Напівемпіричні теорії турбулентного переносу

6.3.4. Напівемпіричні теорії турбулентного переносу

Як було показано раніше, рівняння системи (6.197) відрізняються від відповідних рівнянь ламінарного пограничного шару додатковими членами , які можна тлумачити як додаткові Рейнольдові напруження турбулентного тертя і складові потоку теплоти і маси, що виникають за рахунок турбулентності.

Названі турбулентні складові переносу не можна визначити шляхом розв’язку системи рівнянь (6.197) і граничних умов складених для середніх значень величин. Тому виникло питання про необхідність введення гіпотез не зв’язаних з рівняннями осередненого турбулентного руху. Ці гіпотези, які дозволяють з достатньою для практичних розрахунків точністю вирішувати певні задачі пограничного шару, закладено в основу спеціального напрямку розвитку теорії турбулентності – так названої напівемпіричної теорії турбулентності. Ці гіпотези зв’язують турбулентну в’язкість і тепловий потік з параметрами осередненої течії.

Перенос імпульсу. Для турбулентного напруження тертя така гіпотеза була висловлена Буссінеском, який запропонував визначати турбулентне тертя виразом, аналогічним формулі Ньютона:

де А_τ – коефіцієнт турбулентного обміну. Величина А_τ на відміну від ламінарної в’язкості залежить від ряду величин, у тому числі і від розподілу осередненої швидкості w(_x.

На зв’язок між коефіцієнтом турбулентного обміну і полем осереднених швидкостей вперше вказав Прандтль. Для викладу ідей Прандтля розглянемо випадок плоскої течії нестисливої рідини. Приймемо, що напрямок осередненого руху співпадає з віссю х, тоді w(_x = w(_x(у); w(_у = 0; w(_z = 0. Напруга тертя у цьому випадку виражається формулою:

(6.204)

Рис.6.27. До пояснення поняття довжина шляху перемішування

Згідно з Прандтлем, нормаль до лінії течії осередненого руху пульсації швидкості υ_у повинна бути одного порядку з повздовжньою пульсацією швидкості υ_х і пропорціональна різниці швидкостей між шарами (рис.6.27):

Якщо підставити отриманий вираз в рівняння (6.204), отримаємо формулу Прандтля:

Прандтль назвав параметр ℓ довжиною змішування, виходячи з цього і напівемпірична теорія Прандтля отримала назву теорії шляху змішування.

Формулу Прандтля можна отримати методом теорії розмірності, якщо вважати, що в турбулентному потоці можна знехтувати дією молекулярної в’язкості в порівнянні з турбулентною. Коефіцієнт турбулентної в’язкості А_τ, що входить в рівняння (6.204), в загальному випадку повинен бути функцією густини і розподілу осередненої швидкості, тобто сукупності значень похідних: Вважаючи в першому наближенні, що коефіцієнт А_τ можна представити добутком степеневої функції і першої похідної швидкості:

(6.205)

Визначимо показники степені а і b методом теорії розмірності. Розмірності маси, довжини і часу – M, L, і Т, тоді розмірності фізичних величин, які входять в рівняння, виражаються так:

Підставивши отримані розмірності в рівняння (6.205), отримаємо

МL^–1T^–1 = [ML^–3]^a[T^–1]^b = M^aL^3aT^b.

Порівнюючи показники степеня однойменних розмірностей, отримаємо систему рівнянь для визначення показника степеня системи а = 1, а = 1/3, b = 1. Цю систему рівнянь не можна виконати, що свідчить про фізичну неможливість зв’язків у системі типу (6.205). Доповнимо залежність (6.205) множником, який містить в собі довжину в степені с:

Виконавши аналогічні дії, знайдемо наступну систему рівностей с – 3а = 1; b = 1; a = 1, яка має дійсний розв’язок а = 1, b = 1, c = 2. Отже Тоді останній вираз набуває вигляду:

(6.206)

тому що дотична напруга визначається знаком похідної.

Методика, прийнята Прандтлем, як вияснилося пізніше, не є фізично обґрунтованою, тому що в дійсності в турбулентному потоці перенос імпульсу здійснюється спектром пульсацій. Але ця гіпотеза має сенс при розрахунку осереднених параметрів турбулентного пограничного шару.

