2. ДИСКРЕТНІ І НЕПЕРВНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ ТА ЇХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Поняття випадкової величини (в.в.) є одним з основних в теорії імовірностей та її застосуваннях. Випадковими величинами (the random variables), наприклад, є число випавших очок при одноразовому киданні грального кубика; число атомів радія, що розпалися за даний проміжок часу; відхилення від номіналу деякого розміру деталі при правильно налагодженому технологічному процесі і т.д.

Таким чином випадковою величиною називається змінна величина, яка в результаті досліду може приймати те чи інше числове значення.

Надалі будемо розглядати два типи випадкових величин – дискретні (discrete) і неперервні (сontinuous).

2.1. Дискретні випадкові величини

Розглянемо випадкову величину (випадкові величини будемо позначати малими буквами грецького алфавіту), можливі значення якої утворюють скінченну або нескінченну послідовність чисел х₁, х₂, ..., х_n, …

Означення. Нехай задана функція Р(х), значення якої в кожній точці х = х_і (і = 1, 2, …) рівне імовірності того, що величина прийме значення х_і

Р(х_і) = Р(=х_і). Така випадкова величина називається дискретною (перервною).

Функція Р(х) називається законом розподілу ймовірностей випадкової величини або законом розподілу. Дана функція визначена в точках послідовності х₁, х₂, .., х_n, ... .

В кожному з дослідів випадкова величина приймає завжди яке-небудь значення з області її зміни, тому: Р(х₁)+Р(х₂)+…+Р(х_n)+…=1.

Приклад. Випадкова величина  число очок, які випадають при разовому киданні грального кубика. Можливі значення  числа 1, 2, 3, 4, 5 і 6. При цьому імовірність того, що прийме одне з цих значень, одна й та ж сама і рівна 1/6. Таким чином тут закон розподілу ймовірностей є функція Р(х)=1/6 для довільного значення х із множини {1, 2, 3, 4, 5, 6}.

Проводиться n незалежних дослідів, в результаті кожного з яких може з’явитися чи не з’явитися подія А. Нехай імовірність появи події А в кожному з дослідів дорівнює p.

Розглянемо випадкову величину  число появ події А при n незалежних дослідах. Область зміни складається з усіх цілих чисел від 0 до n включно.

Закон розподілу ймовірностей визначається формулою Бернуллі (підрозділ 1.8.).

.

Нехай випадкова величина може приймати довільне ціле невід’ємне значення. Причому

; (=0,1,2,…n,…).

де  деяка додатна константа.

Кажуть, що випадкова величина розподілена за законом Пуассона, якщо можливі значення випадкової величини утворюють скінченну послідовність х₁, х₂, …, х_n. Закон розподілу ймовірностей випадкової величини дають у вигляді таблиці, в якій

; .

Таблиця 2.1

Цю таблицю називають рядом розподілу (the number distribution) випадкової величини . Функцію можна показати у вигляді графіка (рис. 2.1). Для цього візьмемо прямокутну систему координат на площині. По горизонтальній осі будемо відкладати можливі значення випадкової величини , а по вертикальній осі – значення функції ; якщо з`єднати точки цього графіка, то отримаємо фігуру, що називається многокутником розподілу (polygons sharing).

Рис. 2.1