддачі використаємо рівняння

звідки

(6.83)

Температурний градієнт на стінці

(6.84)

Величину відносного градієнту температури знайдемо шляхом диференціювання рівняння (6.82):

(6.85)

Значення a₁(Pr) розраховані Польгаузеном для різних чисел Pr:

Величина a₁(Pr) надійно апроксимується наступною залежністю:

(6.86)

Підставляючи значення дТ/дh з урахуванням залежності (6.86) в рівняння (6.83), отримаємо

(6.87)

Середнє значення коефіцієнта тепловіддачі на довжині L можна знайти з рівняння:

(6.88)

Якщо ввести у формули (6.87) і (6.88) безрозмірні коефіцієнти тепловіддачі у формі числа Нуссельта і числа Re_L = r_ҐwҐL/m_Ґ знайдемо:

(6.89)

(6.90)

Використовуючи рівняння (6.89), можна отримати закон теплообміну. Інтегральне рівняння енергії для розглядуваних умов DТ = const, wҐ = const запишеться в такому виді:

(6.91)

З рівняння (6.89) слідує, що

(6.92)

Підставляючи (6.92) у рівняння (6.91) після інтегрування, отримуємо закон теплообміну для ламінарного пограничного шару:

(6.93)

Аналогічним чином можна розв’язати рівняння дифузійного пограничного шару. Введемо в рівняння (6.65) відношення різниць концентрацій і, використовуючи формули (6.69) і (6.70), отримаємо:

(6.94)

З граничними умовами: при h = 0 `С = 0; при h = Ґ `С = 1. (6.95)

Таким чином, рівняння дифузії (6.94) з граничними умовами (6.95) тотожне рівнянню енергії (6.79), (6.80). Тому результати рішення рівняння енергії можна безпосередньо використати для дифузійної задачі.

Так, формула для дифузійного числа Стентора має вид

. (6.96)

відповідно закон масообміну для ламінарного пограничного шару можна розрахувати за наступним рівнянням:

(6.97)

З формул (6.74), (6.92) і (6.96) випливає зв’язок між тертям, теплообміном і масообміном:

(6.98)

6.2.2. Автомодельні рішення рівнянь динамічного, теплового і дифузійного пограничного шару

Автомодельні рішення динамічного пограничного шару нестисливої рідини можна отримати і для градієнтної течії рідини, якщо швидкість на зовнішній границі пограничного шару змінюється за степеневим законом

 wҐ = Cx^m. (6.99)

Рис.6.8. Сімейство течій біля плоских і клиновидних тіл

На рис.6.8 наведені деякі випадки плоских течій, які задовольняють цю залежність, у цьому випадку

(6.100)

Градієнт тиску на зовнішній границі пограничного шару з урахуванням рівняння Бернуллі і залежності (6.99) має вид:

Отже, рівняння руху пограничного шару можна записати в наступній формі:

(6.101)

Автомодельний розв’язок рівняння (6.101) шукаємо у тих же змінних, як і для окремого випадку обтікання плоскої пластини (т = 0):

(6.102)

З урахуванням рівняння нерозривності (6.66) і рівняння (6.99) можна отримати:

(6.103)

Підставляючи залежності (6.103) і (6.102) у рівняння (6.101), після перетворень отримаємо звичайне диференціальне рівняння, яке свідчить про існування автомодельного розв’язку:

(6.104)

Граничні умови залишаються тими ж, що і в попередній задачі:

f(0) = 0, fў (0) = 0, fў (Ґ) = 1. (6.105)

Деякі результати числового рішення рівняння (6.104) наведені в табл.6.3.

Таблиця 6.3. Розв’язок рівняння руху ламінарного пограничного шару з постійними фізичними властивостями на непроникливій стінці wҐ = Cx^m

Коефіцієнт тертя визначається по формулі

Рівняння теплового і дифузійного пограничних шарів для випадку wҐ = Cx^m також мають автомодельні рішення, в чому можна переконатися після того, як підставити формули (6.103) у рівняння (6.65). Після перетворень отримуємо звичайні диференціальні рівняння у вигляді рівнянь (6.79) і (6.94). Розв’язок цих рівнянь при граничних умовах (6.80) і (6.95) залишається таким самим, як і для випадку обтікання плоскої пластини (6.82), тільки функція f береться з автомодельних рішень динамічного пограничного шару.

Значення комплексу NuRe^–1/2 = K(Pr, m), отримані внаслідок розрахунків за рівнянням

(6.106)

для деяких окремих випадків наведені в табл.6.4.

Таким чином, для розглядуваних умов при даному значенні т і Pr комплекс Nu_хRe_х^–1/2 залишається постійним:

Nu_хRe_х^–1/2 = const.

У цьому випадку

(6.107)

З формули (6.107) виходить, що біля критичної точки (т = 1) коефіцієнт тепловіддачі залежить від х і залишається постійним. При m < 1 (сповільнення потоку) і т = 0 (обтікання пластини) коефіцієнт тепловіддачі a_х = Ґ при х = 0 і зменшується зі збільшенням х. При т > 1 a_х = 0; при х = 0 і при послідовному рості х збільшується.

Таблиця 6.4 Значення комплексу Nu_хRe_х^–1/2 при різних числах Pr. Теплообмін у ламінарному пограничному шарі з постійними фізичними властивостями (Т_ст, ТҐ – постійні, wҐ = Cx^m)

Автомодельний розв’язок рівнянь теплового і дифузійного пограничних шарів можна отримати і для більш складних граничних умов, коли

З урахуванням цих граничних умов рівняння теплового і дифузійного пограничних шарів перетворюються у звичайні диференціальні рівняння:

(6.108)

Рівняння (6.108) було інтегроване числовим методом для різних значень g, Pr (Sc) і т. У табл. 6.5 наводяться результати розрахунку параметрів (дJ/дh)h₌₀, (д`С/дh)h₌₀, які характеризують відповідно тепловіддачу і масообмін.

Таблиця 6.5. Значення похідної (дJ/дh)h₌₀,отриманої внаслідок числового розв’язку рівняння (6.108) при різних значеннях g, b і Pr

Закінчення табл.6.5

Необхідно зауважити, що при g = 1/(b – 2) коефіцієнти тепловіддачі і масовіддачі рівні нулю при будь-яких значеннях Pr, Sc і b.

Для загального випадку довільного значення g маємо:

(6.109)

Рис.6.9. Залежність тепловіддачі від параметрів b і g при Pr = 0,7: ––––– – за формулою (6.109);

- - - - - - – за формулою (6.118)

На рис.6.9 наведена залежність параметра Nu_хRe_х^–1/2 від g при різних b. З цього рисунка слідує, що при збільшенні показника степеня від від’ємних значень до додатних коефіцієнт тепловіддачі і масовіддачі при даному значенні b стрімко збільшується. Для довільного значення b існує від’ємне значення g, при якому місцева тепловіддача (і масовіддача) на всій поверхні тіла дорівнює нулю.

При малих від’ємних значеннях b, аж до граничного випадку відриву пограничного шару (–0,199), це значення g знаходиться біля g = – 1/2.