2.4. Числові характеристики випадкових величин

Дуже важливими в теорії імовірностей є окремі числові параметри (the number of parameters), що характеризують істотні риси розподілу випадкових величин: математичне сподівання (the mathematical expectation), що є деяким середнім значенням, навколо якого ґрунтуються можливі значення випадкової величини; дисперсія (dispersion) і середнє квадратичне відхилення (the mean square deviation), які характеризують ступінь розсіювання (the power dissipation) випадкових величин в околі математичного сподівання.

Поняття математичного сподівання в найпростішому елементарному (але не в явному) вигляді з’явилося досить рано в історії розвитку аксіоматичної частини теорії ймовірності. Неявно (опосередковано) воно було присутнє у листуванні математиків Б. Паскаля і математика П’єра Ферма (1654 р.). Однак вчені у своєму листуванні лише підсвідомо використовували дане поняття, не означаючи його. Вперше формальне означення математичного сподівання дав голландський математик Х. Гюйгенс у своїй книзі “Математичні етюди” (1657 р.), (яка до початку ХVIII ст. вважалася зразковою). Гюйгенс пише: “Якщо число випадків, в яких можна отримати суму а,дорівнює , і число випадків, у яких можна отримати суму b, дорівнює q, і всі випадки можна отримати однаково легко, то вартість мого сподівання визначається виразом:

.

Це і є визначення математичного сподівання для дискретних випадкових величин. Означення, наведене Гюйгенсом, фактично є узагальненим поняттям середнього арифметичного, яке широко застосовувалося в торгівлі і промисловості для визначення середніх цін, середнього продукту. Для Голландії середини ХVII ст. це є природним, оскільки саме в цей час в цій країні, раніше ніж в багатьох інших, почав розвиватися торгово-промисловий і банківський облік. Саме тому термінологія Х. Гюйгенса носить комерційний характер, зокрема, вчений вважає, що математичне сподівання – це ціна шансу на виграш в елементарній грі. Він приходить до висновку, що справедлива ціна – це середня ціна. Сам Х. Гюйгенс не називає математичне сподівання так, він використовує термін “вартість шансу”.

Ідея визначення поняття математичного сподівання присутня у книзі М. Бернуллі “Про застосування мистецтва припущень” (ХVIII ст.) і в роботі, що їй передувала, “Мистецтво припущень” Д. Бернуллі (1713 р.) (обидва математики належать до сім’ї відомих швейцарських математиків). Крім того, Д. Бернуллі зробив порівняння формул для обчислення математичних сподівань з правилом обчислення координат центра ваги системи матеріальних точок.

Варто зауважити, що географія розвитку поняття математичного сподівання є досить широкою – охоплює практично всю Європу, що було нехарактерним для ХVIII ст., оскільки більшою мірою увагу математиків привертало дослідження питання ймовірності випадкової події. Наприклад, у відомій на той час енциклопедії про ймовірності  книзі П. Лапласа “Аналітична теорія ймовірностей” немає ні визначення математичного сподівання, ні правил та теорем для нього, отже, розвиток поняття математичного сподівання носив діалектичний характер. З одного боку, увага вчених була прикута до поняття ймовірності, з іншого – до понять математичного сподівання і дисперсії для в.в., що були введені дещо пізніше (1936 – 1938 рр.) П. Л. Чебишовим. В лекціях, які він читав у Петербурзькому університеті, він говорить про величини (маючи на увазі випадкові величини), їх математичне сподівання і дисперсію. Однак у своїй книзі “Досвід елементарного аналізу” (1845 р.) автор П. Л. Чебишов не згадує ні про випадкові величини, ні про математичне сподівання, ні про дисперсію.