Оболонка на рис. 3.4.1 закріплена шарнірно-рухомо по краях х=0, х=l1, а по двох інших краях закріплення довільне; наприклад, один край може бути жорстко закріплений, інший – вільний.

Розв’язок системи (3.2.29) шукаємо в формі рядів:

(3.4.1)

Навантаження подано теж у вигляді ряду:

(3.4.2)

де коефіцієнти знаходимо згідно з теорією рядів Фур’є:

.

(3.4.3)

Розв’язок (3.4.1) задовольняє умови шарнірного опирання по краях х=0, х=l₁.

Підстановка (3.4.1) і (3.4.2) в систему (3.2.29, б) і прирівнювання до нуля коефіцієнтів за аналогією, як це було зроблено в 3.3.1, приводить до системи диференціальних рівнянь в звичайних похідних за змінною y:

(3.4.4)

Загальний розв’язок однорідної системи рівнянь, що відповідає (3.4.4) шукається у вигляді:

(3.4.6)

де  S_m – постійна величина, поки що невідома;

 A_m, B_m  - довільні постійні.

Підстановка (3.4.6) в (3.4.4) дає систему характеристичних рівнянь (алгебраїчних):

(3.4.7)

Оскільки система (4.7) однорідна відносно Am , Bm, то ці величини будуть ненульовими лише тоді, коли визначник системи дорівнюватиме нулю:

=0.

(3.4.8)

З  (3.4.8) отримуємо характеристичне рівняння:

,

(3.4.9)

що має 8  комплексних коренів такого вигляду:

(3.4.10)

(При m = 1 величини  можна знайти із виразів (3.4.18) і (3.4.17)).

Із (3.4.7) можна знайти відношення , їх має бути 8, як і S_m.

(3.4.11)

В результаті, з урахуванням (3.4.6):

(3.4.12)

Ці розв’язки подаються в більш зручному вигляді за допомогою відомої залежності:

,

а саме:

(3.4.13)

де          

                 (3.4.14)

Постійні   пов’язані з   лінійними залежностями, що витікають з (3.4.11).

Додавши до (3.4.13) часткові розв’язки системи (3.4.4),   та  , що залежать від характеру розподілення навантаження (при = const вони теж постійні),  приходимо до кінцевих виразів:

(3.4.15)

Звідси за допомогою (3.2.18), (3.2.20), (3.2.25), (3.2.31) можна отримати вирази для всіх зусиль і переміщень.

Довільні постійні  (а через них і ) визначаються з граничних умов на краях y = 0  і   y = l2,  загальним числом 8. Таким чином можуть бути уточнені різні способи закріплення цих країв. Якщо розміри оболонки такі, що значення   і   будуть досить великими, то отримаємо, що при  у = l₂/2         (наприклад, при     ). Це значить, що взаємний вплив граничних умов на контурі у = 0 і на контурі у = l2   незначний, і тому можна розв’язувати граничну задачу і знаходити довільні постійні для кожного краю окремо. Тоді, наприклад, для краю у = 0 в формулах (3.4.13), (3.4.15) можна відкинути довільні постійні   і   . Розрахунок в цьому випадку суттєво спроститься.

Описане в цьому розділі рішення можна використовувати в випадках, коли два протилежні краї оболонки (тобто, у = 0  і  у = l2) підкріплено пружними ребрами, а також і тоді, коли є проміжні ребра, що йдуть в тому ж напрямку (в останньому випадку оболонку доводиться ділити на декілька секцій і записувати умови їх спряження). Розв’язання перерахованих задач можна знайти в [23].