Мета роботи

 

Отримання навичок розв’язування двохіндексної загальної розподільної задачі ЛП і її застосування до оптимального розподілу виробничих потужностей.

 

Порядок виконання роботи

 

1. Відповідно до номера свого варіанта виберіть умову задачі.

2. Побудуйте розподільну таблицю для варіанта виробництва без спеціалізації і перетворіть її в транспортну таблицю.

3. Розв’яжіть в Excel отриману транспортну задачу і перетворіть отриманий розв’язок в розв’язок розподільної задачі.

4. Проаналізуйте результати організації виробництва без спеціалізації і прийміть розв’язування про те, який корпус буде спеціалізуватися на випуску якого виду продукції.

5. Розв’яжіть другу підзадачу для варіанта виробництва зі спеціалізацією аналогічно першій підзадачі (п.1 – 4).

6. Зробіть вибір оптимального розподілу виробничих потужностей (зі спеціалізацією або без спеціалізації) на підставі результатів розв’язування обох підзадач.

7. Оформіть звіт з лабораторної роботи, що повинен містити:

– титульний аркуш;

– розподільні і транспортні таблиці обох підзадач із вказанням одиниць вимірювання;

– результати розв’язування кожної підзадачі;

– висновок про те, який з варіантів розподілу виробничих потужностей є оптимальним.

 

5.1 Теоретична частина

 

Загальна розподільна задача ЛП – це розподільна задача, у якій роботи і ресурси (виконавці) виражаються в різних одиницях виміру. Наприклад, організація випуску різнорідної продукції на устаткуванні різних типів; організація виконання набору завдань працівниками різної кваліфікації; організація перевезення декількох видів товарів на транспорті різних видів і т.д. (двохіндексні задачі).

 

Вихідні параметри моделі двохіндексної загальної РЗ

1. n – кількість виконавців (верстатів, працівників, транспортних засобів і т. д.), m – кількість видів робіт (продукції, що випускається, перевезених товарів і т. д.).

2.  – запас ресурсів виконавця  () (фонд часу роботи устаткування або працівника; кількість транспортних засобів і т.д.), приклад одиниць вимірювання [од. часу].

3.  – план з виконання роботи  () (обсяг випуску продукції; обсяг виконання завдань; потреба в перевезеному товарі і т.д.), приклад одиниць вимірювання [од. тов.].

4.  – тариф (вартість) виконання роботи  виконавцем  (собівартість одиниці випуску продукції; витрати на виконання одного завдання; тарифи перевезення одиниці товару), приклад одиниць вимірювання [грош. од./од. тов.].

5.  – інтенсивність виконання роботи  виконавцем  (продуктивність випуску продукції, виконання завдань; місткість транспортного засобу і т.-д.), приклад одиниць вимірювання                    [од. тов./од. часу].

 

Шукані параметри моделі РЗ

 

1.  – завантаженість виконавця  при виконанні роботи  (час, затрачуваний на випуск продукції або на виконання завдань; кількість транспортних засобів певного виду, задіяних у перевезенні), приклад одиниць вимірювання [од. часу].

2.  – кількість робіт , що повинен буде зробити виконавець  (обсяг випущеної продукції, виконаних завдань, перевезених товарів і т.д.), приклад одиниць вимірювання [од. тов.].

3.  – загальні витрати на виконання всього запланованого обсягу робіт, приклад одиниць вимірювання [грош. од.].

 

Етапи побудови моделі

 

1. Визначення змінних.

2. Побудова розподільної матриці (табл. 5.1).

3. Завдання ЦФ.

4. Задання обмежень.

 

 

Таблиця 5.1 – Загальний вигляд розподільної матриці

Модель двохіндексної загальної РЗ

 

;

(5.1)

Таким чином, формально модель загальної РЗ відрізняється від моделі ТЗ використанням параметра інтенсивності виконуваних робіт  у ЦФ і для задання обмежень з виконуваних робіт (стовпців).

Етапи розв’язування РЗ

 

I. Перетворення РЗ у ТЗ:

а) вибір базового ресурсу і розрахунок нормованих ресурсів

 

;

(5.2)

 

б) перерахування запасу робочого ресурсу виконавців

 

;

(5.3)

 

в) перерахування планового завдання

 

(5.4)

 

г) перерахування собівартостей робіт

 

.

(5.5)

 

II. Перевірка балансу перелічених параметрів  і побудова транспортної матриці.

III. Пошук оптимального розв’язку ТЗ .

IV. Перетворення оптимального розв’язку ТЗ  в оптимальний розв’язок РЗ , причому перехід  виконується за формулою (7.6):

 

;

(5.6)

 

де  і  – відповідно елементи розв’язку РЗ і ТЗ.

