6.3.4. Íàï³âåìï³ðè÷í³ òåî𳿠òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó

 

ßê áóëî ïîêàçàíî ðàí³øå, ð³âíÿííÿ ñèñòåìè (6.197) â³äð³çíÿþòüñÿ â³ä â³äïîâ³äíèõ ð³âíÿíü ëàì³íàðíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó äîäàòêîâèìè ÷ëåíàìè , ÿê³ ìîæíà òëóìà÷èòè ÿê äîäàòêîâ³ Ðåéíîëüäîâ³ íàïðóæåííÿ òóðáóëåíòíîãî òåðòÿ ³ ñêëàäîâ³ ïîòîêó òåïëîòè ³ ìàñè, ùî âèíèêàþòü çà ðàõóíîê òóðáóëåíòíîñò³.

Íàçâàí³ òóðáóëåíòí³ ñêëàäîâ³ ïåðåíîñó íå ìîæíà âèçíà÷èòè øëÿõîì ðîçâ’ÿçêó ñèñòåìè ð³âíÿíü (6.197) ³ ãðàíè÷íèõ óìîâ ñêëàäåíèõ äëÿ ñåðåäí³õ çíà÷åíü âåëè÷èí. Òîìó âèíèêëî ïèòàííÿ ïðî íåîáõ³äí³ñòü ââåäåííÿ ã³ïîòåç íå çâ’ÿçàíèõ ç ð³âíÿííÿìè îñåðåäíåíîãî òóðáóëåíòíîãî ðóõó. Ö³ ã³ïîòåçè, ÿê³ äîçâîëÿþòü ç äîñòàòíüîþ äëÿ ïðàêòè÷íèõ ðîçðàõóíê³â òî÷í³ñòþ âèð³øóâàòè ïåâí³ çàäà÷³ ïîãðàíè÷íîãî øàðó, çàêëàäåíî â îñíîâó ñïåö³àëüíîãî íàïðÿìêó ðîçâèòêó òåî𳿠òóðáóëåíòíîñò³ – òàê íàçâàíî¿ íàï³âåìï³ðè÷íî¿ òåî𳿠òóðáóëåíòíîñò³. Ö³ ã³ïîòåçè çâ’ÿçóþòü òóðáóëåíòíó â’ÿçê³ñòü ³ òåïëîâèé ïîò³ê ç ïàðàìåòðàìè îñåðåäíåíî¿ òå÷³¿.

Ïåðåíîñ ³ìïóëüñó. Äëÿ òóðáóëåíòíîãî íàïðóæåííÿ òåðòÿ òàêà ã³ïîòåçà áóëà âèñëîâëåíà Áóññ³íåñêîì, ÿêèé çàïðîïîíóâàâ âèçíà÷àòè òóðáóëåíòíå òåðòÿ âèðàçîì, àíàëîã³÷íèì ôîðìóë³ Íüþòîíà:

äå Àτ – êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíîãî îáì³íó. Âåëè÷èíà Àτ íà â³äì³íó â³ä ëàì³íàðíî¿ â’ÿçêîñò³ çàëåæèòü â³ä ðÿäó âåëè÷èí, ó òîìó ÷èñë³ ³ â³ä ðîçïîä³ëó îñåðåäíåíî¿ øâèäêîñò³ w(x.

Íà çâ’ÿçîê ì³æ êîåô³ö³ºíòîì òóðáóëåíòíîãî îáì³íó ³ ïîëåì îñåðåäíåíèõ øâèäêîñòåé âïåðøå âêàçàâ Ïðàíäòëü. Äëÿ âèêëàäó ³äåé Ïðàíäòëÿ ðîçãëÿíåìî âèïàäîê ïëîñêî¿ òå÷³¿ íåñòèñëèâî¿ ð³äèíè. Ïðèéìåìî, ùî íàïðÿìîê îñåðåäíåíîãî ðóõó ñï³âïàäຠç â³ññþ õ, òîä³ w(x = w(x(ó); w(ó = 0; w(z = 0. Íàïðóãà òåðòÿ ó öüîìó âèïàäêó âèðàæàºòüñÿ ôîðìóëîþ:

(6.204)

