1.9. Найімовірніше число появи події при повторенні дослідів

Означення. Найімовірнішим числом (the most likely number) появи події А в n незалежних випробуваннях називається число, для якого імовірність перевищує або не менше імовірності кожного із інших можливих результатів випробувань.

Нехай числу відповідає імовірність:

.

Тоді за визначенням як найімовірнішого числа:

; .

На основі цих нерівностей за формулою Бернуллі одержимо:

, звідки при скороченні отримаємо: ;

; .

Аналогічно одержимо:

.

При скороченні одержимо:

, .

Об’єднуючи одержані нерівності, матимемо

                    (1.3)

Ця подвійна нерівність визначає найімовірніше число.

Зауваження. Довжина інтервалу, яка визначається нерівністю найімовірнішого числа, дорівнює одиниці: . Тому, якщо границі цього інтервалу є дробові числа (fractions of), – одержимо одне значення найбільш імовірного числа . Якщо границі є цілі числа – одержимо два значення найбільш імовірного числа.

Приклад. При даному технологічному процесі 85% всієї виготовленої продукції є продукцією вищого сорту. Знайти найімовірніше число виробів вищого сорту в партії зі 150 деталей.

Розв’язання.

За умовою n=150; p=0,85; q=1-0,85=0,15. Згідно з нерівністю (1.3) маємо:

.

.

Найімовірніше число виробів вищого сорту в партії зі 150 виробів становить 128.

Приклад. Визначити найбільш імовірне число збитих літаків в групі з 13 бомбардувальників, якщо літаки збивають незалежно один від одного. Імовірність поразки одного літака рівна 4/7.

Розв’язання.

За умовою n=13; p=4/7; q=3/7; , звідки , два  найбільш імовірне число збитих літаків.

Приклад. Імовірність попадання в ціль при одному пострілі дорівнює 0,6. Знайти найімовірніше число попадань в ціль з 8 пострілів і знайти відповідну імовірність. Порівняти із сусідніми значеннями.

Розв’язання.

n=8, p=0,6; q=0,4; np-q=8·0,6-0,4=4,4; np+p=8·0,6+0,6=5,4. Найімовірніше число попадань і значить .

;