 

V. Визначення кількості робіт , що відповідає оптимальному розв’язку РЗ :

 

.

(5.7)

 

VI. Визначення ЦФ розподільної задачі  (див. підрозд. 5.1).

 

5.2 Постановка задачі

 

На АТ “Світлана” підготовлені до серійного виробництва 5 нових виробів I₁, I₂, I₃, I₄, I₅,  оптові ціни  яких рівні відповідно (46, 27, 40, 35, 23) [грн./шт.]. Виробництво може бути розгорнуте в чотирьох складальних корпусах , , , . Витрати в гривнях на виготовлення j-го виробу в i-у корпусі задаються матрицею . Пропонується спеціалізувати один складальний корпус, для чого буде потрібно його додаткове переустаткування.

Витрати на переустаткування в тис. грн. задаються матрицею .

(грн./шт.);

 

(тис. грн.).

 

При випуску виробів зі спеціалізацією витрати  зменшаться на       15–20% у кожному корпусі. Фонди часу  роботи корпусів у плановому періоді рівні відповідно 550, 870, 620, 790 годин, план випуску продукції  в штуках складає відповідно 6400, 8700, 16 400, 4800, 4600, а трудомісткість у хвилинах виготовлення однієї одиниці продукції у відповідному корпусі задається матрицею .

 

(шт./хв).

 

Розгляньте два варіанти роботи підприємства: без спеціалізації і зі спеціалізацією. Виберіть найкращий варіант і обґрунтуйте свій вибір.

 

5.3 Інструкція до виконання лабораторної роботи

 

Нехай  – кількість часу (хв.), що корпус  буде витрачати на випуск виробу  протягом планового періоду.

Виробництво без спеціалізації

Розглянемо виробництво без спеціалізації корпусів. Розподільна матриця такої задачі наведена в табл. 5.2.

 

Таблиця 5.2 – Розподільна матриця задачі без спеціалізації

Корпуси,	Виробу, Ij					Фонд часу [год]
	I1	I2	I3	I4	I5
	20 8	120 19	30 7	15 21	10 9	550
	16,66 43	100 12	25 40	12,50 26	8,33 15	870
	10 9	60 18	15 23	7,50 27	5 20	620
	8,33 21	50 16	12,50 22	6,25 13	4,17 21	790
План [шт.]	6400	8700	16 400	4800	4600

 

При її побудові необхідно враховувати, що параметр інтенсивності виконання робіт  у даному випадку – це продуктивність корпусу  з випуску виробу . Але у вихідних даних замість  дана кількість хвилин, затрачуваних у корпусі  на виробництво одного виробу , тобто трудомісткість . Продуктивність і трудомісткість за своїм значенням – зворотні величини, тобто

 

.

(5.8)

 

Наприклад, на виробництво виробу  в корпусі  потрібно 0,5 хвилини, тому протягом години (60 хв.) буде зроблено120 виробів:

 

.

 

Примітка. При розв’язуванні РЗ у Excel можна обійтися без округлень проміжних значень усіх параметрів задачі. Для цього розрахунок цих значень необхідно робити прямо у відповідних осередках. Наприклад, в осередок для  замість округленого числа 8,333 треба ввести вираз . Результати розв’язування розглянутої задачі (, , , ) отримані в Excel без округлення проміжних обчислень.

На підставі розподільної табл. 5.2 будуємо модель РЗ – ЦФ (зведені округлені значення) і обмеження:

 

(5.9)

 

Перетворимо РЗ у ТЗ. Як базовий корпус можна вибрати будь-який, але ми віддамо перевагу корпусу з максимальною продуктивністю, тобто корпусу . За формулою (5.2) визначимо продуктивності корпусів , нормовані щодо продуктивності базового верстата:

;

;

; .

 

Перерахуємо фонди часу корпусів за формулою (5.3):

 [год];  [год];  [год];

 [год].

Перерахуємо планове завдання за формулою (5.4):

 [год]; [год];

 [год];

 [год];  [год].

Перерахування собівартостей робимо за формулою (5.5). Наприклад:

 [грн./год];  [грн./год];

 [грн./год];  [грн./год].

Усі перелічені параметри РЗ зведені в транспортну матрицю задачі без спеціалізації (табл. 5.3). Перед записом цієї матриці треба перевірити збалансованість отриманої ТЗ, тобто умову

 

.

 

У даній задачі умова балансу не виконується, тому що 1914,167 > 1719,167, тобто

 

.

 

Це означає, що фонди часу корпусів дозволяють зробити більше продукції, ніж це передбачено плановим завданням. Для одержання балансу додамо в транспортну таблицю фіктивний стовпець  із плановим завданням

 [год]

і фіктивними тарифами  [грн./год], що перевищують за своїм значенням усі реальні тарифи  отриманої ТЗ.