Ðèñ.6.27. Äî ïîÿñíåííÿ ïîíÿòòÿ äîâæèíà øëÿõó ïåðåì³øóâàííÿ

Çã³äíî ç Ïðàíäòëåì, íîðìàëü äî ë³í³¿ òå÷³¿ îñåðåäíåíîãî ðóõó ïóëüñàö³¿ øâèäêîñò³ υó ïîâèííà áóòè îäíîãî ïîðÿäêó ç ïîâçäîâæíüîþ ïóëüñàö³ºþ øâèäêîñò³ υõ ³ ïðîïîðö³îíàëüíà ð³çíèö³ øâèäêîñòåé ì³æ øàðàìè (ðèñ.6.27):

ßêùî ï³äñòàâèòè îòðèìàíèé âèðàç â ð³âíÿííÿ (6.204), îòðèìàºìî ôîðìóëó Ïðàíäòëÿ:

Ïðàíäòëü íàçâàâ ïàðàìåòð äîâæèíîþ çì³øóâàííÿ, âèõîäÿ÷è ç öüîãî ³ íàï³âåìï³ðè÷íà òåîð³ÿ Ïðàíäòëÿ îòðèìàëà íàçâó òåî𳿠øëÿõó çì³øóâàííÿ.

Ôîðìóëó Ïðàíäòëÿ ìîæíà îòðèìàòè ìåòîäîì òåî𳿠ðîçì³ðíîñò³, ÿêùî ââàæàòè, ùî â òóðáóëåíòíîìó ïîòîö³ ìîæíà çíåõòóâàòè 䳺þ ìîëåêóëÿðíî¿ â’ÿçêîñò³ â ïîð³âíÿíí³ ç òóðáóëåíòíîþ. Êîåô³ö³ºíò òóðáóëåíòíî¿ â’ÿçêîñò³ Àτ, ùî âõîäèòü â ð³âíÿííÿ (6.204), â çàãàëüíîìó âèïàäêó ïîâèíåí áóòè ôóíêö³ºþ ãóñòèíè ³ ðîçïîä³ëó îñåðåäíåíî¿ øâèäêîñò³, òîáòî ñóêóïíîñò³ çíà÷åíü ïîõ³äíèõ: Ââàæàþ÷è â ïåðøîìó íàáëèæåíí³, ùî êîåô³ö³ºíò Àτ ìîæíà ïðåäñòàâèòè äîáóòêîì ñòåïåíåâî¿ ôóíêö³¿ ³ ïåðøî¿ ïîõ³äíî¿ øâèäêîñò³:

(6.205)

Âèçíà÷èìî ïîêàçíèêè ñòåïåí³ à ³ b ìåòîäîì òåî𳿠ðîçì³ðíîñò³. Ðîçì³ðíîñò³ ìàñè, äîâæèíè ³ ÷àñó – M, L, ³ Ò, òîä³ ðîçì³ðíîñò³ ô³çè÷íèõ âåëè÷èí, ÿê³ âõîäÿòü â ð³âíÿííÿ, âèðàæàþòüñÿ òàê:

ϳäñòàâèâøè îòðèìàí³ ðîçì³ðíîñò³ â ð³âíÿííÿ (6.205), îòðèìàºìî

ÌL–1T–1 = [ML–3]a[T–1]b = MaL3aTb.

Ïîð³âíþþ÷è ïîêàçíèêè ñòåïåíÿ îäíîéìåííèõ ðîçì³ðíîñòåé, îòðèìàºìî ñèñòåìó ð³âíÿíü äëÿ âèçíà÷åííÿ ïîêàçíèêà ñòåïåíÿ ñèñòåìè à = 1, à = 1/3, b = 1. Öþ ñèñòåìó ð³âíÿíü íå ìîæíà âèêîíàòè, ùî ñâ³ä÷èòü ïðî ô³çè÷íó íåìîæëèâ³ñòü çâ’ÿçê³â ó ñèñòåì³ òèïó (6.205). Äîïîâíèìî çàëåæí³ñòü (6.205) ìíîæíèêîì, ÿêèé ì³ñòèòü â ñîá³ äîâæèíó â ñòåïåí³ ñ:

Âèêîíàâøè àíàëîã³÷í³ ä³¿, çíàéäåìî íàñòóïíó ñèñòåìó ð³âíîñòåé ñ – 3à = 1; b = 1; a = 1, ÿêà ìຠä³éñíèé ðîçâ’ÿçîê à = 1, b = 1, c = 2. Îòæå Òîä³ îñòàíí³é âèðàç íàáóâຠâèãëÿäó:

(6.206)

òîìó ùî äîòè÷íà íàïðóãà âèçíà÷àºòüñÿ çíàêîì ïîõ³äíî¿.

