4.4.2 Обґрунтування регуляризувальних властивостей ФІМІ

Рівняння Вінера-Хопфа (4.64) належить до класу некоректних, тобто таких, в яких малі зміни значень коефіцієнтів можуть призводити до суттєвих змін у значеннях розв’язків.

Для отримання розв’язків таких рівнянь із прийнятною для практичних задач точністю А. Н. Тихонов, а також А. М. Дмитрієв і В. В. Солодовніков запропонували відповідно регуляризувальний та квазірегуляризувальний алгоритми.

Регуляризація за Тихоновим є швидше математичним мистецтвом, аніж чітким алгоритмом. Отже, використовується вона на практиці в інженерних задачах рідко, хоча дає найбільш точні результати.

Квазірегуляризувальний алгоритм Дмитрієва-Солодовнікова, оснований на ортогональному методі моментів, застосовується частіше, оскільки, маючи досить просту обчислювальну схему, дає прийнятні для цілей практики результати.

Регуляризувальна властивість ортогонального методу моментів полягає у процедурі обчислення моментів непарного порядку. Під час їх визначення за допомогою інтегральних формул одночасно здійснюється і фільтрація даних від завад із нульовим середнім. І якби під час розв’язання задач ідентифікації використовувались лише моменти непарного порядку, то ефективність алгоритму, основаного на ортогональному методі моментів, була б не гіршою регуляризувального алгоритму Тихонова за суттєво простішої структури і менших затратах часу на розв’язання задачі. Зниження ж ефективності цього алгоритму пояснюється тим, що разом із моментами непарного порядку він використовує також і моменти парного порядку, для яких характерним є те, що навіть у разі незалежної адитивної завади вони є сумою відповідних моментів сигналу і завади. Тож, тригонометричні ряди Фур’є, під час визначення коефіцієнтів яких завжди здійснюється фільтрація адитивної завади з нульовим середнім, задають більший ступінь регуляризації, ніж будь-яка інша ортогональна система функцій.

Регуляризувальна властивість ФІМІ, який використовує ряди Фур’є, підсилюється додатково ще й тим, що за допомогою критеріальних співвідношень (3.27), (3.28) (дивись підрозділ 3.3 першої частини посібника) під час розв’язання задачі ідентифікації паралельно здійснюється як параметрична оптимізація математичної моделі, так і оптимізація її структури.

Тож можна стверджувати, що для ФІМІ характерна властивість саморегуляризації, завдяки якій цей метод дозволяє отримувати робастні моделі, тобто такі, які дають цілком прийнятні для цілей практики результати за умов використання суттєво «зашумлених» вхідних даних.