 

Таблиця 5.3 – Транспортна матриця задачі без спеціалізації

Корпуси,	Вироби,						[год]
	I1	I2	I3	I4	I5	Iф
	160	2280	210	315	90	10 000	940
	860	1440	1200	390	150	10 000	141,61
	180	2160	690	405	200	10 000	275
	420	1920	660	195	210	10 000	282,88
[год]	300	81,667	580	346,667	38,334	195	1914,167

 

Примітка. При розв’язуванні ТЗ у Excel, можливо, прийдеться збільшити відносну похибку розв’язку в параметрах вікна “Поиск решения”.

Оптимальний розв’язок ТЗ  [год] з табл. 5.3 без фіктивного стовпця (усі значення округлені до трьох знаків після коми) має такий вигляд:

 

 

Оптимальний розв’язок РЗ  [год] одержуємо з оптимального розв’язування ТЗ  [год], наприклад:

 [год];  [год];  [год].

 

	3,33333	0	546,667	0	0
	0	87	0	0	552
	620	0	0	0	0
	16	0	0	768	0

 

Значення  – це час, протягом якого корпус  буде випускати виріб . Щоб довідатися, яке кількість продукції будуть випускати корпуси, тобто  [шт.], скористаємося формулою (5.7), наприклад:

 [шт.];  [шт.].

У даному розрахунку округлення (до меншого цілого) обов'язкові, оскільки продукція, що випускається, штучна:

 

	66	0	16400	0	0
	0	8699	0	0	4600
	6200	0	0	0	0
	133	0	0	4800	0

 

Визначимо витрати на виробництво продукції без спеціалізації:

 

;

(5.10)

 

 [грн.].

 

При розрахунку витрат на виробництво значення у фіктивному стовпці (рядку) не враховуються. Витрати, розраховані за формулою (5.1) і формулою (5.10), у принципі, однакові, але в даній задачі будуть трохи розрізнятися. Це зв'язано з тим, що в (5.10) ми використовували вже округлені до меншого цілого значення .

Виробництво зі спеціалізацією. Щоб прийняти розв’язування про те, який корпус будемо спеціалізувати і на випуску якої продукції необхідно проаналізувати розподіл випуску продукції по корпусах, тобто . У розглянутій задачі перший корпус зайнятий в основному випуском продукції I_j (16 400 шт. виробу I₃ і 66 шт. виробу I₁). Число 16 400 шт. виробів I₃ – це найбільша кількість продукції того самого виду, вироблена тим самим корпусом. Тому приймемо розв’язування про спеціалізацію першого корпусу на випуску виробів I₃.

Таким чином, виникає задача оптимального розподілу продукції по неспеціалізованих корпусах ,  і . При цьому необхідно з'ясувати, чи зможе корпус  за свій фонд часу зробити планове завдання за обраним видом продукції I₃. У даному випадку за  видно, що корпус устигає зробити планові 16 400 шт. виробу I₃. Таким чином, у новій задачі будемо розподіляти продукцію I₁, I₂, I₄, I₅, по корпусах ,  і .

 

Примітки:

1. У загальному випадку для відповіді на запитання, чи встигне корпус виконати план з конкретної продукції, необхідно використовувати дані про фонд часу і продуктивність корпусу.

2. Якби корпус  не встигав за свій фонд часу випустити плановану кількість виробів I₃, то в новій задачі треба було б розподіляти між корпусами також і ту частину I₃, що не устиг випустити .

Розподільна матриця задачі без спеціалізації, у якій враховане зменшення витрат на виробництво на 15%, подана в таблиці 5.4.

 

Таблиця 5.4 – Розподільна матриця задачі зі спеціалізацією

Корпуси,	Вироби, Ij				Фонд часу [год]
	I1	I2	I4	I5
	16,667 36,55	100 10,2	12,500 22,1	8,333 12,75	870
	10 7,65	60 15,3	7,500 22,95	5 17	620
	8,333 17,85	50 13,6	6,250 11,05	4,167 17,85	790
План [шт.]	6400	8700	4800	4600

 

 

  

Таблиця 5.5 – Транспортна матриця задачі зі спеціалізацією

Корпуси,	Вироби, Ij					[год]
	I1	I2	I3	I4	Iф
	609,167	1020	276,25	106,25	10 000	870
	127,5	1530	286,875	141,667	10 000	372
	297,5	1360	138,125	148,75	10 000	395
[год]	384	87	384	552	230	1637

 

У результаті розв’язування задачі зі спеціалізацією одержуємо такий оптимальний розподіл виробничих потужностей і продукції:

 

		I1	I2	I4	I5
		0	87	1	552
		620	0	0	0
		24	0	766	0

 

		I1	I2	I4	I5
		0	8700	12	4600
		6200	0	0	0
		200	0	4787	0

 

Загальні витрати на виробництво зі спеціалізацією  містять у собі:

а) витрати на виробництво 16 400 шт. виробів  у спеціалізованому корпусі

 [];

б) витрати на виробництво в інших корпусах               [грн.];

в) витрати на переустаткування спеціалізованого корпусу (матриця S у вихідних даних)  [грн.].