Ìåòîäèêà, ïðèéíÿòà Ïðàíäòëåì, ÿê âèÿñíèëîñÿ ï³çí³øå, íå º ô³çè÷íî îá´ðóíòîâàíîþ, òîìó ùî â ä³éñíîñò³ â òóðáóëåíòíîìó ïîòîö³ ïåðåíîñ ³ìïóëüñó çä³éñíþºòüñÿ ñïåêòðîì ïóëüñàö³é. Àëå öÿ ã³ïîòåçà ìຠñåíñ ïðè ðîçðàõóíêó îñåðåäíåíèõ ïàðàìåòð³â òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó.

Ðîçãëÿäàþ÷è ïëîñêó òóðáóëåíòíó òå÷³þ íåñòèñëèâî¿ ð³äèíè ³ ìàþ÷è íà óâàç³, ùî íà ñò³íö³ òóðáóëåíòíà íàïðóãà äîð³âíþº íóëþ (â³äñóòí³é ïóëüñàö³é íèé ðóõ), ìîæíà ââàæàòè, ùî â ïîãðàíè÷íîìó øàð³ äîâæèíà øëÿõó çì³øóâàííÿ ïðîïîðö³éíà â³äñòàí³ â³ä ñò³íêè:

 = χó, (6.207)

äå χ – ïåâíà óí³âåðñàëüíà ñòàëà, ÿêà âèçíà÷àºòüñÿ äîñë³äíèì øëÿõîì.

Ç óðàõóâàííÿì çàëåæíîñò³ (6.207) ð³âíÿííÿ (6.206) íàáóâຠâèãëÿäó

(6.208)

Ìàñøòàáíó â³äñòàíü ìîæíà óòâîðèòè ³ ³íøèì ñïîñîáîì. Íàïðèêëàä, â³äíîøåííÿì ïåðøî¿ ïîõ³äíî¿ äî äðóãî¿ ïîõ³äíî¿ îñåðåäíåíî¿ øâèäêîñò³ çà êîîðäèíàòîþ, ùî äàñòü ïåâíó õàðàêòåðèñòèêó äîâæèíè øâèäê³ñíîãî ïîëÿ. Òàêèì ÷èíîì, ïðèéìàþ÷è

(6.209)

îòðèìàºìî âèðàç

(6.210)

Çíàê ì³íóñ ó âèðàç³ (6.209) íåîáõ³äíèé äëÿ òîãî, ùîá á³ëÿ ñò³íêè áóëî > 0, äå

Ôîðìóëà (6.210) âïåðøå áóëà çàïðîïîíîâàíà Êàðìàíîì.

Ïåðåíîñ òåïëîòè ³ ìàñè. Ó ïëîñêîìó òóðáóëåíòíîìó ïîòîö³ íåñòèñëèâî¿ ð³äèíè âèðàç äëÿ ïîòîêó òåïëîòè ³ ìàñè, âèêëèêàíîãî òóðáóëåíòíèì ïåðåì³øóâàííÿì, ìຠâèãëÿä:

Öå çíà÷èòü, ùî ïóëüñàö³¿ υó ïåðåíîñÿòü ê³ëüê³ñòü òåïëîòè ³ ìàñè â íàïðÿìêó ïåðïåíäèêóëÿðíîìó äî îñíîâíî¿ òå÷³¿. Òîìó çà àíàëî㳺þ ç ïðîöåñ ïåðåíåñåííÿ ³ìïóëüñó ìîæíà ââàæàòè, ùî

à öå ïðèâîäèòü äî ã³ïîòåçè, àíàëîã³÷í³é ã³ïîòåç³ Ïðàíäòëÿ äëÿ ïåðåíîñó ³ìïóëüñó:

(6.211)

äå Ò, D – ïåâí³ ë³í³éí³ ìàñøòàáè, ó çàãàëüíîìó âèïàäêó íå ð³âí³ .

Ââîäÿ÷è êîåô³ö³ºíòè òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó òåïëîòè Aq ³ ìàñè ÀD, ïîòîêè òåïëîòè ³ ìàñè ìîæíà çàïèñàòè çà àíàëî㳺þ ç âèðàçîì (6.204) ó âèãëÿä³

(6.212)