Розглядаючи плоску турбулентну течію нестисливої рідини і маючи на увазі, що на стінці турбулентна напруга дорівнює нулю (відсутній пульсацій ний рух), можна вважати, що в пограничному шарі довжина шляху змішування пропорційна відстані від стінки:

ℓ = χу, (6.207)

де χ – певна універсальна стала, яка визначається дослідним шляхом.

З урахуванням залежності (6.207) рівняння (6.206) набуває вигляду

(6.208)

Масштабну відстань ℓ можна утворити і іншим способом. Наприклад, відношенням першої похідної до другої похідної осередненої швидкості за координатою, що дасть певну характеристику довжини швидкісного поля. Таким чином, приймаючи

(6.209)

отримаємо вираз

(6.210)

Знак мінус у виразі (6.209) необхідний для того, щоб біля стінки було ℓ > 0, де

Формула (6.210) вперше була запропонована Карманом.

Перенос теплоти і маси. У плоскому турбулентному потоці нестисливої рідини вираз для потоку теплоти і маси, викликаного турбулентним перемішуванням, має вигляд:

Це значить, що пульсації υ_у переносять кількість теплоти і маси в напрямку перпендикулярному до основної течії. Тому за аналогією з процес перенесення імпульсу можна вважати, що

а це приводить до гіпотези, аналогічній гіпотезі Прандтля для переносу імпульсу:

(6.211)

де ℓ_Т, ℓ_D – певні лінійні масштаби, у загальному випадку не рівні ℓ.

Вводячи коефіцієнти турбулентного переносу теплоти A_q і маси А_D, потоки теплоти і маси можна записати за аналогією з виразом (6.204) у вигляді

(6.212)

В основі теорії турбулентного переносу знаходиться ідея про те, що одні і ті ж об’єми, чи молі рідини, одночасно переносять кількість руху, теплоти і інші субстанції. При цьому можна вважати, що в цьому випадку коефіцієнти переносу А_τ, А_q, A_D повинні бути рівні між собою. Це можливо, якщо під час переносу молі не взаємодіють з оточуючим середовищем. У дійсності це не так: молі при своєму переміщенні взаємодіють з оточуючим середовищем. При цьому різниця в коефіцієнтах переносу обумовлюється специфікою молекулярної взаємодії (динамічної, теплової та ін.) між носієм і середовищем.

Тому, як і в випадку ламінарної течії, зв’язок між механізмами турбулентного переносу кількості руху, теплоти і маси характеризуються турбулентними числами подібності Pr_T і Sc_T:

За вимірами різних авторів ці величини для умов пристінної турбулентності близька до одиниці (~ 0,9).

6.3.5. Розподіл швидкостей, температур і концентрацій в плоскому пограничному шарі

Емпіричні закони Прандтля (6.208) і кармана (6.210) отримати закони розподілу швидкостей в турбулентному пограничному шарі. В основі сучасних уявлень про структуру турбулентного пристінного шару лежить поділ пограничного шару на три області, які відрізняються між собою характером руху рідини.

Безпосередньо біля стінки існує область в’язкісного підшару товщиною порядку 1 % від загальної товщини шару, в якій основну роль відіграє процес молекулярного переносу. В’язкий підшар з’єднується з повністю розвиненою частиною пограничного шару перехідною областю. В перехідній області руху ламінарні напруження тертя спів розмірні з турбулентними. В повністю розвиненій області турбулентного пограничного шару турбулентне тертя має вирішальне значення.

Повне напруження тертя в турбулентному пограничному шарі згідно рівнянню руху, можна подати в такому вигляді

Підставивши у цей вираз значення τ_Т, яке визначається рівнянням (6.206), отримаємо

(6.213)

В області в’язкого підшару 0< y < y₀

(6.214)

Представимо рівняння (6.213) і (6.214) в безрозмірному вигляді

(6.215)

де

(6.216)

це так названа динамічна швидкість (швидкість тертя).

