Лабораторна робота № 9

ПЕРЕХІДНІ ПРОЦЕСИ В НЕРОЗГАЛУЖЕНОМУ КОЛІ ДРУГОГО ПОРЯДКУ

Мета роботи – дослідження залежності характеру перехідного процесу від параметрів кола, визначення параметрів кола, перевірка теоретичних положень.

Опис роботи

Схема досліджуваного кола зображена на рис. 28, де пунктиром обведені схема заміщення генератора (Г) і котушки індуктивності (К). Опір R і конденсатор (capacitor) С вважаються ідеальними.

Рисунок 28 – Нерозгалужене коло другого порядку

Як пасивні елементи (passive element) електричного кола використовуються елементи з блоків змінних опорів (БЗО), індуктивностей (БЗІ) і ємностей (БЗЄ) УДЛС.

Генератор з внутрішнім опором R_і повинен працювати в режимі «меандр», часова діаграма напруги якого наведена на рис. 29 (графік e(t)),
де Т – період.

Рисунок 29 – Часові діаграми напруги і струму у перехідному процесі

У роботі проводиться осцилографування е. р. с. генератора і напруг на ділянках кола, вказаних у другому рядку таблиці 21.

Оскільки е. р. с. періодична, то відгуки кола також будуть періодичними. Але в мить стрибків е. р. с. від –Е до +Е або навпаки виникає перехідний процес, який переривається наступним стрибком. Крім того, е. р. с. задовольняє умову періодичності е(t)= –e(t±T/2), тому відгуки кола також задовольняють умову u(t)= –u(t±T/2) і можна цікавитись відгуком тільки протягом півперіоду.

Таблиця 21 – Варіанти завдання на лабораторну роботу № 9

Зручно дослід провести так, щоб протягом півперіоду е. р. с. перехідний процес практично завершувався. Останнє буде мати місце при виконанні умови Т/2>t_практ, де t_практ – практична протяжність перехідного процесу, яка залежить від параметрів елементів кола.

За класичним методом розрахунку перехідних процесів перехідний відгук визначається сумою примусової u_пр і вільної u_ві складових
(u = u_пр + u_ві), причому вільна складова залежить від характеристичних коренів кола.

          (59)

де Rе = R + R_L + R_i, еквівалентний опір;

– резонансна частота;

– добротність.

Залежно від добротності виникає три види характеристичних коренів і три різних за характером перехідних процеси.

1. Неперіодичний перехідний процес виникає при дійсних різних коренях р₁ і р₂ (Q<1/2). В цьому випадку відгук на півперіоді визначається виразом

а постійні інтегрування А₁ і А₂ знаходяться з умови періодичності відгуку і його похідної

абзац

За умови Т/2 > t_практ експоненти в останній системі рівнянь наближаються до одиниці і виникає система рівнянь відносно постійних інтегрування, розв'язавши яку знаходимо

                    (60)

                    (61)

Кожна з експонент вільної складової має свою сталу часу і , але практична протяжність перехідного процесу визначається більшою з них (t_практ>5τ_max). Якщо сталі часу відрізняються в декілька (4÷5) і більше разів, то більшу з них можна наближено визначити за кінцевою ділянкою осцилограми методом піддотичної (див. лаб. роботи № 7 і № 8).

2. Критичний перехідний процес виникає при дійсних рівних коренях характеристичного рівняння (Q=1/2)

                    (62)

При дійсних рівних коренях фактично корінь один і його називають коренем другої кратності. При кратному корені відгук на півперіоді

де постійні інтегрування В₁ і В₂ за умови Т/2 > t_практ. знаходяться з умови періодичності і визначаються співвідношеннями

                         (63)

                    (64)

в яких величини визначаються співвідношеннями наведеними в табл. 21.

Стала часу критичного перехідного процесу і саме з нею пов'язана практична протяжність перехідного процесу, яка оцінюється за виразом t_практ > 6,5τ. Якщо Т/2 > t_практ, тоді сталу часу можна оцінити за кінцевою на півперіоді ділянкою осцилограми методом піддотичної.

3. Коливальний перехідний процес має місце при комплексних характеристичних коренях (Q>1/2), які подають у вигляді р_1,2=-δ ±jω_ві, де – уявна одиниця, а

                         (65)

– коефіцієнт згасання коливань,

                    (66)

– частота вільних коливань.