 

 [грн.].

 

Порівнюючи витрати на виробництво заданого обсягу продукції без спеціалізації  [грн.] і зі спеціалізацією            [грн.], дійдемо висновку, що вигідно організувати виробництво без спеціалізації.

Примітка. При розв’язуванні подібних задач можлива ситуація, коли після проведення спеціалізації одного з корпусів виробничих потужностей, інших корпусів не вистачає для випуску іншої продукції (сумарний перелічений фонд часу менше сумарного переліченого плану випуску). Тоді внаслідок спеціалізації частина запланованого обсягу продукції зроблена не буде, що неминуче спричинить за собою втрати прибутку від незробленої і непроданої продукції. Це приведе до додаткового збільшення загальних витрат.

 

5.4 Варіанти

 

Таблиця 5.6 – Оптові ціни, фонди часу і план випуску продукції

Номер вар.	[грн./шт.]	[год]	[шт.]
1	26; 28; 35; 31; 20	720; 680; 700; 990	12 000; 9500; 8000; 7000; 12 450
2	30; 29; 40; 25; 35	820; 650; 700; 740	8400; 700; 12 000; 10 800; 6100
3	15; 12; 26; 14; 30	700; 520; 660; 1080	5000; 16 000; 6000; 8100; 7500
4	25; 27; 34; 31; 22	780; 450; 750; 940	7500; 2400; 8200; 11 500; 7800
5	25; 27; 37; 30; 22	700; 350; 910; 740	8600; 10 000; 7000; 9500; 8000
6	24; 29; 34; 37; 20	680; 750; 320; 500	6000; 21 000; 17 000; 7300; 4100
7	18; 12; 24; 19; 30	810; 680; 700; 720	9400; 7500; 10 000; 11 000; 4000
8	29; 26; 34; 40; 30	260; 500; 320; 480	8500; 5700; 14 000; 15 400; 11 650
9	20; 18; 31; 23; 30	680; 750; 950; 840	14 800; 6000; 12 000; 4000; 10 000
10	22; 15; 30; 32; 24	470; 850; 500; 750	6470; 7400; 17 500; 3700; 4700
11	26; 30; 37; 18; 29	550; 200; 680; 740	6500; 10 000; 13 200; 8500; 2000
12	26; 29; 37; 28; 32	820; 670; 700; 740	8400; 150; 12 000; 10 800; 5500

 

Витрати на переустаткування цехів  [тис. грн.] рівні:

 

для парних варіантів ;

 

для непарних варіантів.

 

 

Таблиця 5.7 – Витрати на виробництво і трудомісткість випуску продукції

Продовження таблиці 5.7

 

5.5 Запитання на захист роботи

 

1.                Які вихідні і шукані параметри моделі двохіндексної загальної РЗ?

2.                Який вигляд має модель двохіндексної загальної РЗ?

3.                Який економічний зміст елементів моделі двохіндексної загальної РЗ (змінних, ЦФ, обмежень)?

4.                Яка суть кожного етапу розв’язування РЗ?

5.                Якими критеріями необхідно керуватися при виборі корпусу і продукції для спеціалізації?

6.                Як визначаються усі витрати, зв'язані з виробництвом продукції, у кожному з варіантів роботи підприємства?

7.                Яка постановка стандартної транспортної задачі?

8.                Запишіть математичну модель транспортної задачі.

9.                 Перелічіть вихідні і шукані параметри моделі транспортної задачі.

10.            Яка суть кожного з етапів побудови моделі транспортної задачі?

11.            Розкрийте поняття збалансованості транспортної задачі.

12.            Що таке фіктивні і заборонні тарифи?

13.            У якому співвідношенні повинні знаходитися величини фіктивних і заборонних тарифів при необхідності їхнього одночасного використання в транспортній моделі?

14.            В чому суть транспортної задачі?

15.            Яке практичне значення транспортної задачі?

16.            Навіщо при розв’язуванні транспортної задачі додаються фіктивні споживачі або постачальники?

17.            Назвіть приклад використання транспортної задачі.

18.           Що робити, коли після проведення спеціалізації одного з корпусів виробничих потужностей, інших корпусів не вистачає для випуску іншої продукції?

19.            Що Ви розумієте під оптимізацією розподілу виробничих потужностей?