Вплив стисливості і неізотермічності на закони тертя, теплообміну і масообміну в турбулентному пограничному шарі

6.3.7. Вплив стисливості і неізотермічності на закони тертя, теплообміну і масообміну в турбулентному пограничному шарі

Під час руху газу з надзвуковими швидкостями в області інтенсивних теплових потоків через поверхню тіла необхідно враховувати вплив стисливості і неізотермічності на тертя, теплообмін і масообмін в турбулентному пограничному шарі. Для врахування цього впливу введемо відносні закони тертя, теплообміну і масообміну:

(6.249)

де Ψ, Ψ_S, Ψ_D являють собою відношення коефіцієнтів тертя, теплових і дифузійних чисел Стентора в розглядуваних умовах до значень цих параметрів в “стандартних” умовах при обтіканні плоскої непроникливої пластини потоком рідини з постійними фізичними параметрами при постійних значеннях температури і концентрації за довжиною пластини, при цьому ці співвідношення беруться при тих же значеннях чисел що і в розглядуваних умовах. Стандартні значення визначаються за рівняннями (6.233), (6.241) і (6.242) відповідно.

На рис.6.34 наведені результати опрацювання дослідних даних по впливу неізотермічності і стисливості на відносні закони тертя і теплообміну при турбулентному русі газу. Числа визначаються за формулами

де μ_ст – динамічна в’язкість при температурі стінки.

Рис.6.34. Вплив неізотермічності (а) і стисливості (б) на відносні закони тертя і теплообміну [розрахункові лінії відповідають (6.250)]

Як видно з рис.6.34, неізотермічність і стисливість газу чинять суттєвий вплив на тертя і теплообмін, які необхідно враховувати в інженерних розрахунках.

Суцільними лініями на рис.6.34 показані аналітичні залежності, які мають наступний вигляд:

(6.250)

де (6.251)...(6.252)

Рис.6.35.Вплив числа Re і стисливості газу на відносний закон тертя

Як показують досліди, для турбулентного пограничного шару коефіцієнт поновлення

Для випадку r = 0,9 (Pr = 0,72 і k = 1,4) рівняння (6.250) з задовільною точністю апроксимується формулою:

(6.253)

Рівняння (6.250) отримано для області коли число Рейнольдса прямує до нескінченності, але з рис.6.35 слідує, що воно знаходиться в задовільній відповідності з дослідними даними в області кінцевих значень числа Рейнольдса і його можна рекомендувати для практичних інженерних розрахунків.

6.3.8. Граничні відносні закони тертя, теплообміну і масообміну в турбулентному пограничному шарі

Вираз (6.201) для турбулентного тертя можна представити в такому виді:

(6.254)

де

З іншого боку, згідно гіпотези Прандтля,

Введемо значення в рівняння (6.254), тоді для турбулентного ядра матимемо:

(6.255)

У цьому рівняння і в подальшому пропускаємо знак осереднення над величинами ρ, Т і w.

Ураховуючи, що вираз (6.255) можна привести до вигляду:

(6.256)

де

Введемо, як це було зроблено раніше, поняття відносного закону опору

де C_f – значення локального коефіцієнта тертя при заданих умовах обтікання; С_f0 – значення локального коефіцієнта тертя при “стандартних” умовах, тобто при обтіканні пластини ізотермічним потоком нестисливої рідини, знайденим для значення числа Re^**, розрахованого в розглядуваному перерізі при заданих умовах обтікання.

Помножимо обидві частини рівняння (6.256) на і після нескладних перетворень отримаємо:

(6.257)

де

(6.258)

У цьому рівнянні – безрозмірна швидкість течії; – безрозмірна швидкість на границі в’язкого підшару; – безрозмірна товщина в’язкого підшару.

За аналогією можна знайти із співвідношення (6.211) вираз для відносного закону теплообміну в наступному вигляді:

(6.259)

де

(6.260)

St₀ – значення числа Стентора для випадку обтікання непроникливої пластини нестисливим потоком з постійними фізичними властивостями, знайдене для значення числа , в розглядуваному перерізі при заданих умовах обтікання і теплообміну; ε = ε(ξ) – коефіцієнт неподібності швидкісного і температурного полів, який в розрахунках приймається, зазвичай, постійним; J₁ – безрозмірна температура на границі в’язкого підшару; x_Т1 – безрозмірна товщина температурного в’язкого підшару.