Маючи на увазі співвідношення (6.215) і (6.216), перепишемо рівняння для дотичних напруг (при dp/dx = 0):

для в’язкого підшару 0 < η < η₀

(6.217)

для області η > η₀

(6.218)

Якщо прийняти, що у в’язкому підшарі τ = τ_ст, то з рівняння (6.217) виходить, що

φ = η. (6.219)

Розглянемо область повністю розвиненого турбулентного шару, де τ_Т>>τ_λ. Наслідуючи Прандтлю, зробимо припущення, що повна дотична напруга поперек пограничного шару постійна і рівна значенню на стінці; тоді рівняння (6.218) набуває вигляд

(6.220)

інтеграл якого

(6.221)

де індексом “1” позначені величини, які відносяться до зовнішньої границі перехідної області. Для спрощення розрахунків приймаємо двошарову схему пограничного шару. У цьому випадку ламінарний профіль можна розповсюдити до зовнішньої границі перехідного шару, тоді φ₁ = η₁.

Рис.6.28. Універсальний логарифмічний закон розподілу швидкостей в турбулентному погранич-ному шарі на плоскій плас-тині: 1 – відповідає зале-жності φ = η; 2 – за (6.224);3 і 4 – степенева залежність (6.226) при п=7 і 10 відповідно

На рис.6.28 наведений закон розподілу швидкостей при турбулентному русі рідини в пограничному шарі на плоскій пластині. Дослідні дані, представлені на цьому рисунку, дозволяють розрахувати χ і η₁:

χ = 0,4 і η₁ = 11,6. (6.222)

Рівняння (6.221) зручно записати в наступному вигляді

(6.223)

де

Підставляючи значення (6.222) в (6.223), отримаємо кінцевий вираз

φ = 2,5lnη + 5,5. (6.224)

Цьому закону можна надати і інший вигляд, якщо розширити дію формули (6.223) аж до зовнішньої границі пограничного шару. Тоді при у = δ, w_x = w_∞ рівняння (6.223) набуває вигляду

Віднімаючи почленно з отриманого співвідношення вираз (6.224), отримаємо так названий закон дефекту швидкості

(6.225)

Цей закон строго справедливий для течії рідин в закритих каналах і наближений – в пограничному шарі, тому що логарифмічний профіль швидкості існує майже до осі при турбулентному русі в закритих каналах і порушується в зовнішній області пограничного шару.

Рис.6.29. Універсальний закон розподілу швидкостей: ––––– – за формулою (6.225); дослідні точки при Re=10⁶: – гладка стінка; r – r/k_s = 126; ™ – r/k_s = 507

Варто зауважити, що закон дефекту швидкості у вигляді (6.225), як слідує з рис.6.29, справедливий як для гладких, так і для шорстких поверхонь.

Універсальний закон розподілу швидкостей (6.224) зручно апроксимувати степеневою залежністю:

φ(η) = Аη^п. (6.226)

При цьому, як показано на рис.6.28, логарифмічний профіль є обвідною сімейства степеневих профілів. Для багатьох розрахунків апроксимація профілів швидкостей степеневою залежністю дуже зручний. Коефіцієнти А і п можна розрахувати виходячи з логарифмічного профілю.

Аналогічним чином можна отримати логарифмічні закони розподілу температур і концентрацій за перерізом турбулентного пограничного шару. З рівнянь (6.211) з урахуванням того, що Pr_T = Sc_T = 1, слідує

φ⁺ = Аlnη⁺+ C, (6.227)

де:

для теплового пограничного шару

(6.228)

тут – тепловий аналог швидкості тертя;

для дифузійного пограничного шару

(6.229)

тут – дифузійний аналог швидкості тертя.

Рис.6.30. Універсальний роз-поділ температури в турбулентному пограничному шарі повітря: : 1 – φ_Т = 0,72η_Т; 2 – φ_Т = 5,9logη_Т+3,2

На рис.6.30 співставляються дослідні дані по вимірам розподілу температури в перерізі турбулентного погранич-ного шару з розрахованими по (6.227). Видно, що логарифмічна частина профілю температури добре описується рівнянням

φ_Т = 5,9 logη_Т + 3,2.

6.3.6. Закони тертя, теплообміну і масообміну

Ці закони не можна отримати аналітичним шляхом розв’язуючи диференціальні рівняння осередненого руху турбулентного пограничного шару, тому що система рівнянь, складена для цього випадку, є незамкненою. І тому перелічені закони виводяться на підставі опрацювання дослідних даних чи з залученням напівемпіричної теорії турбулентності.