 îñíîâ³ òåî𳿠òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó çíàõîäèòüñÿ ³äåÿ ïðî òå, ùî îäí³ ³ ò³ æ îá’ºìè, ÷è ìîë³ ð³äèíè, îäíî÷àñíî ïåðåíîñÿòü ê³ëüê³ñòü ðóõó, òåïëîòè ³ ³íø³ ñóáñòàíö³¿. Ïðè öüîìó ìîæíà ââàæàòè, ùî â öüîìó âèïàäêó êîåô³ö³ºíòè ïåðåíîñó Àτ, Àq, AD  ïîâèíí³ áóòè ð³âí³ ì³æ ñîáîþ. Öå ìîæëèâî, ÿêùî ï³ä ÷àñ ïåðåíîñó ìîë³ íå âçàºìîä³þòü ç îòî÷óþ÷èì ñåðåäîâèùåì. Ó ä³éñíîñò³ öå íå òàê: ìîë³ ïðè ñâîºìó ïåðåì³ùåíí³ âçàºìîä³þòü ç îòî÷óþ÷èì ñåðåäîâèùåì. Ïðè öüîìó ð³çíèöÿ â êîåô³ö³ºíòàõ ïåðåíîñó îáóìîâëþºòüñÿ ñïåöèô³êîþ ìîëåêóëÿðíî¿ âçàºìî䳿 (äèíàì³÷íî¿, òåïëîâî¿ òà ³í.) ì³æ íîñ³ºì ³ ñåðåäîâèùåì.

Òîìó, ÿê ³ â âèïàäêó ëàì³íàðíî¿ òå÷³¿, çâ’ÿçîê ì³æ ìåõàí³çìàìè òóðáóëåíòíîãî ïåðåíîñó ê³ëüêîñò³ ðóõó, òåïëîòè ³ ìàñè õàðàêòåðèçóþòüñÿ òóðáóëåíòíèìè ÷èñëàìè ïîä³áíîñò³ PrT ³ ScT:

Çà âèì³ðàìè ð³çíèõ àâòîð³â ö³ âåëè÷èíè äëÿ óìîâ ïðèñò³ííî¿ òóðáóëåíòíîñò³ áëèçüêà äî îäèíèö³ (~ 0,9).

 

6.3.5. Ðîçïîä³ë øâèäêîñòåé, òåìïåðàòóð ³ êîíöåíòðàö³é â ïëîñêîìó ïîãðàíè÷íîìó øàð³

 

Åìï³ðè÷í³ çàêîíè Ïðàíäòëÿ (6.208) ³ êàðìàíà (6.210) îòðèìàòè çàêîíè ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé â òóðáóëåíòíîìó ïîãðàíè÷íîìó øàð³.  îñíîâ³ ñó÷àñíèõ óÿâëåíü ïðî ñòðóêòóðó òóðáóëåíòíîãî ïðèñò³ííîãî øàðó ëåæèòü ïîä³ë ïîãðàíè÷íîãî øàðó íà òðè îáëàñò³, ÿê³ â³äð³çíÿþòüñÿ ì³æ ñîáîþ õàðàêòåðîì ðóõó ð³äèíè.

Áåçïîñåðåäíüî á³ëÿ ñò³íêè ³ñíóº îáëàñòü â’ÿçê³ñíîãî ï³äøàðó òîâùèíîþ ïîðÿäêó 1 % â³ä çàãàëüíî¿ òîâùèíè øàðó, â ÿê³é îñíîâíó ðîëü â³ä³ãðຠïðîöåñ ìîëåêóëÿðíîãî ïåðåíîñó. Â’ÿçêèé ï³äøàð ç’ºäíóºòüñÿ ç ïîâí³ñòþ ðîçâèíåíîþ ÷àñòèíîþ ïîãðàíè÷íîãî øàðó ïåðåõ³äíîþ îáëàñòþ.  ïåðåõ³äí³é îáëàñò³ ðóõó ëàì³íàðí³ íàïðóæåííÿ òåðòÿ ñï³â ðîçì³ðí³ ç òóðáóëåíòíèìè.  ïîâí³ñòþ ðîçâèíåí³é îáëàñò³ òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó òóðáóëåíòíå òåðòÿ ìຠâèð³øàëüíå çíà÷åííÿ.

Ïîâíå íàïðóæåííÿ òåðòÿ â òóðáóëåíòíîìó ïîãðàíè÷íîìó øàð³ çã³äíî ð³âíÿííþ ðóõó, ìîæíà ïîäàòè â òàêîìó âèãëÿä³

ϳäñòàâèâøè ó öåé âèðàç çíà÷åííÿ τÒ, ÿêå âèçíà÷àºòüñÿ ð³âíÿííÿì (6.206), îòðèìàºìî

(6.213)

 îáëàñò³ â’ÿçêîãî ï³äøàðó 0< y < y0

(6.214)

Ïðåäñòàâèìî ð³âíÿííÿ (6.213) ³ (6.214) â áåçðîçì³ðíîìó âèãëÿä³

(6.215)    

äå

(6.216)

öå òàê íàçâàíà äèíàì³÷íà øâèäê³ñòü (øâèäê³ñòü òåðòÿ).

