Коли відношення товщини оболонки δ до найменшого із головних радіусів кривизни не перевищує 1/20, то така оболонка вважається тонкою. (В реальних конструкціях це відношення може сягати 1/200 – 1/300).

Внутрішні зусилля в оболонці діляться на 2 групи:

а) зусилля мембранного типу (рис. 3.1.9, а): нормальні N₁, N₂ і зсувні S₁₂, S₂₁; такі зусилля можуть виникати в плоскому диску чи в тонкій мембрані;

б) зусилля моментного типу (рис. 3.1.9, б): згинальні моменти М₁, М₂, крутні моменти М₁₂, М₂₁, поперечні сили Q₁, Q₂; такі зусилля можуть виникати в тонких пластинах.

Для тонких оболонок можна з достатньою точністю прийняти, що

Під дією зовнішнього навантаження оболонка деформується, а точки її серединної площини переміщуються. Складова переміщень вздовж ОХ позначається u (рис. 3.1.9, в), в напрямі осі OY – v, в напрямі осі OZ – w (це прогин оболонки).

В випадку просторової задачі теорії пружності відносні подовження або лінійні деформації вздовж осей координат пов’язані з функціями лінійних переміщень диференціальними співвідношеннями

;    ;    .

(3.1.3)

Відносні зсуви, або кутові деформації, пов’язані з переміщеннями співвідношеннями

.

(3.1.4)

Виходячи з гіпотези прямих недеформованих нормалей вважається, що елементи матеріалу, які розташовані вздовж нормалі, не зазнають деформацій зсуву в площинах XOZ, YOZ, тобто

,

(3.1.5)

а розмір елемента в напрямі осі OZ не змінюється, отже відповідна лінійна деформація нульова

.

(3.1.6)

Останнє співвідношення виконується лише тоді, коли прогини оболонки є функціями тільки двох координат x і  y:  w = w(x, y). Отже, у всіх точках, які розташовані на вертикальній прямій, прогини однакові, постійні вздовж осі OZ.

Таким чином, в оболонці виникають лінійні деформації  εx , εy; кутові λ_xy;  деформації викривлення  æ1,  æ2  та кручення  χ.

Між зусиллями та деформаціями існує відповідність:

Зусиллям   Q₁,  Q₂   не відповідають ніякі деформації в силу гіпотези   1, де висловлюється думка, що в поперечних перерізах оболонки відсутні деформації зсуву.

В випадку просторової задачі теорії пружності згідно із законом Гука  лінійні деформації вдовж осей ОХ, ОY в пружному тілі визначаються за формулами:

(3.1.7)

За гіпотезою про відсутність тиску між шарами матеріалу оболонки  слід знехтувати ( = 0), а лінійні деформації будуть такими, як при плоскому напруженому стані:

(3.1.8)

Нормальні напруження можна виразити через лінійні деформації:

(3.1.9)

Дотичні напруження  згідно із законом Гука при зсуві:

(3.1.10)

Враховуючи [22, 23], одержимо такі формули для основних розрахункових напружень в оболонці:

(3.1.11)

Напруження (3.1.7-3.1.11) характеризують міцність оболонки. Вони є функціями лише двох координат: σ_x = σ_x(x,y); σ_y=σ_y(x,y); τ_xy(x,y). Тому задача про згинання оболонок в математичному аспекті буде двовимірною, а у фізичному – просторовою (тривимірною).

З рівнянь рівноваги тривимірного тіла можна визначити також напруження σ_z, τ_xz, τ_yz які називаються додатковими. Порівняно з основними, ці напруження невеликі і неістотно впливають на міцність оболонки.

Таким чином, в теорії оболонок розглядаються 8 зусиль, 6 деформацій і 3 переміщення. Кожна з цих величин є функцією двох координат (в загальному випадку криволінійних).

Зовнішнє навантаження, що діє на оболонку, задається у вигляді проекцій на координатні осі X, Y, Z, і самі проекції позначаються через

Коли в якійсь області оболонки діють лише мембранні зусилля, тоді такий напружений стан має назву безмоментний. При цьому напруження в поперечних перерізах розподіляються рівномірно по товщині і несуча спроможність матеріалу використовується найповніше.

Саме тому оболонки дають можливість перекривати в десятки разів більші прогони, ніж з використанням пластин тієї ж товщини і стають вельми економічними конструкціями. При проектуванні оболонок завжди прагнуть до того, щоб зусилля моментної групи були якомога меншими за величиною і діяли в обмежених областях.