1.10. Одержання формули Пуассона

Формула Пуассона дає приблизне значення імовірності в тому випадку, коли число випробувань n велике, а імовірність p=P(А) в кожному з окремих випробувань маленька, оскільки добуток цих чисел є заданим числом, незалежним від n, а значить , досить мале. Тоді , m=0, 1, 2,…, n. Сума всіх ймовірностей дорівнює:

.

Доведемо, що закон Пуассона є граничним для біноміального розподілу (Binomial distribution) , якщо одночасно число дослідів прямує до нескінченності, а імовірність p  до нуля, причому їх добуток зберігає стале значення, . Будемо перетворювати вираз:

.

Значить , , де . Одержано формулу Пуассона або закон Пуассона. Цей закон дає можливість наближати біноміальний розподіл при великій кількості випробувань і малій імовірності події А в кожному випробуванні. Ця властивість закону дає йому назву “Закон рідкісних явищ”.

Приклад. На завод прибула партія деталей кількістю 1000 штук. Імовірність того, що деталь буде бракованою, рівна 0,001. Обчислити імовірності того, що:

1) бракованих буде не більше однієї;

2) бракованих буде 5.

Розв’язання.

, , тоді ;

;

; .

Приклад. Нехай телефоністка в середньому за годину одержує N викликів, то ймовірність того, що протягом однієї хвилини вона одержує k викликів, виражається формулою Пуассона:

; .

Праці Пуассона відносять до теоретичної і небесної механіки , математики і математичної фізики . Пуассонові належать праці з інтегрального числення ( інтеграл Пуассона ), числення скінченних різниць (формула підсумовування Пуассона), теорії диференціальних рівнянь в частинних похідних, теорії ймовірностей, де він довів окремий випадок закону великих чисел і одну з граничних теорем ( теорема Пуассона , розподіл Пуассона ).

Питання для самоперевірки

1. Що називається простором або множиною елементарних подій?

2. Дайте означення об’єднання (суми), перетину (добутку), різниці двох, трьох і більше подій. Як позначаються вказані операції для n подій?

3. Яким властивостям задовольняє статистична ймовірність, яке її означення? Чим воно відрізняється від означення класичної ймовірності?

4. Наведіть означення частоти ймовірності випадкової події.

5. Сформулюйте аксіоми теорії ймовірностей.

6. Запишіть формули для обчислення перестановок, сполучень, розміщень.

7. Наведіть основні етапи розвитку комбінаторики.

8. Як формулюються і доводяться теореми до давання сумісних і несумісних подій?

9. Залежні і незалежні події. Теореми множення подій.

10. Що таке геометричні ймовірності?

11. Хто вперше займався проблемою геометричної ймовірності?

12. Схема, що приводить до формули повної ймовірності і формули Байєса.

13. Хто справжній автор теореми Байєса?

14. Схеми Бернуллі і Пуассона. Біноміальний розподіл Бернуллі. Одержання формул Бернуллі.