Ìàþ÷è íà óâàç³ ñï³ââ³äíîøåííÿ (6.215) ³ (6.216), ïåðåïèøåìî ð³âíÿííÿ äëÿ äîòè÷íèõ íàïðóã (ïðè dp/dx = 0):

äëÿ â’ÿçêîãî ï³äøàðó 0 < η < η0

(6.217)

äëÿ îáëàñò³ η > η0

(6.218)

ßêùî ïðèéíÿòè, ùî ó â’ÿçêîìó ï³äøàð³ τ = τñò, òî ç ð³âíÿííÿ (6.217) âèõîäèòü, ùî

φ = η. (6.219)

Ðîçãëÿíåìî îáëàñòü ïîâí³ñòþ ðîçâèíåíîãî òóðáóëåíòíîãî øàðó, äå τÒ>>τλ. Íàñë³äóþ÷è Ïðàíäòëþ, çðîáèìî ïðèïóùåííÿ, ùî ïîâíà äîòè÷íà íàïðóãà ïîïåðåê ïîãðàíè÷íîãî øàðó ïîñò³éíà ³ ð³âíà çíà÷åííþ íà ñò³íö³; òîä³ ð³âíÿííÿ (6.218) íàáóâຠâèãëÿä

(6.220)

³íòåãðàë ÿêîãî

(6.221)

äå ³íäåêñîì “1” ïîçíà÷åí³ âåëè÷èíè, ÿê³ â³äíîñÿòüñÿ äî çîâí³øíüî¿ ãðàíèö³ ïåðåõ³äíî¿ îáëàñò³. Äëÿ ñïðîùåííÿ ðîçðàõóíê³â ïðèéìàºìî äâîøàðîâó ñõåìó ïîãðàíè÷íîãî øàðó. Ó öüîìó âèïàäêó ëàì³íàðíèé ïðîô³ëü ìîæíà ðîçïîâñþäèòè äî çîâí³øíüî¿ ãðàíèö³ ïåðåõ³äíîãî øàðó, òîä³ φ1 = η1.

Ðèñ.6.28. Óí³âåðñàëüíèé ëîãàðèôì³÷íèé çàêîí ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé â òóðáóëåíòíîìó ïîãðàíè÷-íîìó øàð³ íà ïëîñê³é ïëàñ-òèí³: 1 – â³äïîâ³äຠçàëå-æíîñò³ φ = η; 2 – çà (6.224);3 ³ 4 – ñòåïåíåâà çàëåæí³ñòü (6.226) ïðè ï=7 ³ 10 â³äïîâ³äíî

Íà ðèñ.6.28 íàâåäåíèé çàêîí ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé ïðè òóðáóëåíòíîìó ðóñ³ ð³äèíè â ïîãðàíè÷íîìó øàð³ íà ïëîñê³é ïëàñòèí³. Äîñë³äí³ äàí³, ïðåäñòàâëåí³ íà öüîìó ðèñóíêó, äîçâîëÿþòü ðîçðàõóâàòè χ ³ η1:

χ = 0,4 ³  η1 = 11,6. (6.222)

гâíÿííÿ (6.221) çðó÷íî çàïèñàòè â íàñòóïíîìó âèãëÿä³

(6.223)

äå

ϳäñòàâëÿþ÷è çíà÷åííÿ (6.222) â (6.223), îòðèìàºìî ê³íöåâèé âèðàç

                                                 φ = 2,5lnη + 5,5. (6.224)

Öüîìó çàêîíó ìîæíà íàäàòè ³ ³íøèé âèãëÿä, ÿêùî ðîçøèðèòè ä³þ ôîðìóëè (6.223) àæ äî çîâí³øíüî¿ ãðàíèö³ ïîãðàíè÷íîãî øàðó. Òîä³ ïðè ó = δ, wx = w  ð³âíÿííÿ (6.223) íàáóâຠâèãëÿäó

³äí³ìàþ÷è ïî÷ëåííî ç îòðèìàíîãî ñï³ââ³äíîøåííÿ âèðàç (6.224), îòðèìàºìî òàê íàçâàíèé çàêîí äåôåêòó øâèäêîñò³

(6.225)

Öåé çàêîí ñòðîãî ñïðàâåäëèâèé äëÿ òå÷³¿ ð³äèí â çàêðèòèõ êàíàëàõ ³ íàáëèæåíèé – â ïîãðàíè÷íîìó øàð³, òîìó ùî ëîãàðèôì³÷íèé ïðîô³ëü øâèäêîñò³ ³ñíóº ìàéæå äî îñ³ ïðè òóðáóëåíòíîìó ðóñ³ â çàêðèòèõ êàíàëàõ ³ ïîðóøóºòüñÿ â çîâí³øí³é îáëàñò³ ïîãðàíè÷íîãî øàðó.