Відгук кола на півперіоді визначається рівнянням

                    (67)

в якому другий доданок описує згасаючі вільні коливання.

Постійні інтегрування А і ψ  знаходяться з умови періодичності і, при півперіоді е. р. с. , більшому практичної протяжності перехідного процесу, визначаються за допомогою рівнянь

                    (68)

          (69)

де наведені в табл. 21.

Експоненціальний закон зміни амплітуди називають обвідною амплітуд і саме він визначає практичну протяжність перехідного процесу, яка визначається виразом t_практ. > 4,6τ, де величину τ=1/δ  називають сталою часу кола. З осцилограми перехідного процесу сталу часу можна визначити як методом піддотичної до обвідної амплітуд, так і за формулою

                    (70)

де t₀ – мить, в яку спостерігається максимум вільних коливань;

Т_ві =2π/ω_ві  – період вільних коливань.

Якісні часові діаграми струму в колі рис. 28 для трьох розглянутих перехідних процесів наведені на рис. 29 графіками і₁, і₂, і₃ (індуктивність L для всіх випадків однакова).

Завдання

1. Скласти коло з послідовно з'єднаних генератора, опору, котушки індуктивності і конденсатора (див. рис. 28). До виходу генератора і до однієї з ділянок, наведених в табл. 21, підключити осцилограф (бригада 1 – до опору, бригада 2 – до індуктивності і т. д. відповідно до табл. 21).

2. Перемкнувши генератор в режим «меандр», отримати на екрані осцилографа коливальний перехідний процес, який спостерігається при малих опорі і ємності, але великій індуктивності. Далі переконатись, що збільшуючи опір можна загасити вільні коливання і отримати як критичний, так і неперіодичний режими.

Примітка. При неможливості отримати всі три перехідних процеси зміною лише опору необхідно змінювати параметри інших елементів кола.

3. Настроївши коло і осцилограф на коливальний перехідний процес так, щоб на півперіоді коливання практично згасали, зарисувати осцилограми вихідної напруги кола і е. р. с. генератора Осцилограма е. р. с. генератора знімається при відключеному від генератора колі. Перенести також масштаб з екрана осцилографа на осцилограми.

4. Виміряти і занести до рядка «коливальний» табл. 22 параметри елементів і генератора.

Таблиця 22 – Параметри елементів при різних перехідних процесах

5. Повторити досліди п.п. 2, 3, 4 для двох інших перехідних процесів.

Обробка результатів

1. З осцилограм визначте величини і розрахуйте їх за формулами табл. 21 і даними табл. 22. Порівняйте відповідні величини, визначені різними способами, і вкажіть причини можливих розбіжностей.

2. З осцилограм і за формулами визначте характеристичні корені і порівняйте їх. (Для неперіодичного процесу визначається тільки менший за модулем корінь.)

3. Отримайте аналітичні вирази дослідженого відгуку для кожного перехідного процесу.

4. Зробіть висновки по роботі, привернувши увагу до відмінностей коливального, неколивального і критичного перехідних процесів.

Контрольні запитання

1. Обґрунтуйте співвідношення, що визначають стрибки відгуків і їх похідних, які наведені в табл. 21.

2. За яких умов відгуки кола на зовнішню дію задовольняють вимогу u(t)=–u(t±T/2)?

3. Як у досліджуваному колі (див. рис. 28) визначити початкові умови для перехідних процесів, викликаних стрибками е. р. с. ?

4. За яких умов за осцилограмою неперіодичного перехідного процесу можна наближено визначити один з характеристичних коренів методом піддотичної?

5. Як за осцилограмами критичного і періодичного процесів визначити характеристичні корені?

6. Дайте пояснення змісту терміну «практична протяжність перехідного процесу» і як її наближено визначити за параметрами елементів кола?

7. Доведіть, що при перезарядці ємності в колі рис. 28 від –Е до +Е втрати енергії в чотири рази перевищують максимальне значення енергії ємності .

8. Чи можна стверджувати, що критичний перехідний процес завершуєшся найшвидше? Дайте обґрунтовану відповідь.

9. Знайдіть кількість періодів вільних коливань, за яку амплітуда коливань зменшується в разів і як ця величина пов’язана з добротністю кола?

10. Чи може напруга ємності під час перехідного процесу перевищувати максимальне значення е. р. с. генератора?

Література

[10, С. 313–326; 11, С. 287–291; 14, С. 249–250]