Як відомо, при розв’язуванні конкретних задач з розрахунку похилих оболонок до системи диференціальних розрахункових рівнянь (3.2.29) необхідно додати умови на контурі.

Згідно з першою гіпотезою теорії тонких оболонок лінійний елемент краю оболонки, нормальний до серединної поверхні, в процесі деформації має розглядатись як абсолютно жорсткий. На рис. 3.2.4 такі елементи позначені АВ і A'B'. Положення такого елемента після деформації визначають 4 величини: три компоненти переміщень середини елемента (С та С1) – u, v, w і кут повертання елемента в площині, нормальній до серединної поверхні і до контурного перерізу (ψ₁ чи ψ₂, залежно від того, як направлена нормаль до контурного перерізу).

Згідно з цим умови жорсткого закріплення, наприклад сторони контуру  у = ук   прямокутної оболонки, записуються так :

u = 0,    v = 0,    w = 0,    ψ2 =  = 0.

(3.2.32)

Тепер розглянемо випадок, коли на вільній стороні контуру прямокутної похилої оболонки, наприклад х = х_к, відсутні внутрішні зусилля. Умовою того, що ця сторона контуру вільна, має бути рівність нулю п’яти внутрішніх зусиль: N₁, S, M₁, M_к (М_К=М₁₂=М₂₁), Q₁, (рис. 3.1.9). Але диференціальні рівняння задачі такі (3.2.29), що на кожній стороні контуру можливе задоволення лише чотирьох умов. В силу цього, на контурі крутні моменти замінюються статично еквівалентними поперечними силами, точно так, як це робиться в теорії згину пластин.

Іншими словами, в теорії похилих оболонок при запису умов на контурі зусилля M_к, Q₁ а також Q₂, M_к замінюються статично еквівалентними поперечними силами Q*₁, Q*₂  [23, 28]:

,                  .

(3.2.33)

Таким чином, граничні умови на вільній від закріплень стороні контуру х = х_к/  прямокутної похилої оболонки записуються у вигляді:

Із (3.2.32 ) і (3.2.34) видно, що умови на жорстко закріпленій стороні контуру записуються в переміщеннях, а на вільній – в зусиллях. Умови на контурі можуть бути і змішаного типу, тобто можливе задання частини умов в зусиллях, частини – в переміщеннях.

Так на рис. 3.2.5, а  показано шарнірно нерухоме закріплення краю  х = х_к.

Граничні умови тут такі:

На рис. 3.2.5, б показано шарнірно рухоме закріплення з рухомістю в напрямку осі Х. Граничні умови:

(В теорії оболонок таке закріплення прийнято називати „шарнірним” і зображується воно так, як показано на рис. 3.2.5, б).

Рис. 3.2.5, в – шарнірно рухоме закріплення з рухомістю в напрямку осі Y.

Граничні умови:

Рис.  3.2.5, г – шарнірне закріплення в напрямку осей х, у або радіальне обпирання. Граничні умови:

Всього можна зобразити 8 видів шарнірних закріплень контуру зв’язками, а загальна кількість варіантів закріплення контуру, що не деформується, – 16. Та цими варіантами умов на контурі не вичерпується вся їх множина. Можливе накладання на контур різного роду пружних зв’язків, а також прикріплення контуру чи його частини до елементів конструкцій арками, фермами і т.д. В цьому випадку умови на контурі описують умови контакту краю оболонки з елементом, до якого прикріплений цей край.