4 РІВНОМІРНИЙ РУХ РІДИНИ В ТРУБАХ, ГІДРАВЛІЧНИЙ

ОПІР І РОЗПОДІЛ ШВИДКОСТЕЙ ПО ПЕРЕРІЗУ ПОТОКУ

4.3 Ламірна течія. Гідравлічний опір і розподіл швидкостей по перерізу потоку

Ламінарна течія є строго упорядкованою, шаровою течією без переміщення рідини. Теорія ламінарної течії базується на законі тертя Ньютона. Це тертя між шарами рідини, що рухається, є єдиним джерелом втра ти енергії в даному випадку.

На рис. 4.3 представлена схема усталеної ламінарної течії рідини в прямій круглій циліндричній трубі з внутрішнім діаметром Щоб виключити вплив сили ваги і цим спростити вивод, прийнято, що труба розташована горизонтально. Досить далеко від входу в ній, де потік уже цілком сформувався (стабілізувався), виділено відрізок довжиною l між перерізами 1-1 і 2-2.
Нехай в перерізі 1 – 1 тиск дорівнює Р1, а в перерізі 2 – 2 – Р2. зважаючи на те, що діаметр труби сталий, швидкість рідини буде також сталою, я коефіцієнт a буде незмінний вздовж потоку внаслідок його стабільності, томі рівняння Бернуллі длі вибраних перерізів приймає вигляд
,                                       (4.24)
де hl– втрати наропу на тертя по довжині.
Звідсілля
                          (4.25)
що і показують п’єзометри, які встановлені в цих перерізах.
В потоці рідини виділено циліндричний об’єм радіусом r, який має основи у вибраних перерізах. Запишемо рівняння рівномірного руху виділеного об’єму рідини в трубі, тобто рівність нулю сумі сил, які діють на об’єм: сил тиску і опору
,                                   
звідкілля дотичне напруження на боковій поверхні циліндра
.                                      (4.26)
Епюра дотичних напружень показана на рис. 4.3. Зміна t лінійна. Епюра не залежить від режиму течії.
Виразимо t по закону тертя Ньютона через динамічну в’язкість m і поперечний градієнт швидкості
.                                (4.27)
Знак мінус обумовлений тим, що напрямок підрахунку r (від вісі до стінки) протилежний напрямку підрахунку у (від стінки).
Поєднуючи два рівняння (4.26) і (4.27) маємо
.                                (4.28)
Звідсілля приріст швидкості
.                                         
При додатньому прирості радіуса маємо від’ємний приріст (зменшення) швидкості, що відповідає профілю швидкостей на рис. 4.3.
Виконавши інтегрування одержимо
.                                   (4.29)
Сталу інтегрування знайдемо із умови, що на стінці при
.                                          
Швидкість по колу радіусом r
.                               (4.30)
Цей вираз є законом розподілення швидкостей по перерізу круглої труби при ламінарній течії. Крива (4.30) є параболою другого ступеня.
Максимальна швидкість в центрі перерізу при r0
.                                 (4.31)
Відношення  є сталим вздовж прямої труби сталого діаметра.
Визначимо об’ємну витрату рідини Q через переріз труби.  Д ля цього виразимо спочатку елементарну витрату через нескінченно малу площадку  ds: dQ = u ds. В даному випадку  u  є функція радіуса, яка визначається за залежністю (4.30), а площадку  ds  доцільно взяти у вигляді кільця радіусом  r  і шириною  dr , тоді
.                        (4.32)
Після інтегрування по всій площі поперечного перерізу, тобто від    r = 0 до r=r0
.                      (4.33)
Середню по перерізу швидкість знайдемо діленням витрати на площу
.                         (4.34)
Порівняння цього виразу з залежністю (4.28) показує, що середня швидкість при ламінарній течії в два рази менше максимальної
Закон опору, тобто вираз втрати hl на тертя через витрату і розміри труби. Визначимо   із формули (4.34)
                                 (4.35)
Розділемо цей вираз на а також перейшовши від знайдемо
.                     (4.36)
Тут   Цей  закон який звичайно називають законом Пуазейля, використовується для розрахунку трубопроводів з ламінарною течією.
Приведемо закон опору (4.36) до вигляду формули Вейсбаха-Дарсі
.                                       (4.37)
Для цього у формулі (4.37) замінимо витрату добутком і помноживши і розділивши наі перегрупувавши множники, після скорочення одержимо
,                                 
або, привівши до вигляду формули (4.34), знайдемо
,                                               
де – коефіцієнт гідравлічного тертя для ламінарної течії, тобто
,                                            (4.38)
Втрат напору на тертя по довжині при ламінарній течії пропорційна швидкості в першій степені,
Коефіцієнт Коріоліса a, який враховує нерівномірність розподілення швидкостей по перерізу труби в рівнянні Бернуллі для випадку стабілізованої ламінарної течії рідини в круглій трубі, легко визначити знаючи закон розподілення швидкостей по перерізу труби
.                       (4.39)
Тут використані залежності для (4.29) і (4.34). Позначимо змінну  через Z, знайдемо

                                         .                               (4.40)
Отже, дійсна кінетична енергія ламінарного потоку з параболічним розподілом швидкостей в 2 рази перевищує кінетичну енергію того ж потоку, але при рівномірному розподілу швидкостей.
Таким же шляхом можна показати, що секундна кількість руху ламінарного потоку з параболічним розподілом швидкостей в більша кількості руху того ж потоку, але при рівномірному розподілі швидкостей. Причому коефіцієнт b називається коефіцієнтом Буссінекса, в даному випадку .
Викладена теорія ламінарної течії в круглій трубі добре підтверджується дослідженнями. Виведений закон опору звичайно не потребує якихось поправок, за виключенням таких випадків:

• течія на початковій ділянці труби, де відбувається поступове формування параболічного профілю швидкостей;
• при течії з теплообміном;
• при течії в капілярі і зазорах з облітерацією;
• при течії з великим перепадом тиску.