Аналіз рівнянь (6.257) і (6.259) показує, що для отримання в загальному випадку відносних законів тертя і теплообміну в аналітичній формі необхідно знати закони зміни величин:

що зараз ще не можливо. Вибір одних чи інших допущень, які використовуються в ряді запропонованих напівемпіричних методах, є недостатньо обґрунтованим. Але відносні закони тертя і теплообміну у вигляді рівнянь (6.257) і (6.259) перестають залежати від емпіричних констант турбулентності в граничному випадку, коли числа Re^** і прямують до нескінченності.

Фізична суть існування граничних законів пояснюється тим, що зі збільшенням числа Re товщини в’язкого підшару прямують до нуля швидше, ніж товщина турбулентної частини пограничного шару. Дійсно, з логарифмічного профілю швидкостей (6.224) виходить, що при у = d і w_x = wҐ

(6.261)

звідки, застосувавши співвідношення (6.219), можна отримати

(6.262)

Використовуючи закон опору (6.232) і співвідношення (6.261) і (6.262), можна показати, що при Re^** ® Ґ C_f₀ ® 0, x_{1 ®} 0, w₁ ® 0 і в цьому випадку b ® 0. Тоді при Re ® Ґ, матимемо

(6.263)

Розклавши функцію в ряд за степенями фактора збурення і позначивши суму членів від і = 2 до і = Ґ через DF, отримаємо

(6.264)

де Z₀ = 1 – w₁₀, що слідує з рівняння (6.257), якщо його записати для випадку ізотермічної течії

При Re®Ґ, С_f₀ ® 0, w₁ ® 0 виходить, якщо функція DF кінцева, то Z_Re®Ґ®1.

Аналогічно можна показати, що Z_S _Re®Ґ®1. Таким чином, при Re®Ґ рівняння (6.257), (6.259) набувають вигляду граничних законів тертя і теплообміну:

(6.265)

(6.266)

Для того щоб отримати вирази граничних законів в аналітичній формі, необхідно знати розподіл величин у турбулентному пограничному шарі. За сучасного стану теорії турбулентного пограничного шару отримати точні аналітичні залежності названих величин неможливо. Але, як буде показано, загальний вид цих залежностей можна отримати на основі загального аналізу турбулентних течій з точністю достатньою для інженерних розрахунків. Стосовно розподілу часу і теплового потоку, то їх можна отримати з аналізу відповідних граничних умов.

Вплив неізотермічності і стисливості. При Pr = 1 відносний закон теплообміну (6.259) набуває вигляду

(6.267)

При цьому, згідно прийнятої апроксимації, розподіл теплових потоків поперек пограничного шару не залежить від неізотермічності і стисливості. Тому рівняння (6.267) можна записати в такій формі

(6.268)

У цьому рівнянні

Розподіл густини визначається з рівняння (6.128) за умови, що газ ідеальний, а тиск поперек пограничного шару залишається постійним:

(6.269)

Підставляючи у вираз (6.267) співвідношення (6.268) і (6.269) і виконуючи інтегрування, знаходимо

(6.270)

У зв'язку з прийнятим допущенням про подібність температурного і швидкісного полів (Pr = 1) має місце аналогія Рейнольдса і закони опору і теплообміну повністю співпадають, отже при Pr = 1 Y = Y_S. Якщо число Pr ≠ 1, то замість рівняння (6.270) отримаємо два різних розв’язки, які відповідають таким умовам δ_T >δ і δ_T < δ.

Вважаючи, що в рівнянні (6.270) Z_S = 1, отримаємо граничний закон теплообміну

(6.271)

Для області дозвукової течії ψ^*→ 1 рівняння (6.271) набуває вигляду

(6.272)

При обтіканні надзвуковим потоком адіабатної стінки Δψ = 0

(6.273)

Вплив поперечного потоку речовини. У багатьох практичних задачах конвективного теплообміну на поверхні тіла може існувати поперечний потік маси (пористе охолодження шляхом вдування охолоджуючого газу, відсмоктування газу через проникливу поверхню, конденсація парів, вигорання теплоізолюючих поверхонь та ін.). Запишемо для цього випадку граничний закон теплообміну (6.266) в наступному виді

(6.274)