Ðèñ.6.29. Óí³âåðñàëüíèé çàêîí ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé: ––––– – çà ôîðìóëîþ (6.225); äîñë³äí³ òî÷êè ïðè Re=106: ˜ãëàäêà ñò³íêà; rr/ks = 126; r/ks = 507

Âàðòî çàóâàæèòè, ùî çàêîí äåôåêòó øâèäêîñò³ ó âèãëÿä³ (6.225), ÿê ñë³äóº ç ðèñ.6.29, ñïðàâåäëèâèé ÿê äëÿ ãëàäêèõ, òàê ³ äëÿ øîðñòêèõ ïîâåðõîíü.

Óí³âåðñàëüíèé çàêîí ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé (6.224) çðó÷íî àïðîêñèìóâàòè ñòåïåíåâîþ çàëåæí³ñòþ:

φ(η) = Àηï. (6.226)

Ïðè öüîìó, ÿê ïîêàçàíî íà ðèñ.6.28, ëîãàðèôì³÷íèé ïðîô³ëü º îáâ³äíîþ ñ³ìåéñòâà ñòåïåíåâèõ ïðîô³ë³â. Äëÿ áàãàòüîõ ðîçðàõóíê³â àïðîêñèìàö³ÿ ïðîô³ë³â øâèäêîñòåé ñòåïåíåâîþ çàëåæí³ñòþ äóæå çðó÷íèé. Êîåô³ö³ºíòè À ³ ï ìîæíà ðîçðàõóâàòè âèõîäÿ÷è ç ëîãàðèôì³÷íîãî ïðîô³ëþ.

Àíàëîã³÷íèì ÷èíîì ìîæíà îòðèìàòè ëîãàðèôì³÷í³ çàêîíè ðîçïîä³ëó òåìïåðàòóð ³ êîíöåíòðàö³é çà ïåðåð³çîì òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó. Ç ð³âíÿíü (6.211) ç óðàõóâàííÿì òîãî, ùî PrT = ScT = 1, ñë³äóº

φ+ = Àlnη++ C, (6.227)

äå:

  •  äëÿ òåïëîâîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó

    (6.228)

    òóò – òåïëîâèé àíàëîã øâèäêîñò³ òåðòÿ;

  •  äëÿ äèôóç³éíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó

    (6.229)

    òóò – äèôóç³éíèé àíàëîã øâèäêîñò³ òåðòÿ.

    Ðèñ.6.30. Óí³âåðñàëüíèé ðîç-ïîä³ë òåìïåðàòóðè â òóðáóëåíòíîìó ïîãðàíè÷íîìó øàð³ ïîâ³òðÿ: : 1 – φÒ = 0,72ηÒ; 2  φÒ = 5,9logηÒ+3,2

    Íà ðèñ.6.30 ñï³âñòàâëÿþòüñÿ äîñë³äí³ äàí³ ïî âèì³ðàì ðîçïîä³ëó òåìïåðàòóðè â ïåðåð³ç³ òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷-íîãî øàðó ç ðîçðàõîâàíèìè ïî (6.227). Âèäíî, ùî ëîãàðèôì³÷íà ÷àñòèíà ïðîô³ëþ òåìïåðàòóðè äîáðå îïèñóºòüñÿ ð³âíÿííÿì

    φÒ = 5,9 logηÒ  + 3,2.

     

    6.3.6. Çàêîíè òåðòÿ, òåïëîîáì³íó ³ ìàñîîáì³íó

     

    Ö³ çàêîíè íå ìîæíà îòðèìàòè àíàë³òè÷íèì øëÿõîì ðîçâ’ÿçóþ÷è äèôåðåíö³àëüí³ ð³âíÿííÿ îñåðåäíåíîãî ðóõó òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó, òîìó ùî ñèñòåìà ð³âíÿíü, ñêëàäåíà äëÿ öüîãî âèïàäêó, º íåçàìêíåíîþ. ² òîìó ïåðåë³÷åí³ çàêîíè âèâîäÿòüñÿ íà ï³äñòàâ³ îïðàöþâàííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ÷è ç çàëó÷åííÿì íàï³âåìï³ðè÷íî¿ òåî𳿠òóðáóëåíòíîñò³.

