2.5. Математичне сподівання та його характеристики

Введемо поняття математичного сподівання дискретних (д.в.в.) і неперервних випадкових величин (н.в.в.) та розглянемо їх властивості.

Нехай  дискретна випадкова величина із заданим законом розподілу ймовірностей: Р (=х)=p_i, який показано нижченаведеною таблицею.

Таблиця 2.2

....=1.

Математичним сподіванням (mathematical expectation) М()= М дискретної випадкової величини називається сума парних добутків всіх можливих значень випадкової величини на відповідні їм імовірності:

==хр+ хр+…хр+…хр.

Математичним сподіванням М неперервної випадкової величини з густиною розподілу f(х) називається число, яке визначається рівністю:

=

При цьому вимагається, щоб невласний інтеграл, який стоїть в правій частині рівності, був збіжним.

Приклад. Станок штампує деталі. Проектна довжина деталі є математичним сподіванням в.в.  довжини одержаної деталі.

Властивості математичного сподівання

Властивість 1. МС=С. Сталу С можна розглядати як випадкову величину , яка може приймати тільки одне значення С з імовірністю, рівною одиниці. Тому .

Або для неперервних випадкових величин

=.

С ; .

Властивість 2. Сталий множник (the sustainable multiplier) можна виносити за знак математичного сподівання:

;

або н. в. в. .

Властивість 3. Математичне сподівання суми декількох випадкових величин дорівнює сумі математичних сподівань цих величин:

.

Доведення

Доведення проведемо для двох випадкових величин. Нехай д. в. в. має значення , m=1,2,…; д. в. в. має значення у, k =1,2,…, . Тоді сума + буде д. в. в., значення якої x_m+y_n приймаються з деякими ймовірностями Р(=x_m, =y_k), тому, використовуючи формулу для математичного сподівання, маємо:

=

.

В останній рівності застосована формула повної ймовірності:

за якою

,

,

де і   відповідні події.

Властивість 4. Нехай і взаємно незалежні випадкові величини. Тоді М(.

Щоб довести 4-ту властивість, зауважимо, що випадкова величина () приймає значення x_my_к з імовірностями Р(=x_m; =y_к), і незалежні,

Р(=x_m, =x_m).

і тому

М(

Якщо і залежні, то рівності може не бути. Для неперервних випадкових величин властивість 3 і властивість 4 будуть доведені нижче.

Покажемо зв’язок математичного сподівання випадкової величини із середнім арифметичним значенням д. в. в. при великій кількості випробувань, а саме покажемо, що при великій кількості випробувань середнє арифметичне значень спостережень близьке до математичного сподівання.

Твердження 1. Середнє арифметичне значень д. в. в., які спостерігаються в дослідах при необмеженому зростанні числа випробувань, прямує до її математичного сподівання.

Пояснення. Нехай відбувається N незалежних випробувань. Нехай

значення х з’явилось n раз,

значення х з’явилось nраз,

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

значення х з’явилось n_k раз.

Обчислимо середнє арифметичне одержаних значень :

.

При великій кількості випробувань N відносна частота прямує до ймовірності появи значення x, тоді

Математичне сподівання називається також моментом першого порядку (moment of first order) або середнім значенням (average) випадкової величини.

Приклад. Визначити математичне сподівання випадкової величини  числа попадань при трьох пострілах, якщо імовірність попадання при кожному пострілі Р = 0,4.

Розв’язання.

Випадкова величина може прийняти значення: x=0, x=1, x=2, x=3. Складемо таблицю розподілу даної випадкової величини. Імовірності цих значень знаходимо за схемою Бернуллі: n=3; p=0,4; q=0,6.

Математичне сподівання обчислюємо за формулою:

М=; М  середнє арифметичне числа попадань.

Твердження 2. Математичне сподівання випадкової величини називається центром розподілу імовірності (the probability distribution center) в. в. .

Пояснення. Назва “центр розподілу ймовірностей” введено за аналогією з назвою “центр ваги”. Якщо по осі Ох в точках з абсцисами х, х, …, х знаходяться маси p, p,…, p , то відомо, що абсциса центра ваги визначається за формулою:

Рис. 2.4

;

якщо =1, то х=.

Рис. 2.5

Звідки слідує, що центр ваги маc і математичне сподівання обчислюються за аналогічними формулами.

Звідки назва математичного сподівання “центр розподілу ймовірностей” (pис. 2.4).

Нехай дано випадкову величину з відповідним законом розподілу, нехай математичне сподівання  М.

Розглянемо різницю в. в. і її математичного сподівання:

,

де  випадкова величина, яку будемо називати центрованою випадковою величиною (the centered random variable) або відхиленням.

М()p_і=-М=0.

                                             Таблиця 2.2