Підставляючи в цей вираз рівняння (6.268) для`q, отримаємо

(6.275)

Аналогічним чином можна перетворити і граничний закон тертя:

(6.276)

Інтеграл рівняння (6.276) повинен бути кінцевим. Оскільки величини ω і ξ змінюються в межах від 0 до 1, то і для параметра вдування b (b_T) повинно існувати певне граничне значення b_кр, за якого коефіцієнт тертя дорівнює нулю. Це можливо при відтискувані пограничного шару потоком, що вдувається, від обтічної поверхні. Критичне значення фактора проникливості визначається з рівняння (6.276) при Ψ = 0:

(6.277)

В подальшому обмежимося випадком, коли f(ξ) = f(ξ_T) і ε = 1, тобто за потрійної аналогії, якщо розподіл швидкостей, температур і концентрацій поперек пограничного шару подібні між собою. Оскільки при цьому рішення рівнянь (6.275) і (6.276) мають один і той же вид, то виходить, що

(6.278)

В однорідному дозвуковому пограничному шарі (при ε = 1) за формулою (6.128)

(6.279)

Підставляючи вираз в рівняння (6.276) при ε = 1, ξ = 1, після інтегрування матимемо

для ψ < 1

(6.280)

(6.281)

для ψ > 1

(6.282)

(6.283)

Формули (6.280), (6.282) добре апроксимуються залежністю

(6.284)

Аналогічним чином запишуться закони теплообміну і масообміну завдяки рівності (6.278). При відсмоктуванні газу через поверхню теплообміну параметр проникливості береться з від’ємним знаком.

При числах Pr, що мало відрізняються від одиниці, до аналогії Рейнольдса можна вводити звичайну поправку:

У випадку постійної густини інтеграли рівнянь (6.274) і (6.276) набувають вид:

(6.285)

(6.286)

При подачі стороннього газу в пограничний шар виникає процес дифузії, під час якого парціальна густина газу, що вдувається, змінюється від до 0 на зовнішній границі пограничного шару.

У випадку потрійної аналогії поле масових концентрацій може бути зв’язане з полем швидкостей і ентальпії співвідношенням

(6.287)

Парціальна густина газу ρ′, що вдувається, пов’язана відомим співвідношенням з газовою сталою суміші

(6.288)

У цьому співвідношенні R, R′, R_∞ – відповідно газова стала суміші, газу, що вдувається і основного потоку.

Таким чином, з урахуванням закону збереження маси, отримаємо

(6.289)

З іншого боку, для бінарної суміші ідеальних газів справедлива наступна залежність:

(6.290)

Вираз (6.290) з урахуванням рівнянь (6.287) і (6.289) перетворюється:

(6.291)

Якщо охолоджувальний газ подається через пористу стінку, то потік газу, що вдувається, j_ст визначається по формулі

(6.292)

З рівняння (6.287) виходить, що

(6.293)

З іншого боку, за визначенням,

звідки

(6.294)

Записавши отримане співвідношення для випадку потрійної аналогії Le = Sc = Pr і підставивши його в рівняння (6.292), отримаємо

(6.295)

де

Таким чином, вираз (6.291) набуває наступного вигляду:

У випадку ізотермічного дозвукового вдування газу (Т = Т_∞) сумісний розв’язок рівнянь (6.288), (6.289) і (6.290) для ρ/ρ_∞ приводить до рівняння

(6.296)

де

При неізотермічному вдуванні газу однакової атомності вираз (6.296) зберігає свій вигляд, якщо

(6.297)

Співвідношення (6.296) аналогічне раніше отриманому (6.279), тому як критичний параметр вдування b_1кр, так і відносні закони тертя і теплообміну можуть представлятися у вигляді співвідношень (6.280) і (6.282) справедливих для дозвукової течії, якщо в останніх замінити ψ на ψ₁.

Рис.6.36. Вплив вдування іншого газу на коефіцієнт тертя пластини: розрахунки Ў,r,p – повітря – повітря (6.285); Ј – гелій – повітря (6.280);  – фреон-12 – повітря (6.282)

На рис.6.36 співставленні дослідні дані з розрахунковими за формулами (6.280), (6.282) і (6.285). Легко замітити, що результати розрахунків добре співпадають з експериментальними даними при вдуванні різнорідних газів.