Закони тертя і теплообміну для турбулентного пограничного шару консервативні до зміни граничних умов на зовнішній границі пограничного шару і на стінці, тому представляється можливим закони тертя і теплообміну, отримані при Т_ст = const і w_∞ = const, розповсюдити на більш складні граничні умови. Можливе розмаїття граничних умов, як буде показано нижче, з достатньою точністю враховується при інтегруванні рівнянь імпульсів і енергії. З логарифмічного профілю швидкості [див.(6.224)] можна отримати закон тертя, вважаючи, що при у = δ w_x = w_∞. Тоді з (6.224) маємо

(6.230)

де

У цьому виразі коефіцієнт тертя можна представити в залежності від числа Рейнольдса, побудованого за товщиною втрат імпульсу Re**. За визначенням

Підставляючи в це рівняння вираз для дефекту швидкості (6.225), отримаємо

І на кінець, замінюючи δ на δ^** в рівнянні (6.230), знаходимо в кінцевому вигляді закон опору:

(6.231)

Рівняння (6.231) з достатньою точністю апроксимується формулою Кармана

(6.232)

Рівняння (6.232) зручніше представити у вигляді степеневої залежності

(6.233)

де коефіцієнти В і т залежать від діапазону зміни Re^**. При Re^**<10⁴ B = 0,252, т = 0,25. Підставляючи рівняння (6.233) в інтегральне співвідношення імпульсів для пластини, отримаємо

(6.234)

Розглядаючи турбулентний шар, який зростає на передній кромці пластини (при х = 0, Re^** = 0), маємо

(6.235)

Отже,

(6.236)

де

Значення коефіцієнтів у формулах (6.233) і (6.236) знаходяться в табл.6.8.

Таблиця 6.8. Значення коефіцієнтів у формулах степеневого розподілу швидкостей

т₁

В₁

1/7

1/8

1/9

1/10

8,74

9,71

10,6

11,1

0,250

0,222

0,200

0,182

0,200

0,182

0,167

0,154

0,0252

0,0206

0,0190

0,0148

0,0576

0,0450

0,0362

0,0308

В області значень чисел Рейнольдса 5·10⁵ < Re_x < 10⁷ B = 0,0252; m = 0,025; m₁ = 0,2 і

С_f = 0,0576Re_x^–0,2. (6.237)

Для середніх значень коефіцієнтів тертя маємо

Отже

(6.238)

Рис.6.31. Тертя на плоскій пластині: ––––– – розрахунок за формулою (6.237); --------- – за формулою (6.232); Ў – дослідні дані

На рис.6.31 співставленні дослідні дані зі значеннями, розрахованими за формулою (6.237). Аналогічним чином можна отримати закони теплообміну і масообміну в турбулентному пограничному шарі.

Для випадку Pr = Sc = 1 з рівняння (6.227), приймаючи у = δ_Т і у = δ_D, отримуємо:

(6.239)

чи за аналогією з формулою (6.238),

(6.240)

Закони теплообміну і масообміну типу (6.240) можна розповсюдити і на випадок Pr ≠ 1 і Sc ≠ 1. У діапазоні зміни чисел Pr і Sc від 0,5 до 10 надійні результати дають формули

(6.241)

(6.242)

З інтегральних співвідношень енергії і дифузії (6.198) для випадку обтікання плоскої непроникливої пластини при граничних умовах Т_ст = const і С_ст = const за довжиною пластини отримаємо:

(6.243)

(6.244)

Підставивши в (6.243) і (6.244) вирази (6.241) і (6.242) для St і St_D і про інтегрувавши отримані рівняння за граничних умов х = 0 Re_T^** = Re_D^** = 0, отримаємо:

(6.245)

(6.246)

Підставивши (6.245) і (6.246) в (6.241) і (6.242), отримаємо розрахункові формули для турбулентного теплообміну і масообміну при обтіканні плоскої пластини потоком рідини з постійними фізичними параметрами:

(6.247)

(6.248)

На рис.6.32 і 6.33 співставленні дослідні дані з розрахунковими за формулами (6.241) і (6.248). Графіки показують їх задовільну погодженість, яка необхідна для практичних розрахунків.

Рис.6.32. Узагальнення дослідних даних з масообміну на плоскій пластині [розрахунок за формулою (6.248)]

Рис.6.33. Узагальнення дослідних даних з теплообміну на плоскій пластині [розрахунок за формулою (6.241)]