    Çàêîíè òåðòÿ ³ òåïëîîáì³íó äëÿ òóðáóëåíòíîãî ïîãðàíè÷íîãî øàðó êîíñåðâàòèâí³ äî çì³íè ãðàíè÷íèõ óìîâ íà çîâí³øí³é ãðàíèö³ ïîãðàíè÷íîãî øàðó ³ íà ñò³íö³, òîìó ïðåäñòàâëÿºòüñÿ ìîæëèâèì çàêîíè òåðòÿ ³ òåïëîîáì³íó, îòðèìàí³ ïðè Òñò = const ³ w = const, ðîçïîâñþäèòè íà á³ëüø ñêëàäí³ ãðàíè÷í³ óìîâè. Ìîæëèâå ðîçìà¿òòÿ ãðàíè÷íèõ óìîâ, ÿê áóäå ïîêàçàíî íèæ÷å, ç äîñòàòíüîþ òî÷í³ñòþ âðàõîâóºòüñÿ ïðè ³íòåãðóâàíí³ ð³âíÿíü ³ìïóëüñ³â ³ åíåð㳿. Ç ëîãàðèôì³÷íîãî ïðîô³ëþ øâèäêîñò³ [äèâ.(6.224)] ìîæíà îòðèìàòè çàêîí òåðòÿ, ââàæàþ÷è, ùî ïðè ó = δ wx = w. Òîä³ ç (6.224) ìàºìî

    (6.230)

    äå

    Ó öüîìó âèðàç³ êîåô³ö³ºíò òåðòÿ ìîæíà ïðåäñòàâèòè â çàëåæíîñò³ â³ä ÷èñëà Ðåéíîëüäñà, ïîáóäîâàíîãî çà òîâùèíîþ âòðàò ³ìïóëüñó Re**. Çà âèçíà÷åííÿì

    ϳäñòàâëÿþ÷è â öå ð³âíÿííÿ âèðàç äëÿ äåôåêòó øâèäêîñò³ (6.225), îòðèìàºìî

    ² íà ê³íåöü, çàì³íþþ÷è δ íà δ** â ð³âíÿíí³ (6.230), çíàõîäèìî â ê³íöåâîìó âèãëÿä³ çàêîí îïîðó:

    (6.231)

    гâíÿííÿ (6.231) ç äîñòàòíüîþ òî÷í³ñòþ àïðîêñèìóºòüñÿ ôîðìóëîþ Êàðìàíà

    (6.232)

    гâíÿííÿ (6.232) çðó÷í³øå ïðåäñòàâèòè ó âèãëÿä³ ñòåïåíåâî¿ çàëåæíîñò³

    (6.233)

    äå êîåô³ö³ºíòè  ³ ò çàëåæàòü â³ä ä³àïàçîíó çì³íè Re**. Ïðè Re**<104 B = 0,252, ò = 0,25. ϳäñòàâëÿþ÷è ð³âíÿííÿ (6.233) â ³íòåãðàëüíå ñï³ââ³äíîøåííÿ ³ìïóëüñ³â äëÿ ïëàñòèíè, îòðèìàºìî

    (6.234)

    Ðîçãëÿäàþ÷è òóðáóëåíòíèé øàð, ÿêèé çðîñòຠíà ïåðåäí³é êðîìö³ ïëàñòèíè (ïðè õ = 0, Re** = 0), ìàºìî

    (6.235)

    Îòæå,

    (6.236)

    äå

    Çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â ó ôîðìóëàõ (6.233) ³ (6.236) çíàõîäÿòüñÿ â òàáë.6.8.

