2.6. Дисперсія, середнє квадратичне відхилення випадкової величини

В багатьох практичних випадках важливим є питання про те, наскільки великі відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Для оцінки розсіювання значень випадкової величини в околі її математичного сподівання вводиться нова числова характеристика  дисперсія (dispersion) (“дисперсія”  розсіювання).

Дисперсія випадкової величини є математичне сподівання квадрата відхилення випадкової величини від її математичного сподівання. Випадкова величина ( М) має той же закон імовірності, що й , тому

для дискретної випадкової величини.

Розмірність дисперсії дорівнює квадрату розмірності випадкової величини. Для неперервної випадкової величини дисперсія дорівнює:

.

Записаний інтеграл повинен бути збіжним.

Середнє квадратичне відхилення є характеристикою розсіювання (the characteristic scattering) в. в. ; розмірність збігається з розмірністю в. в.

Властивість 1.

.

Для неперервної випадкової величини аналогічно:

Властивість 2. DC=0, С  const.

За властивістю 1 математичного сподівання

МС=С; DC=М(C-C)=М0=0.

Властивість 3. .

.

Доведення останніх двох властивостей для дискретних і неперервних в. в. однакове.

Властивість 4. Якщо і незалежні випадкові величини, то дисперсія суми цих величин дорівнює сумі їх дисперсій:

D(.

Доведення.

.

і  незалежні випадкові величини;

.

;

;

і  незалежні випадкові величини;

М(;

;

;

.

Властивість 4 розповсюджується на довільне скінченне число попарно незалежних випадкових величин:

.

Дисперсія не може бути від’ємною. Вона тим менша чисельно, чим тiсніше групуються значення х в околі математичного сподівання М.

Навпаки, якщо можливі великі відхилення х від М і якщо це відбувається з великими ймовірностями, то дисперсія також буде великою. Таким чином, дисперсію і середнє квадратичне можна розглядати як міру розсіювання випадкової величини навколо середнього значення М.

Дисперсія являє собою момент другого порядку (second order moment) випадкової величини М.