    Òàáëèöÿ 6.8. Çíà÷åííÿ êîåô³ö³ºíò³â ó ôîðìóëàõ ñòåïåíåâîãî ðîçïîä³ëó øâèäêîñòåé

    ï

    À

    ò

    ò1

    Â

    Â1

    1/7

    1/8

    1/9

    1/10

    8,74

    9,71

    10,6

    11,1

    0,250

    0,222

    0,200

    0,182

    0,200

    0,182

    0,167

    0,154

    0,0252

    0,0206

    0,0190

    0,0148

    0,0576

    0,0450

    0,0362

    0,0308

     îáëàñò³ çíà÷åíü ÷èñåë Ðåéíîëüäñà 5·105 < Rex < 107 B = 0,0252; m = 0,025; m1 = 0,2 ³

    Ñf = 0,0576Rex–0,2. (6.237)

    Äëÿ ñåðåäí³õ çíà÷åíü êîåô³ö³ºíò³â òåðòÿ ìàºìî

    Îòæå

    (6.238)

    Ðèñ.6.31. Òåðòÿ íà ïëîñê³é ïëàñòèí³: ––––– – ðîçðàõóíîê çà ôîðìóëîþ (6.237); --------- – çà ôîðìóëîþ (6.232); ¡ äîñë³äí³ äàí³

    Íà ðèñ.6.31 ñï³âñòàâëåíí³ äîñë³äí³ äàí³ ç³ çíà÷åííÿìè, ðîçðàõîâàíèìè çà ôîðìóëîþ (6.237). Àíàëîã³÷íèì ÷èíîì ìîæíà îòðèìàòè çàêîíè òåïëîîáì³íó ³ ìàñîîáì³íó â òóðáóëåíòíîìó ïîãðàíè÷íîìó øàð³.

    Äëÿ âèïàäêó Pr = Sc = 1 ç ð³âíÿííÿ (6.227), ïðèéìàþ÷è ó = δÒ ³  ó = δD, îòðèìóºìî:

    (6.239)

    ÷è çà àíàëî㳺þ ç ôîðìóëîþ (6.238),

    (6.240)

    Çàêîíè òåïëîîáì³íó ³ ìàñîîáì³íó òèïó (6.240) ìîæíà ðîçïîâñþäèòè ³ íà âèïàäîê Pr ≠ 1 ³ Sc ≠ 1. Ó ä³àïàçîí³ çì³íè ÷èñåë Pr ³ Sc â³ä 0,5 äî 10 íàä³éí³ ðåçóëüòàòè äàþòü ôîðìóëè

    (6.241)

    (6.242)

    Ç ³íòåãðàëüíèõ ñï³ââ³äíîøåíü åíåð㳿 ³ äèôó糿 (6.198) äëÿ âèïàäêó îáò³êàííÿ ïëîñêî¿ íåïðîíèêëèâî¿ ïëàñòèíè ïðè ãðàíè÷íèõ óìîâàõ Òñò = const ³ Ññò = const çà äîâæèíîþ ïëàñòèíè îòðèìàºìî:

    (6.243)

    (6.244)

    ϳäñòàâèâøè â (6.243) ³ (6.244) âèðàçè (6.241) ³ (6.242) äëÿ St ³ StD ³ ïðî ³íòåãðóâàâøè îòðèìàí³ ð³âíÿííÿ çà ãðàíè÷íèõ óìîâ õ = 0 ReT** = ReD** = 0, îòðèìàºìî:

    (6.245)

    (6.246)

    ϳäñòàâèâøè (6.245) ³ (6.246) â (6.241) ³ (6.242), îòðèìàºìî ðîçðàõóíêîâ³ ôîðìóëè äëÿ òóðáóëåíòíîãî òåïëîîáì³íó ³ ìàñîîáì³íó ïðè îáò³êàíí³ ïëîñêî¿ ïëàñòèíè ïîòîêîì ð³äèíè ç ïîñò³éíèìè ô³çè÷íèìè ïàðàìåòðàìè:

    (6.247)

    (6.248)

    Íà ðèñ.6.32 ³ 6.33 ñï³âñòàâëåíí³ äîñë³äí³ äàí³ ç ðîçðàõóíêîâèìè çà ôîðìóëàìè (6.241) ³ (6.248). Ãðàô³êè ïîêàçóþòü ¿õ çàäîâ³ëüíó ïîãîäæåí³ñòü, ÿêà íåîáõ³äíà äëÿ ïðàêòè÷íèõ ðîçðàõóíê³â.

    Ðèñ.6.32. Óçàãàëüíåííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ç ìàñîîáì³íó íà ïëîñê³é ïëàñòèí³ [ðîçðàõóíîê çà ôîðìóëîþ (6.248)]

    Ðèñ.6.33. Óçàãàëüíåííÿ äîñë³äíèõ äàíèõ ç òåïëîîáì³íó íà ïëîñê³é ïëàñòèí³ [ðîçðàõóíîê çà ôîðìóëîþ (6.241)]

  •